Запишем исходное неравенство в виде:

\(\log _5\left((3-x)\left(x^2+2\right)\right) \geq \log _5((3-x)(4-x))+\log _5(5-x)\)

\(\log _5(3-x)+\log _5\left(x^2+2\right) \geq \log _5(3-x)+\log _5(4-x)+\log _5(5-x)\)

Неравенство определено при \(x<3\), поэтому при \(x<3\) неравенство принимает вид:

\(x^2+2 \geq(4-x)(5-x) x^2+2 \geq x^2-9 x+20 ; 9 x \geq 18\)

откуда \(x \geq 2\). Учитывая ограничение \(x<3\), получаем: \(2 \leq x<3\).

Запишем исходное неравенство в виде:

\(\frac{x^2}{3} \cdot \log _7(x+3) \leq 2 \log _7(x+3)\)

\(\left(x^2-6\right) \log _7(x+3) \leq 0\).

Заметим, что выражение \(\log _7(x+3)\) определено при \(x>-3\), принимает отрицательные значения при \(-3<x<-2\), равно \(0\) при \(x=-2\) и принимает положительные значения при \(x>-2\).

При \(-3<x<-2\) неравенство принимает вид \(x^2-6 \geq 0\), откуда \(x \leq-\sqrt{6}\); \(x \geq \sqrt{6}\). Учитывая ограничение \(-3<x<-2\), получаем \(-3<x \leq-\sqrt{6}\).

При \(x>-2\) неравенство принимает вид \(x^2-6 \leq 0\), откуда \(-\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6}\). Учитывая ограничение \(x>-2\), получаем \(-2<x \leq \sqrt{6}\).

Учитывая ограничение \(x>-2\), получаем \(-2<x \leq \sqrt{6}\).

Таким образом, решение исходного неравенства: \(-3<x \leq-\sqrt{6}\); \(-2 \leq x \leq \sqrt{6}\).

Запишем исходное неравенство в виде: 

\(\frac{x^2}{4} \cdot \log _5(6-x) \leq 2 \log _5(6-x)\)

\(\left(x^2-8\right) \log _5(6-x) \leq 0\)

Заметим, что выражение \(\log _5(6-x)\) определено при \(x<6\), принимает отрицательные значения при \(5<x<6\), равно \(0\) при \(x=5\) и принимает положительные значения при \(x<5\).

При \(5<x<6\) значение выражения \(x^2-8\) положительно, а значит, любое значение \(x\) из этого интервала удовлетворяет неравенству \(\left(x^2-8\right) \log _5(6-x) \leq 0\)

При \(x<5\) неравенство принимает вид \(x^2-8 \leq 0\), откуда \(-2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}\).

Таким образом, решение исходного неравенства: \(-2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2} ; 5 \leq x<6\).

Запишем исходное неравенство в виде: 

\(\frac{x^2}{2} \cdot \log _5(x-3) \geq 2 \log _5(x-3)\)

\(\left(x^2-4\right) \log _5(x-3) \geq 0\)

Заметим, что выражение \(\log _5(x-3)\) определено при \(x>3\), а выражение \(x^2-4\) при \(x>3\) положительно. Значит, получившееся неравенство равносильно неравенству \(\log _5(x-3) \geq 0 ; x-3 \geq 1\), откуда \(x \geq 4\).

Таким образом, решение исходного неравенства: \(x \geq 4\).

Запишем исходное неравенство в виде: 

\(\left(27 \cdot 45^x-27 \cdot 27^x\right)-\left(12 \cdot 15^x-12 \cdot 9^x\right)+\left(5^x-3^x\right) \leq 0\)

\(\left(5^x-3^x\right)\left(27 \cdot 9^x-12 \cdot 3^x+1\right) \leq 0\)

\(\left(5^x-3^x\right)\left(9 \cdot 3^x-1\right)\left(3 \cdot 3^x-1\right) \leq 0\), откуда \(x \leq-2 ;-1 \leq x \leq 0\).

Пусть \(t=3^x\), тогда исходное неравенство примет вид:

\(\frac{t^2+2 t-117}{t-27} \leq 1\)

\(\frac{t^2+t-90}{t-27} \leq 0\)

\(\frac{(t-9)(t+10)}{t-27} \leq 0\), откуда \(t \leq-10 ; 9 \leq t<27\).

При \(t \leq-10\) получим: \(3^x \leq-10\) - нет решений.

При \(9 \leq t<27\) получим: \(9 \leq 3^x<27\), откуда \(2 \leq x<3\).

Решение исходного неравенства: \(2 \leq x<3\).