17. Планиметрия
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ,2018) Окружность с центром в точке \(O\) высекает на всех сторонах трапеции \(A B C D\) равные хорды.
a) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону \(A B\) в точках \(K\) и \(L\) так, что \(A K=15, K L=6, L B=5\).
(ЕГЭ,2018) Окружность проходит через вершины \(A, B\) и \(C\) параллелограмма \(A B C D\), пересекает продолжение стороны \(A D\) за точку \(D\) в точке \(E\) и пересекает продолжение стороны \(C D\) за точку \(D\) в точке \(K\).
a) Докажите, что \(B K=B E\).
б) Найдите отношение \(K E: A C\), если \(\angle B A D=45^{\circ}\).
(ЕГЭ,2018) Четырёхугольник \(A B C D\) вписан в окружность радиуса \(R=10\). Известно, что \(A B=B C=C D=6\).
a) Докажите, что прямые \(B C\) и \(A D\) параллельны.
б) Найдите \(A D\).
(ЕГЭ,2018) Окружность проходит через вершины \(A, B\) и \(D\) параллелограмма \(A B C D\), пересекает сторону \(B C\) в точках \(B\) и \(M\) и пересекает продолжение стороны \(C D\) за точку \(D\) в точке \(N\).
a) Докажите, что \(A M=A N\).
б) Найдите отношение \(C D: D N\), если \(A B: B C=1: 2\), а \(\cos \angle B A D=\frac{2}{3}\).
(ЕГЭ,2018) Точка \(O\) - центр окружности, описанной около остроугольного треугольника \(A B C\), а \(B H\) - высота этого треугольника.
a) Докажите, что углы \(A B H\) и \(C B O\) равны.
б) Найдите \(B H\), если \(A B=8, B C=9, B H=B O\).
(ЕГЭ,2018) В четырёхугольник \(A B C D\) вписана окружность \(\omega\) с центром в точке \(O\). Известно, что \(\angle A B C=\angle B C D=120^{\circ}\).
a) Докажите, что \(\angle A O D=120^{\circ}\).
6) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью \(\omega\), если \(A B=3\), \(C D=2\).