15. Неравенства
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2017) Решите неравенство \(\frac{2 \cdot 4^{x-2}}{2 \cdot 4^{x-2}-1} \geq \frac{7}{4^x-1}+\frac{40}{16^x-9 \cdot 4^x+8}\)
Ответ
(ЕГЭ, 2017) Решите неравенство \(\frac{8^{x+1}-40}{2 \cdot 64^x-32} \leq 1\)
Ответ
(ЕГЭ, 2017) Решите неравенство \(4^{6 x-x^2-4}-34 \cdot 2^{6 x-x^2-4}+64 \geq 0\)
Ответ
(ЕГЭ, 2017) Решите неравенство \(\frac{\log _2\left(2 x^2-17 x+35\right)-1}{\log _7(x+6)} \leq 0\)
Ответ
(ЕГЭ, 2016) Решите неравенство \((5 x-13) \cdot \log _{2 x-5}\left(x^2-6 x+10\right) \geq 0\).
Решение
Заметим, что \(x^2-6 x+10=(x-3)^2+1 \geq 1\) при любых значениях \(x\). Значит, выражение \(\log _{2 x-5}\left(x^2-6 x+10\right)\) положительно при \(x>3\), отрицательно при \(\frac{5}{2}<x<3\) и не определено при \(x \leq \frac{5}{2}\) и \(x=3\).
При \(x>3\) выражение \(5 x-13\) положительно, а при \(\frac{5}{2}<x<3\) исходное неравенство равносильно неравенству \(5 x-13 \leq 0\), откуда \(x \leq \frac{13}{5}\).
Таким образом, решение исходного неравенства:
\begin{equation*}
\frac{5}{2}<x \leq \frac{13}{5} ; x>3 \text {. }
\end{equation*}
Ответ
(ЕГЭ, 2016) Решите неравенство \(\frac{4^x-2^{x+4}+30}{2^x-2}+\frac{4^x-7 \cdot 2^x+3}{2^x-7} \leq 2^{x+1}-14\)
Решение
Пусть \(t=2^x\), тогда неравенство примет вид:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\frac{t^2-16 t+30}{t-2}+\frac{t^2-7 t+3}{t-7} \leq 2 t-14 ; \\
\frac{(t-14)(t-2)}{t-2}+\frac{2}{t-2}+\frac{t(t-7)}{t-7}+\frac{3}{t-7} \leq 2 t-14 ; \\
\frac{2}{t-2}+\frac{3}{t-7} \leq 0 ; \frac{t-4}{(t-2)(t-7)} \leq 0,
\end{gathered}
\end{equation*}
откуда \(t<2 ; 4 \leq t<7\).
При \(t<2\) получим: \(2^x<2\), откуда \(x<1\).
При \(4 \leq t<7\) получим: \(4 \leq 2^x<7\), откуда \(2 \leq x<\log _2 7\).
Решение исходного неравенства:
\begin{equation*}
x<1 ; 2 \leq x<\log _2 7 \text {. }
\end{equation*}