Пусть \(t=5^x\), тогда неравенство примет вид:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
t^3-t^2+\frac{4 t^2-20}{t-5} \leq 4 ; t^3-t^2+\frac{4 t^2-4 t}{t-5} \leq 0 ;\left(t^2-t\right)\left(t+\frac{4}{t-5}\right) \leq 0 \\
\frac{t(t-1)\left(t^2-5 t+4\right)}{t-5} \leq 0 ; \frac{t(t-1)^2(t-4)}{t-5} \leq 0
\end{gathered}
\end{equation*}

откуда \(t \leq 0 ; t=1 ; 4 \leq t<5\).

При \(t \leq 0\) получим: \(5^x \leq 0\), решений нет.

При \(t=1\) получим: \(5^x=1\), откуда \(x=0\).

При \(4 \leq t<5\) получим: \(4 \leq 5^x<5\), откуда \(\log _5 4 \leq x<1\).

Решение исходного неравенства:
\begin{equation*}
x=0 ; \log _5 4 \leq x<1 .
\end{equation*}

Преобразуем исходное неравенство:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \log _{(x-3)^2+1}\left(5 x^2+3\right) \leq \log _{(x-3)^2+1}\left(4 x^2+7 x+3\right) ; \\
& \left\{\begin{array} { l } 
{ x \neq 3 , } \\
{ 5 x ^ { 2 } + 3 \leq 4 x ^ { 2 } + 7 x + 3 ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
x \neq 3, \\
x(x-7) \leq 0,
\end{array}\right.\right. \\
&
\end{aligned}
\end{equation*}

откуда \(0 \leq x<3\) или \(3<x \leq 7\).

Решение исходного неравенства:
\begin{equation*}
0 \leq x<3 ; 3<x \leq 7 \text {. }
\end{equation*}

Поскольку \(1-\frac{1}{(x-1)^2}<1\) при \(x \neq 1\), получаем систему:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ \frac { x ^ { 2 } + 5 x + 8 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } \geq 1 , } \\
{ 1 - \frac { 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } > 0 ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
\frac{4 x+3}{(x-2)(x-1)} \geq 0, \\
x(x-2)>0,
\end{array}\right.\right.
\end{equation*}

откуда \(-\frac{3}{4} \leq x<0\) или \(x>2\).

Решение исходного неравенства: \(-\frac{3}{4} \leq x<0 ; x>2\)

Рассмотрим два случая. 

Первый случай: \(0<\frac{x}{2}<1\).
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ 0 < x < 2 , } \\
{ x ^ { 2 } - 2 x + 1 > 0 , } \\
{ x ^ { 2 } - 2 x + 1 \leq \frac { x ^ { 2 } } { 4 } ; }
\end{array} \left\{\begin{array} { l } 
{ 0 < x < 2 , } \\
{ ( x - 1 ) ^ { 2 } > 0 , } \\
{ 3 x ^ { 2 } - 8 x + 4 \leq 0 ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
0<x<2, \\
x \neq 1, \\
(3 x-2)(x-2) \leq 0,
\end{array}\right.\right.\right.
\end{equation*}

откуда \(\frac{2}{3} \leq x<1 ; 1<x<2\).

Второй случай: \(\frac{x}{2}>1\), откуда \(x>2\).

Решение исходного неравенства:
\begin{equation*}
\frac{2}{3} \leq x<1 ; 1<x<2 ; x>2 \text {. }
\end{equation*}

Пусть \(t=3^x\), тогда неравенство примет вид:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\frac{t^2-3 t-19}{t-6}+\frac{9 t^2-81 t+2}{t-9} \leq 10 t+3 ; \\
\frac{(t+3)(t-6)}{t-6}-\frac{1}{t-6}+\frac{9 t(t-9)}{t-9}+\frac{2}{t-9} \leq 10 t+3 ; \\
-\frac{1}{t-6}+\frac{2}{t-9} \leq 0 ; \frac{t-3}{(t-6)(t-9)} \leq 0,
\end{gathered}
\end{equation*}

откуда \(t \leq 3 ; 6<t<9\).

При \(t \leq 3\) получим: \(3^x \leq 3\), откуда \(x \leq 1\).

При \(6<t<9\) получим: \(6<3^x<9\), откуда \(\log _3 6<x<2\).

Решение исходного неравенства:
\begin{equation*}
x \leq 1 ; \log _3 6<x<2 \text {. }
\end{equation*}

Пусть \(t=3^x\), тогда неравенство примет вид:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\frac{3 t^3-10 t^2+10 t-5}{3 t^2-10 t+3} \leq t+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{3 t-1} \\
\frac{t\left(3 t^2-10 t+3\right)}{3 t^2-10 t+3}+\frac{6 t-2}{3 t^2-10 t+3}+\frac{t-3}{3 t^2-10 t+3} \leq t+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{3 t-1} \\
t+\frac{2}{t-3}+\frac{1}{3 t-1} \leq t+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{3 t-1} \\
\frac{2}{t-3} \leq \frac{1}{t-2}, \text { где } t \neq \frac{1}{3} ; \frac{t-1}{(t-2)(t-3)} \leq 0, \text { где } t \neq \frac{1}{3}
\end{gathered}
\end{equation*}

откуда \(t<\frac{1}{3} ; \frac{1}{3}<t \leq 1 ; 2<t<3\).

При \(t<\frac{1}{3}\) получим: \(3^x<\frac{1}{3}\), откуда \(x<-1\).

При \(\frac{1}{3}<t \leq 1\) получим: \(\frac{1}{3}<3^x \leq 1\), откуда \(-1<x \leq 0\).

При \(2<t<3\) получим: \(2<3^x<3\), откуда \(\log _3 2<x<1\).

Решение исходного неравенства:
\begin{equation*}
x<-1 ;-1<x \leq 0 ; \log _3 2<x<1 .
\end{equation*}