a) Пусть плоскость \(\alpha\) пересекает прямые \(S B\) и \(A B\) в точках \(L\) и \(M\) соответственно. Поскольку плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(B C\), прямые \(K L\), \(B C\) и \(M N\) параллельны. Следовательно,
\begin{equation*}
S L: L B=S K: K C=D N: N C=A M: M B \text {. }
\end{equation*}

Таким образом, прямая \(L M\), лежащая в плоскости \(\alpha\), параллельна прямой \(S A\), а значит, плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(S A\).

б) Поскольку плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости \(S A D\), искомый угол равен углу между плоскостями \(S A D\) и \(S B C\). Пусть точки \(E\) и \(F\) - середины рёбер \(A D\) и \(B C\) соответственно. Тогда прямые \(S F\) и \(E F\) перпендикулярны прямой \(B C\), а прямые \(S E\) и \(E F\) - прямой \(A D\). Таким образом, плоскость \(S E F\) перпендикулярна прямым \(B C\) и \(A D\), а также содержащим их плоскостям \(S B C\) и \(S A D\) соответственно.
Значит, угол между плоскостями \(\alpha\) и \(SBC\) равен углу \(E S F\).
Высота \(S O\) пирамиды \(S A B C D\) лежит в плоскости \(S E F\), откуда
\begin{equation*}
\begin{gathered}
E O=2, S E=\sqrt{S A^2-\frac{A D^2}{4}}=3 \sqrt{5} ; \\
\sin \angle E S O=\frac{O E}{S E}=\frac{2 \sqrt{5}}{15} ; \angle E S F=2 \angle E S O=2 \arcsin \frac{2 \sqrt{5}}{15} .
\end{gathered}
\end{equation*}

a) Пусть прямые \(C F\) и \(M D\) пересекаются в точке \(H\), а \(S O\) - высота пирамиды \(S A B C D E F\). Поскольку пирамида \(SABCDEF\) правильная, центр правильного шестиугольника \(A B C D E F\) совпадает с точкой \(O\). Значит, прямая \(S O\) лежит в плоскости \(S C F\).

Рассмотрим правильный шестиугольник \(A B C D E F\). Прямые \(A D\) и \(B C\) параллельны. Треугольники \(M H C\) и \(D H O\) подобны по двум углам. Получаем:
\begin{equation*}
\frac{O H}{C H}=\frac{O D}{C M}=\frac{B C}{C M}=\frac{7}{3}=\frac{S K}{C K} .
\end{equation*}

Следовательно, прямые \(K H\) и \(S O\) параллельны. Получаем, что прямая \(K H\) перпендикулярна плоскости \(A B C\). Значит, содержащая прямую \(KH\) плоскость \(MKD\) перпендикулярна плоскости \(A B C\).

б) Пусть \(h\) - высота пирамиды \(CDKM\), проведённая из вершины \(K\).
В треугольнике \(S O C\) имеем: \begin{equation*}
O C=7 ; S O=\sqrt{S C^2-O C^2}=\sqrt{100-49}=\sqrt{51} ; h=\frac{K C}{S C} \cdot S O=\frac{3 \sqrt{51}}{10} \text {. }
\end{equation*}

Площадь треугольника \(C D M\) равна
\begin{equation*}
S_{C D M}=\frac{M C \cdot C D \cdot \sin 120^{\circ}}{2}=\frac{3 \cdot 7 \cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{21 \sqrt{3}}{4} .
\end{equation*}

Объём пирамиды \(C D K M\) равен
\begin{equation*}
\frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{C D M}=\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{51}}{10} \cdot \frac{21 \sqrt{3}}{4}=\frac{63 \sqrt{17}}{40} \text {. }
\end{equation*}

a) Пусть прямые \(B D\) и \(C M\) пересекаются в точке \(H\) .

Рассмотрим квадрат \(A B C D\) . Треугольники \(M H B\) и \(C H D\) подобны по двум углам. Получаем:
\begin{equation*}
\frac{D H}{B H}=\frac{C D}{M B}=\frac{4}{3} ; B H=\frac{3}{7} B D .
\end{equation*}

Пусть \(S O\) - высота пирамиды \(S A B C D\), тогда, поскольку пирамида \(S A B C D\) правильная, центр квадрата \(A B C D\) совпадает с точкой \(O\). Значит, прямая \(S O\) лежит в плоскости \(S B D\).
В треугольнике \(S O B\) имеем:
\begin{equation*}
\frac{B H}{O B}=\frac{2 B H}{B D}=2 \cdot \frac{3}{7}=\frac{6}{7}=\frac{K B}{S B} \text {. }
\end{equation*}

Следовательно, прямые \(K H\) и \(S O\) параллельны. Получаем, что прямая \(K H\) перпендикулярна плоскости \(A B C\). Значит, содержащая прямую \(K H\) плоскость \(CKM\) перпендикулярна плоскости \(A B C\).

б) Пусть \(h\) - высота пирамиды \(BCKM\), проведённая из вершины \(K\).
В треугольнике \(S O B\) имеем:
\begin{equation*}
O B=\frac{B D}{2}=\frac{A B \sqrt{2}}{2}=4 \sqrt{2} \text {; }
\end{equation*}

\begin{equation*}
S O=\sqrt{S B^2-O B^2}=\sqrt{49-32}=\sqrt{17} ; h=\frac{K B}{S B} \cdot S O=\frac{6}{7} \cdot \sqrt{17}=\frac{6 \sqrt{17}}{7} \text {. }
\end{equation*}

Площадь треугольника \(B C M\) равна
\begin{equation*}
S_{B C M}=\frac{M B \cdot B C}{2}=\frac{6 \cdot 8}{2}=24 .
\end{equation*}

Объём пирамиды \(B C K M\) равен
\begin{equation*}
\frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{B C M}=\frac{1}{3} \cdot \frac{6 \sqrt{17}}{7} \cdot 24=\frac{48 \sqrt{17}}{7} .
\end{equation*}

a) Пусть точка \(N\) - середина ребра \(A C\), прямая \(B N\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(H\), a \(S O\) - высота пирамиды \(S A B C\).

Поскольку пирамида \(S A B C\) правильная, точка пересечения медиан треугольника \(A B C\) совпадает с точкой \(O\). Значит, прямая \(SO\) лежит в плоскости \(SBN\).

Следовательно, плоскость \(SBN\) перпендикулярна плоскости \(A B C\).

Получаем, что прямая \(K H\), являющаяся прямой пересечения плоскостей \(S B N\) и \(\alpha\), перпендикулярна плоскости \(A B C\) и параллельна прямой \(S O\). В треугольнике \(S O B\) имеем:
\begin{equation*}
B H=\frac{K B}{S B} \quad O B=\frac{3}{10} \frac{2}{3} B N=\frac{B N}{5} .
\end{equation*}

Рассмотрим треугольник \(A B C\).

Пусть \(L\) - такая точка на отрезке \(A M\), что прямые \(L N\) и \(C M\) параллельны, а \(H_1\) - точка пересечения прямых \(B N\) и \(C M\). Тогда отрезок \(L N\) - средняя линия треугольника \(A C M\), следовательно,
\begin{equation*}
A L=L M=\frac{A M}{2}=4 .
\end{equation*}

Получаем:
\begin{equation*}
B H_1=\frac{B M}{B L} \quad B N=\frac{1}{1+4} \quad B N=\frac{B N}{5} .
\end{equation*}

Таким образом, прямая \(C M\) делит отрезок \(B N\)
в таком же отношении, что и плоскость \(\alpha\), значит, плоскость \(\alpha\) содержит точку \(C\).

б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение - треугольник \(C K M\).
В треугольнике \(S O B\) имеем:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
O B=\frac{2}{3} B N=\frac{2}{3} \frac{A B \sqrt{3}}{2}=\frac{A B}{\sqrt{3}}=3 \sqrt{3} ; S O=\sqrt{S B^2-O B^2}=\sqrt{43-27}=4 ; \\
K H=\frac{K B}{S B} S O=\frac{3}{10} 4=\frac{6}{5} .
\end{gathered}
\end{equation*}

По теореме косинусов в треугольнике \(B C M\) имеем:
\begin{equation*}
C M=\sqrt{B M^2+B C^2-2 B M B C \cos 60^{\circ}}=\sqrt{1+81-219 \frac{1}{2}}=\sqrt{73} .
\end{equation*}

Отрезок \(K H\) перпендикулярен плоскости \(A B C\), а значит, и прямой \(C M\). Следовательно, он является высотой треугольника \(C K M\). Площадь треугольника \(C K M\) равна
\begin{equation*}
\frac{C M K H}{2}=\frac{3 \sqrt{73}}{5} .
\end{equation*}

a) Пусть \(S O\) - высота пирамиды \(S A B C\), а точка \(H\) - середина отрезка \(O C\).

Поскольку точка \(O\) - это точка пересечения медиан треугольника \(A B C\), точки \(M, O, H\) и \(C\) лежат на одной прямой, причем \(\mathrm{MO}=\mathrm{OH}=\mathrm{CH}\). Отрезок \(\mathrm{NH}-\) средняя линия треугольника \(SCO\) - параллелен высоте пирамиды SO. Получаем, что отрезки \(MH\) и \(A O\) - проекции отрезков \(M N\) и \(S A\) соответственно на плоскость \(A B C\), а \(A O=C O=M H\).

б) Пусть \(N H=h\), тогда \(S O=2 h\).

Из треугольников \(S O A\) и \(M N H\) получаем:
\begin{equation*}
64-4 h^2=A O^2=M H^2=25-h^2,
\end{equation*}

откуда \(h=\sqrt{13} ; A O=\sqrt{25-h^2}=2 \sqrt{3}\).
Следовательно, \(2 \sqrt{3}=A O=\frac{2}{3} C M=\frac{\sqrt{3}}{3} A B\), откуда \(A B=6\).
Площадь треугольника \(A B C\) равна
\begin{equation*}
S_{A B C}=\frac{A B^2 \sqrt{3}}{4}=9 \sqrt{3} .
\end{equation*}

Объем пирамиды \(S A B C\) равен
\begin{equation*}
\frac{S O \cdot S_{A B C}}{3}=\frac{2 \sqrt{13} \cdot 9 \sqrt{3}}{3}=6 \sqrt{39} .
\end{equation*}

a) \(O\) - середина \(A D, O C \| A B \Rightarrow\) по т. Фалеса \(P\) - середина \(M D\) и \(K P\) - медиана \(\triangle M K D\).

Так как \(\alpha \perp(A B C)\), то \(\alpha \| S O\), где \(S O\) - высота пирамиды.
Тогда \(\alpha \cap(S O C)=K P \| S O \Rightarrow K P \perp M D\) и \(K P\) - высота \(\triangle M K D\).
Следовательно, \(\triangle M K D\) - равнобедренный и \(M K=K D\).

б) \(V_{M C D K}=\frac{1}{3} S_{M C D} \cdot K P\).
\(O P-\) средняя линия \(\triangle A M D \Rightarrow O P=\frac{1}{2} A M=2 ; O C=A B=8\)
\begin{equation*}
\Rightarrow P C=6 \text { и } \frac{P C}{O C}=\frac{3}{4} \text {. }
\end{equation*}

\(\begin{aligned} & A B \| D E \text { и } \rho(M, P C)=\rho(D, P C) \Rightarrow S_{M P C}=S_{D P C}=\frac{3}{4} S_{D O C} . \text {Тогда} S_{M C D}=\frac{3}{2} S_{D O C}=\frac{3}{2} \cdot \frac{64 \sqrt{3}}{4}=24 \sqrt{3} . \\ & S O=\sqrt{S A^2-O A^2}=\sqrt{14^2-8^2}=2 \sqrt{33} ; \triangle K P C \sim \triangle S O C \text { по двум углам с } k=\frac{P C}{O C}=\frac{3}{4} \text { и } \\ & K P=\frac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{33}=\frac{3 \sqrt{33}}{2} ; V_{M C D K}=\frac{1}{3} \cdot 24 \sqrt{3} \cdot \frac{3 \sqrt{33}}{2}=36 \sqrt{11} .\end{aligned}\)