a) \(\angle A C B=90^{\circ} \Rightarrow B D\) и \(A E-\) диаметры меньшей и большей окружностей соответственно

 \(\triangle B O C\) - равнобедренный, \(\angle O B C=\angle O C B=\alpha ;\)
\(\triangle E S C\) - равнобедренный, \(\angle S C E=\angle S E C=\alpha\) \(\Rightarrow \angle S E C=\angle O B C\), а это соответственные углы при прямых \(B D\) и \(A E\) и секущей \(C E\). Следовательно, \(A E \| B D\).

б) \(\triangle B C D \sim \triangle E C A\) по двум углам и \(\frac{B C}{E C}=\frac{B D}{E A}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}\);
\(B C=A C\) по условию \(\Rightarrow \frac{A C}{E C}=\frac{8}{15}=\operatorname{tg} \alpha ; \operatorname{ctg} \alpha=\frac{15}{8} ; 1+\operatorname{ctg}^2 \alpha=\frac{1}{\sin ^2 \alpha}\), откуда \(\sin \alpha=\frac{8}{17}\). \(A C=A E \sin \alpha=30 \cdot \frac{8}{17}=\frac{240}{17}\).

a) Поскольку луч \(C L\) - биссектриса угла \(A C B\), дуги \(A L\) и \(B L\) равны, а значит, стягивающие их соответственные одноимённые хорды равны.

Следовательно, треугольник \(A L B\) равнобедренный, а прямая \(L N\) - серединный перпендикуляр к отрезку \(A B\). Прямоугольные треугольники \(A B C\) и \(M B N\) имеют общий угол \(A B C\). Значит, они подобны, откуда получаем, что \(\angle B M L=\angle B A C\).

б) Пусть \(B M=x\), тогда из подобия треугольников \(A B C\) и \(M B N\) получаем:
\begin{equation*}
\frac{x}{10}=\frac{20}{x+3 \sqrt{5}} ; x^2+3 \sqrt{5} x-200=0,
\end{equation*}

откуда \(x=-8 \sqrt{5}\) или \(x=5 \sqrt{5}\).
Условию задачи удовлетворяет \(x=5 \sqrt{5}\). Получаем, что
\begin{equation*}
B C=B M+C M=8 \sqrt{5} ; A C=\sqrt{A B^2-B C^2}=4 \sqrt{5} .
\end{equation*}

Площадь треугольника \(A B C\) равна
\begin{equation*}
\frac{A C \cdot B C}{2}=\frac{4 \sqrt{5} \cdot 8 \sqrt{5}}{2}=80 \text {. }
\end{equation*}

a) Четырёхугольник \(B C Q P \) вписан в окружность, а средняя линия \(M N\) трапеции \(A B C D\) параллельна её основанию \(B C\), значит,
\begin{equation*}
\angle M P Q=180^{\circ}-\angle B P Q=\angle B C Q=180^{\circ}-\angle M N Q \text {. }
\end{equation*}

Таким образом, сумма противоположных углов четырёхугольника \(M P Q N\) равна \(180^{\circ}\), значит, около него можно описать окружность.

б) В четырёхугольнике \(A P Q D\) :
\begin{equation*}
\angle A P Q=180^{\circ}-\angle B P Q=\angle B C Q=180^{\circ}-\angle A D Q \text {, }
\end{equation*}

значит, около четырёхугольника \(A P Q D\) можно описать окружность.
По свойству вписанных углов
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \angle A Q B=\angle A Q P+\angle P Q B=\angle A D P+\angle P C B=\angle A D C-\angle P D C+ \\
& +\angle B C D-\angle P C D=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-\angle C P D\right)=\angle C P D=90^{\circ} .
\end{aligned}
\end{equation*}

Таким образом, треугольник \(A Q B\) прямоугольный, а значит, \(M Q=\frac{A B}{2}=13\).
Средняя линия трапеции \(\quad M N=\frac{A D+B C}{2}=13=M Q, \quad\) следовательно, треугольник \(N M Q\) равнобедренный, а \(Q N=2 M N \cdot \cos \angle M N Q\).
Пусть прямая, параллельная прямой \(A B\), проходит через точку \(C\) и пересекает основание \(A D\) в точке \(E\). Тогда в треугольнике \(C E D\) :
\begin{equation*}
\begin{gathered}
C E=A B=26, E D=A D-A E=A D-B C=17 ; \\
\cos \angle E D C=\frac{E D^2+C D^2-C E^2}{2 E D \cdot C D}=\frac{7}{25} .
\end{gathered}
\end{equation*}

Поскольку средняя линия трапеции параллельна её основаниям, \(\angle M N Q=\angle E D C\), откуда получаем:
\begin{equation*}
Q N=2 M N \cdot \cos \angle E D C=26 \cdot \frac{7}{25}=\frac{182}{25} .
\end{equation*}

a) Пусть прямая \(К М\) - общая касательная двух окружностей, причём точка \(M\) лежит на отрезке \(A B\).

Тогда по свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, \(A M=K M=B M\). Следовательно, точка \(K\) лежит на окружности диаметром \(A B\), а значит, \(\angle A K B=90^{\circ}\).
Углы \(A K D\) и \(B K C\) прямые, поэтому \(A D\) и \( B C\) - диаметры первой и второй окружностей соответственно. Значит, неравные отрезки \(A D\) и \(B C\) перпендикулярны касательной \(A B\), следовательно, они параллельны. Таким образом, четырёхугольник \(A B C D\) - трапеция.

б) Пусть точки \(O\) и \(Q\) - центры первой и второй окружностей соответетвенно, а точки \(E\) и \(H\) - проекции точек \(O\) и \(D\) соответственно на прямую \(B C\). Тогда в прямоугольном треугольнике \(O E Q\) :
\begin{equation*}
O Q=O K+K Q=5, E Q=Q B-E B=Q B-O A=3 ; O E=\sqrt{O Q^2-E Q^2}=4 .
\end{equation*}

В прямоугольном треугольнике \(D C H\) :
\begin{equation*}
C H=B C-B H=B C-A D=6, D H=O E=4 ; C D=\sqrt{D H^2+C H^2}=2 \sqrt{13} .
\end{equation*}

В прямоугольном треугольнике \(B D H\) :
\begin{equation*}
\operatorname{tg} \angle D B H=\frac{D H}{B H}=\frac{D H}{A D}=2 ; \sin \angle D B H=\frac{2}{\sqrt{5}} .
\end{equation*}

По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника \(B D C\), равен
\begin{equation*}
\frac{C D}{2 \sin \angle D B C}=\frac{\sqrt{65}}{2} \text {. }
\end{equation*}

a) Поскольку точка \(O \) - центр вписанной в треугольник \(A B C\) окружности, лучи \(A O\) и \(B O\) являются биссектрисами углов треугольника \(A B C\). Угол \(P O A\) является внешним углом треугольника \(A O B\).

Следовательно,
\begin{equation*}
\angle P O A=\angle B A O+\angle A B O=\frac{1}{2} \angle B A C+\frac{1}{2} \angle A B C .
\end{equation*}

Углы \(P A C\) и \(P B C\) равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника \(A B C\), поэтому

\begin{equation*}
\angle P A O=\angle P A C+\angle O A C=\angle P B C+\angle O A C=\frac{1}{2} \angle A B C+\frac{1}{2} \angle B A C .
\end{equation*}

Таким образом, \(\angle P O A=\angle P A O\).
б) Пусть \(R=10\) - радиус окружности, описанной около треугольника \(A B C\).

Поскольку \(\angle P O A=\angle P A O\), треугольник \(A P O\) равнобедренный, следовательно,
\begin{equation*}
O P=A P=2 R \sin \angle A B P=2 R \sin 30^{\circ}=10 \text {. }
\end{equation*}

Таким образом, площадь треугольника \(A P O\) равна
\begin{equation*}
\frac{A P \cdot O P \cdot \sin \angle A P O}{2}=\frac{A P^2 \cdot \sin \angle A C B}{2}=\frac{A P^2 \cdot \sin 45^{\circ}}{2}=25 \sqrt{2} \text {. }
\end{equation*}

a) Поскольку точка \(O \) - центр вписанной в треугольник \(A B C\) окружности, лучи \(B O\) и \(C O\) являются биссектрисами углов треугольника \(A B C\). Угол \( P O C\) является внешним углом треугольника \(B O C\).

Следовательно,
\begin{equation*}
\angle P O C=\angle B C O+\angle C B O=\frac{1}{2} \angle A C B+\frac{1}{2} \angle A B C .
\end{equation*}

Углы \(A C P\) и \(A B P\) равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника \(A B C\), поэтому \begin{equation*}
\angle P C O=\angle A C P+\angle A C O=\angle A B P+\angle A C O=\frac{1}{2} \angle A B C+\frac{1}{2} \angle A C B
\end{equation*}

Таким образом, \(\angle P O C=\angle P C O\). Следовательно, треугольник \(C P O\) равнобедренный, то есть \(O P=C P\).
б) Пусть \(R\) - радиус окружности, описанной около треугольника \(A B C\).

По теореме синусов
\begin{equation*}
A P=2 R \sin \angle A B P=2 R \sin 30^{\circ} .
\end{equation*}

Тогда расстояние от точки \(P\) до прямой \(A C\) равно
\begin{equation*}
A P \cdot \sin \angle P A C=A P \cdot \sin \angle P B C=A P \cdot \sin 30^{\circ}=2 R \sin ^2 30^{\circ}=\frac{R}{2} .
\end{equation*}

Получаем: \(\frac{R}{2}=18\), откуда \(R=36\).