17. Планиметрия
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ,2017) В треугольнике \(A B C\) точки \(A_1, B_1\) и \(C_1\) - середины сторон \(B C, A C\) и \(A B\) соответственно, \(A H\) - высота, \(\angle B A C=60^{\circ}, \angle B C A=45^{\circ}\).
a) Докажите, что точки \(A_1, B_1, C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_1 H\), если \(B C=2 \sqrt{3}\).
(ЕГЭ,2017) Точка \(M\) - середина гипотенузы \(A B\) прямоугольного треугольника \(A B C\). Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет \(B C\) в точке \(N\).
a) Докажите, что \(\angle C A N=\angle C M N\).
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников \(A N B\) и \(C B M\), если \(\operatorname{tg} \angle B A C=\frac{12}{5}\).
(ЕГЭ,2017) Точка \(E\) - середина боковой стороны \(C D\) трапеции \(A B C D\). На стороне \(A B\) взяли точку \(K\) так, что прямые \(C K\) и \(A E\) параллельны. Отрезки \(C K\) и \(B E\) пересекаются в точке \(O\).
a) Докажите, что \(C O=K O\).
б) Найдите отношение оснований трапеции \(B C\) и \(A D\), если площадь треугольника \(B C K\) составляет \(\frac{16}{81}\) площади трапеции \(A B C D\).
(ЕГЭ,2017) В трапеции \(A B C D\) основание \(A D\) в два раза больше основания \(B C\). Внутри трапеции взяли точку \(M\) так, что углы \(A B M\) и \(D C M\) прямые.
a) Докажите, что \(A M=D M\).
б) Найдите угол \(B A D\), если угол \(A D C\) равен \(55^{\circ}\), а расстояние от точки \(M\) до прямой \(A D\) равно стороне \(B C\).
(ЕГЭ,2017) В трапеции \(A B C D\) угол \(B A D\) прямой. Окружность, построенная на большем основании \(A D\) как на диаметре, пересекает меньшее основание \(B C\) в точках \(C\) и \(M\).
a) Докажите, что \(\angle B A M=\angle C A D\).
б) Диагонали трапеции \(A B C D\) пересекаются в точке \(O\). Найдите площадь треугольника \(A O B\), если \(A B=6\), а \(B C=4 B M\).
(ЕГЭ,2017) Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причём точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от прямой \(A B\). Через точку \(A\) проведена прямая, вторично пересекающая эти окружности в точках \(M\) и \(K\), причём точка \(A\) лежит между точками \(M\) и \(K\).
a) Докажите, что треугольники \(M B K\) и \(O_1 A O_2\) подобны.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \(M K\), если \(M K=7\), а \(O_1 O_2=5\).