(ЕГЭ,2018) B цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A, B\) и \(C\), а на окружности другого основания - точка \(C_1\), причём \(C C_1\) - образующая цилиндра, а \(A C\) - диаметр основания. Известно, что \(\angle A C B=30^{\circ}\), \(A B=2 \sqrt{3}, C C_1=4 \sqrt{6}\).

a) Докажите, что угол между прямыми \(A C_1\) и \(B C\) равен \(60^{\circ}\).

б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \(A C_1\).

(ЕГЭ,2018) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A, B\) и \(C\), а на окружности другого основания - точка \(C_1\), причём \(C C_1\) - образующая цилиндра, а \(A C\) - диаметр основания. Известно, что \(\angle A C B=45^{\circ}\), \(A B=2 \sqrt{2}, C C_1=4\).

a) Докажите, что угол между прямыми \(A C_1\) и \(B C\) равен \(60^{\circ}\).

б) Найдите объём цилиндра.

(ЕГЭ,2018) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания - точки \(B_1\) и \(C_1\), причём \(B B_1\) образующая цилиндра, а отрезок \(A C_1\) пересекает ось цилиндра.

a) Докажите, что угол \(A B C_1\) прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если \(A B=7, B B_1=24, B_1 C_1=10\).

(ЕГЭ,2018) На ребре \(A B\) правильной четырёхугольной пирамиды \(S A B C D\) с основанием \(A B C D\) отмечена точка \(Q\), причём \(A Q: Q B=1: 2\). Точка \(P\) - середина ребра \(A S\).

a) Докажите, что плоскость \(D P Q\) перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения \(D P Q\), если площадь сечения \(D S B\) равна \(6\).

(ЕГЭ,2018) На ребре \(A B\) правильной треугольной пирамиды \(S A B C\) с основанием \(A B C\) отмечена точка \(K\), причём \(A K=15, B K=3\). Через точку \(K\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная плоскости \(S B C\).

a) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через середину высоты пирамиды.

б) Найдите расстояние между плоскостями \(\alpha\) и \(S B C\), если высота пирамиды равна \(13\).

(ЕГЭ,2017) Сечением прямоугольного параллелепипеда \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(B D_1\) и параллельной прямой \(A C\), является ромб.

a) Докажите, что грань \(A B C D\) - квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(B C C_1\), если \(A A_1=6, A B=4\).