15. Неравенства
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2019) Решите неравенство \(\frac{25^{x^2+x-10}-(0,2)^{x^2-2 x-7}}{0,5 \cdot 4^{x-1}-1} \leq 0\)
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\frac{5^{2 x^2+2 x-20}-(0,2)^{x^2-2 x-7}}{2^{2 x-3}-1} \leq 0\)
\(\frac{5^{3 x^2-27}-1}{2^{2 x-3}-1} \leq 0\)
\(\frac{5^{3(x-3)(x+3)}-1}{2^{2 x-3}-1} \leq 0\), откуда \(x \leq-3 ; \frac{3}{2}<x \leq 3\).
Ответ
(ЕГЭ, 2019) Решите неравенство \(\log _{0,5}(10-10 x) \leq \log _{0,5}\left(x^2-5 x+4\right)+\log _{0,5}(x+3)\)
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\log _{0.5}(10(1-x)) \leq \log _{0.5}((4-x)(1-x))+\log _{0.5}(x+3) ;\)
\(\log _{0,5} 10+\log _{0,5}(1-x) \leq \log _{0,5}(4-x)+\log _{0,5}(1-x)+\log _{0,5}(x+3)\)
Неравенство определено при \(-3<x<1\), поэтому при \(-3<x<1\) неравенство принимает вид:
\(10 \geq(4-x)(x+3)\)
\(10 \geq 12+x-x^2\)
\(x^2-x-2 \geq 0\), откуда \(x \leq-1 ; \quad x \geq 2\). Учитывая ограничение \(-3<x<1\), получаем: \(-3<x \leq-1\).
Ответ
(ЕГЭ, 2019) Решите неравенство \(\log _3(9-9 x)>\log _3\left(x^2-3 x+2\right)+\log _3(x+4)\)
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\log _3(9(1-x))>\log _3((2-x)(1-x))+\log _3(x+4) ;\)
\(2+\log _3(1-x)>\log _3(2-x)+\log _3(1-x)+\log _3(x+4)\)
Неравенство определено при \(-4<x<1\), поэтому при \(-4<x<1\) неравенство принимает вид:
\(9>(2-x)(x+4)\)
\(9>8-2 x-x^2\)
\(x^2+2 x+1>0\), откуда \(x \neq-1\). Учитывая ограничение \(-4<x<1\), получаем: \(-4<x<-1\); \(-1<x<1\).
Ответ
(ЕГЭ, 2019) Решите неравенство \(\log _{\frac{1}{3}}\left((4-x)\left(x^2+29\right)\right) \leq \log _{\frac{1}{3}}\left(x^2-10 x+24\right)+\log _{\frac{1}{3}}(7-x)\)
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\log _{\frac{1}{3}}\left((4-x)\left(x^2+29\right)\right) \leq \log _{\frac{1}{3}}((4-x)(6-x))+\log _{\frac{1}{3}}(7-x)\)
\(\log _{\frac{1}{3}}(4-x)+\log _{\frac{1}{3}}\left(x^2+29\right) \leq \log _{\frac{1}{3}}(4-x)+\log _{\frac{1}{3}}(6-x)+\log _{\frac{1}{3}}(7-x)\)
Неравенство определено при \(x<4\), поэтому при \(x<4\) неравенство пиринимает вид:
\(x^2+29 \geq(6-x)(7-x) \)
\(x^2+29 \geq x^2-13 x+42 \)
\(13x \geq 13\), откуда \(x \geq 1\). Учитывая ограничение \(x<4\), получаем: \(1 \leq x<4\).
Ответ
(ЕГЭ, 2019) Решите неравенство \(\log _3(4-4 x) \geq \log _3\left(x^2-4 x+3\right)+\log _3(x+2)\)
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\log _3(4(1-x)) \geq \log _3((3-x)(1-x))+\log _3(x+2) ;\)
\(\log _3 4+\log _3(1-x) \geq \log _3(3-x)+\log _3(1-x)+\log _3(x+2)\)
Неравенство определено при \(-2<x<1\), поэтому при \(-2<x<1\) неравенство принимает вид:
\(4 \geq(3-x)(x+2) \)
\(4 \geq 6+x-x^2 \)
\(x^2-x-2 \geq 0\), откуда \(x \leq-1 ; \quad x \geq 2\). Учитывая ограничение \(-2<x<1\), получаем: \(-2<x \leq-1\)
Ответ
(ЕГЭ, 2019) Решите неравенство \(\log _2\left((x-1)\left(x^2+2\right)\right) \leq 1+\log _2\left(x^2+3 x-4\right)-\log _2 x\).
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\log _2\left((x-1)\left(x^2+2\right)\right) \leq 1+\log _2((x-1)(x+4))-\log _2 x\);
\(\log _2(x-1)+\log _2\left(x^2+2\right) \leq 1+\log _2(x-1)+\log _2(x+4)-\log _2 x\).
Неравенство определено при \(x>1\), поэтому при \(x>1\) неравенство принимает вид:
\(x^2+2 \leq \frac{2 x+8}{x}\)
\(\frac{x^3-8}{x} \leq 0\)
\(\frac{(x-2)\left(x^2+2 x+4\right)}{x} \leq 0\), откуда \(0<x \leq 2\). Учитывая ограничение \(x>1\), получаем: \(1<x \leq 2\).