a) Пусть отрезки \(M F\) и \(K E\) - высоты призмы \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1 \quad\)

Тогда отрезок FE параллелен и равен отрезку \(M K\), а значит, параллелен отрезку \(A N\) и равен \(\dfrac{2}{3} A N\). 

Следовательно, треугольники \(F B E\) и \(A B N\) подобны с коэффициентом \(\dfrac{2}{3}\). 

Значит, \(B N=\dfrac{3}{2} B E=\dfrac{3}{2} B_1 K=\dfrac{1}{2} B_1 C_1=\dfrac{1}{2} B C\).

Следовательно, точка \(N\) - середина \(B C\).

б) Так как объём призмы равен 12, а её высота равна 2, площадь параллелограмма \(A B C D\) = 6. 

Прямоугольные треугольники \(A F M\) и \(N E K\) равны по катету и гипотенузе, значит, \(A F=E N\). 

Тогда \(A B N\) равнобедренный треугольник с основанием \(A N=3\). 

Площадь этого треугольника равна 1,5 . 

Значит, его высота \(h\), проведённая из вершины \(B\), равна 1 , а высота трапеции \(A M K N\) равна 

\(\sqrt{B B_1^2+\left(\frac{h}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{37}}{3}\). 

Средняя линия трапеции равна \(\dfrac{5}{2}\), а значит, её площадь равна \(\dfrac{5 \sqrt{37}}{6}\).

a) Пусть точка \(P\) - середина отрезка \(M N\), а точка \(Q\) - середина отрезка \(B_1 M\)

Тогда отрезок \(P Q\) - средняя линия треугольника \(M N B_1\), параллельная стороне \(B_1 N\). 

Значит, отрезок \(P Q\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Следовательно, плоскость \(\alpha\) проходит через середину \(Q\) отрезка \(B_1 M\)

б) Обозначим точки пересечения плоскости \(\alpha\) с прямыми \(A A_1, A_1 B_1, B_1 C_1\) и \(A_1 C_1\) через \(R\), \(W, U\) и \(T\) соответственно. Тогда точки \(R, Q\) и \(W\) лежат на одной прямой, параллельной прямой 

\(A M\), а точки \(W, U\) и \(T\) лежат на одной прямой, параллельной прямой \(B_1 N\), поскольку плоскость \(\alpha\) параллельна прямым \(A M\) и \(B_1 N\). Сечением призмы \(\ A B C A_1 B_1 C_1\) плоскостью \(\alpha \) является 

четырёхугольник \(R T U Q\).

Четырёхугольник \(A R Q M\) - параллелограмм, следовательно:

\(A R=Q M=\dfrac{1}{2} B_1 M=\dfrac{1}{4} B B_1=1 ; A_1 R=3\) 

Треугольники \(R A_1 W\) и \(Q B_1 W\) подобны, поэтому:

\(A_1 W: B_1 W=A_1 R: B_1 Q=3: 1 ; A_1 W=6\) .

Прямые \(B_1 N\) и \(T W\) параллельны, поэтому:

\(A_1 N: N T=A_1 B_1: B_1 W=2: 1\);  

\(T C_1=N T=\dfrac{1}{2} A_1 N=1\); 

\(B_1 U: U C_1=N T: T C_1=1: 1\);  

\(B_1 U=U C_1=2 ; T W=\dfrac{3}{2} N B_1=3 \sqrt{3}\) .

В прямоугольном треугольнике \(R A_1 T\) находим:

\(R T=\sqrt{R A_1^2+A_1 T^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3 \sqrt{2}\).

В прямоугольном треугольнике \(R A_1 W\) находим:

\(R W=\sqrt{R A_1^2+A_1 W^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3 \sqrt{5}\) .

Поскольку \(\ R W^2=R T^2+T W^2\), треугольник \(R T W\) прямоугольный, и его площадь равна \(\dfrac{1}{2} R T \cdot T W=\dfrac{9 \sqrt{6}}{2}\) .

Поскольку \(\quad \dfrac{W U}{W T}=\dfrac{2}{3}, \quad \dfrac{W Q}{W R}=\dfrac{1}{3}, \quad\) площадь \(\quad\) треугольника \(\quad Q U W\) составляет \(\ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}\) 

от площади треугольника \(R T W\). Площадь сечения \(R T U Q\) равна разности площадей  треугольников \(R T W\) и \(Q U W\). Значит, эта площадь равна
\begin{equation*}
\frac{7}{9} \cdot \dfrac{9 \sqrt{6}}{2}=\dfrac{7 \sqrt{6}}{2}
\end{equation*}

a) Пусть \(L\) - точка на ребре \(A D\) такая, что отрезок \(M L\) перпендикулярен ребру \(C D\) (рис. 1). 

Тогда точка \(L\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
В прямоугольном треугольнике \(M L D\) угол \(D\) = \(60^{\circ}\), 

поэтому \(L D=2 M D=2 \cdot \dfrac{3}{8} C D=2 \cdot 1,5=3\) .

Плоскости \(\alpha\) и \(A B D\) перпендикулярны плоскости \(A C D\). Следовательно, прямая \(K L\) перпендикулярна плоскости \(A C D\). В прямоугольном треугольнике \(L K A\) угол \(A\) равен \(60^{\circ}\),  поэтому \(K A=2 L A=2 \cdot(A D-L D)=2\) .

Значит, точка \(K\) - середина \(A B\).

б) Из прямоугольных треугольников
\(M L D\) и \(L K A\) имеем: \(M L=\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\),
\(L K=\sqrt{3}\). 

Пусть прямые \(L K\) и \(B D\) пересекаются в точке \(E\) (рис.2), а прямые \(E M\) и \(B C\) пересекаются  в точке \(N\). Треугольник \(E B K\) равнобедренный с углом \(120^{\circ}\) при вершине \(B\), поэтому 

\(E B=B K=2\) и \(E K=2 \sqrt{3}\). Рассмотрим точку \(B^{\prime}\) на ребре \(B D\) такую, что прямые \(B N\) и \(B^{\prime} M\) параллельны. Тогда \(B B^{\prime}: B^{\prime} D=C M: M D=5: 3\). 

Следовательно, \(E N: N M=E B: B B^{\prime}=4: 5 \text {. }\)

Поскольку \(\dfrac{E K}{E L}=\dfrac{2}{3} \quad\) и \( \dfrac{E N}{E M}=\dfrac{4}{9}\), площадь треугольника \(E K N\) составляет \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{27}\) от площади треугольника \(E L M\). 

Площадь прямоугольного треугольника \(E L M\) равна \(\dfrac{1}{2} \cdot E L \cdot L M=\dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{3} \cdot \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}=\dfrac{27}{4}\).

Площадь сечения \(K L M N\) равна разности площадей треугольников \(E L M\) и \(E K N\). Значит, эта площадь равна \(\dfrac{19}{27} \cdot \dfrac{27}{4}=\dfrac{19}{4} \text {. }\)

a) Плоскость \(B C D\) параллельна прямой \(K L\), поскольку содержит параллельную ей прямую \(M N\) (рис.1).

Следовательно, прямые \(K L\) и \(C D\) параллельны. Аналогично прямые \(L M\) и \(A B\)  параллельны, а значит, \(B M: M D=A L: L D=A K: K C=3: 7 \text {. }\)

б) Обозначим искомое расстояние от точки \(C\) до плоскости \(K L M\) через \(x\). Тогда объём пирамиды

\(C K M N\) равен  \(V_{C K M N}=\dfrac{1}{3} \cdot x \cdot \dfrac{K N \cdot N M}{2}=\dfrac{3}{2} x \).

Найдём объём пирамиды \(C K M N\) другим способом. Пусть \(h\) - высота пирамиды \(A B C D\),  проведённая из вершины \(A\). Тогда высота пирамиды \(K B C D\), проведённая из вершины \(K\), равна

\(\quad \dfrac{7}{10} h, \) поскольку \(K C: A C=7: 10\).
Следовательно, объём пирамиды \(K B C D\) равен 35 .

Пирамиды \(K B C D\) и \(C K M N\) имеют общую высоту, проведённую из вершины \(K\). 

Сравним площади треугольников \(C N M\) и \(B C D\) (рис.2). Высоты этих треугольников,  проведённые из вершин \(C\) и \(B\) соответственно, относятся как \(C N: B C=C K: A C=7: 10,\)

а их стороны \(N M\) и \(C D\) относятся как \(N M: C D=B M: B D=3: 10,\)

поскольку треугольники \(B N M\) и \(B C D\) подобны. Следовательно, отношение площадей треугольников \(C N M\) и \(B C D\) равно \(\dfrac{21}{100}\). Значит, объём пирамиды CKMN равен \(\dfrac{21}{100} \cdot 35=\dfrac{147}{20}\), 

откуда получаем: \(\dfrac{3}{2} x=\dfrac{147}{20} ; x=4,9\).

a) Боковая грань \(B C C_1 B_1\) призмы параллельна грани \(A D D_1 A_1\), поскольку составляющие их рёбра соответственно параллельны. Проведём через вершину \(C\) прямую, параллельную \(K M\). 

Пусть эта прямая пересекает ребро \(B B_1\) в точке \(N\) (см. рисунок).
Прямоугольные треугольники 

\(C B N\) и \(M D_1 K\) равны, поскольку равны их катеты \(B C\) и \(M D_1\), а также острые углы ввиду  параллельности соответствующих сторон. Следовательно, \(B N=D_1 K=\dfrac{1}{2} D D_1=\dfrac{1}{2} B B_1\), а 

значит, точка \(N\) - середина ребра \(B B_1\). Значит, \(B N K D-\) параллелограмм, а прямая \(N K\), лежащая в плоскости \(M K C\), параллельна прямой \(B D\). Таким образом, плоскость \(M K C\)  параллельна \(B D\).

б) Пусть высота призмы равна \(2 x\).

Тогда \(B_1 N=B N=D K=x\).

В равнобедренной трапеции с основаниями 5 и 3 и углом \(60^{\circ}\) боковые стороны равны 2 , то есть 

\(A B=C D=2\).

Из прямоугольных треугольников \(C B N, C D K\) и \(N C K\) имеем:

\(N C^2=B N^2+B C^2=x^2+9, C K^2=\)

\(=C D^2+D K^2=x^2+4\);

\(N K^2=N C^2+C K^2=x^2+9+x^2+4=\)

\(=2 x^2+13\).

Для треугольника \(B C D\) имеем:

\(B D^2=B C^2+C D^2-2 B C \cdot C D \cdot \cos 120^{\circ}=19\) 

Поскольку \(N K=B D\), получаем: \(2 x^2+13=19\), откуда \(x=\sqrt{3}\).
При пересечении плоскостей 

\(M K C\) и \(B C D\) плоскостью \(B D D_1\) получены параллельные прямые \(B D\) и \(N K\). Следовательно, прямая  пересечения плоскостей \(M K C\) и \(B C D\) параллельна прямой \(B D\) и проходит через точку \(C\). 

Плоскость, проходящая через точку \(C\) перпендикулярно прямой \(B D\), в пересечении с плоскостями \(B C D\) и \(M K C\) образует линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. 

Тангенс угла между плоскостью \(M K C\) и плоскостью \(B C D\) равен отношению расстояния от прямой \(N K\) до плоскости \(B C D\), то есть \(x\), и высоты \(h\) треугольника \(B C D\), проведённой из вершины \(C\).

Площадь треугольника \(B C D\) равна \(\dfrac{h \cdot B D}{2}=\dfrac{h \sqrt{19}}{2}\).

С другой стороны, эта площадь 

равна \(\dfrac{B C \cdot C D \cdot \sin \angle B C D}{2}=\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\) .
Следовательно, \(h=\dfrac{3 \sqrt{57}}{19}\), а значит, искомый тангенс равен
\(\dfrac{x}{h}=\dfrac{\sqrt{19}}{3} \text {. }\)

a) Пусть точка \(N\) - середина ребра \(A C\) (рис.1). Тогда отрезки \(M N\) и \(Q N\) перпендикулярны, поскольку отрезок \(Q N\) является высотой призмы. Отрезки \(M N\) и \(P N\) также перпендикулярны, поскольку отрезок \(P N\) параллелен высоте равнобедренного треугольника \(A B C\), проведённой из вершины \(C\), а эта высота перпендикулярна средней линии \(M N\).

Таким образом, отрезок \(M N\) перпендикулярен плоскости \(P Q N\), а значит, и отрезку \(P Q\).

Следовательно, плоскость \(\alpha\) проходит через середину \(N\) ребра \(A C\).

б) Пусть \(A B=A A_1=2 a\), тогда: \(A C=B C=5 a ; A N=\dfrac{A C}{2}=\dfrac{5 a}{2}\).

Из прямоугольного треугольника \(A P N\) имеем: \(P N=\sqrt{A N^2-A P^2}=\sqrt{\dfrac{25 a^2}{4}-\dfrac{a^2}{4}}=\)

\(=\sqrt{6} \cdot a\).

Пусть отрезок \(P T\) - высота призмы, а плоскость \(\alpha\) пересекает ребро \(A_1 C_1\) и прямую \(Q T\) в точках \(L\) и \(K\) соответственно. Тогда прямая \(N K\) перпендикулярна отрезку \(P Q\), а прямая \(K L\) параллельна прямой \(A_1 B_1\).
В прямоугольнике \(P T Q N\) имеем: \(Q N=A A_1=2 a\), \(T Q=P N=\sqrt{6} \cdot a\) (рис. 2).

Прямоугольные треугольники \(P Q N\) и \(N K Q\) подобны, поскольку 

\(\angle P Q N=90^{\circ}-\angle K N Q=\angle N K Q \text {. }\)

Следовательно, \(\dfrac{K Q}{Q N}=\dfrac{Q N}{N P} ; K Q=\dfrac{Q N^2}{N P}=\dfrac{4 a^2}{\sqrt{6} \cdot a}=\)

\(=\dfrac{2 \sqrt{6} \cdot a}{3} ; T K=\dfrac{\sqrt{6} \cdot a}{3}\).

Прямые \(K L\) и \(A_1 B_1\) параллельны. Следовательно,

\(A_1 L: A_1 Q=T K: T Q=\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{6} \cdot a}{3}\right):(\sqrt{6} \cdot a)=1: 3 \).

Значит, \(A_1 L: A_1 C_1=A_1 L:\left(2 A_1 Q\right)=1: 6 ;\)

\(A_1 L: L C_1=1: 5\).