Пусть \(t=\log _2 x\), тогда неравенство примет вид:

 \(\dfrac{45}{\left(t^2+6 t\right)^2}+\dfrac{14}{t^2+6 t}+1 \geq 0\);

\(\dfrac{\left(t^2+6 t\right)^2+14\left(t^2+6 t\right)+45}{\left(t^2+6 t\right)^2} \geq 0\);

 \(\dfrac{\left(t^2+6 t+5\right)\left(t^2+6 t+9\right)}{\left(t^2+6 t\right)^2} \geq 0\);

\(\dfrac{(t+1)(t+5)(t+3)^2}{t^2(t+6)^2} \geq 0\)

откуда \(t<-6 ;\quad -6<t \leq-5 ;\quad t=-3 ;\)

\(\quad-1 \leq t<0 ;\quad t>0\).

Таким образом, получаем:

\(\log _2 x<-6 ; \quad -6<\log _2 x \leq-5 ; \quad\)

\(\log _2 x=-3 ;\quad -1 \leq \log _2 x<0 ;\quad \log _2 x>0\)

Решение исходного неравенства:

\(0<x<\dfrac{1}{64} ;\quad \dfrac{1}{64}<x \leq \dfrac{1}{32} ;\quad x=\dfrac{1}{8} ;\)

\(\quad\dfrac{1}{2} \leq x<1 ; \quad x>1\).

 

\(\left(0 ; \dfrac{1}{64}\right) ;\left(\dfrac{1}{64} ; \dfrac{1}{32}\right] ; \dfrac{1}{8} ;\left[\dfrac{1}{2} ; 1\right) ;(1 ;+\infty)\)

Пусть \(t=\log _4 x\), тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{t+1}{t^2-3 t} \geq-1 ;\)

\(\dfrac{t^2-2 t+1}{t^2-3 t} \geq 0 ;\)

\( \dfrac{(t-1)^2}{t(t-3)} \geq 0,\)

откуда \(t<0 ; t=1 ; t>3\).

При \(t<0\) получим: \(\log _4 x<0\), откуда \(0<x<1\).

При \(t=1\) получим: \(\log _4 x=1\), откуда \(x=4\).

При \(t>3\) получим: \(\log _4 x>3\), откуда \(x>64\).

Решение исходного неравенства: \(0<x<1 ; x=4 ; x>64 \text {. }\)

\((0 ; 1) ; 4 ;(64 ;+\infty)\).

Пусть \(t=3^x\), тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{4}{t-27} \geq \dfrac{1}{t-9} ;\)

\(\dfrac{3 t-9}{(t-9)(t-27)} \geq 0 ;\)

\(\dfrac{3(t-3)}{(t-9)(t-27)} \geq 0 .\)

откуда \(3 \leq t<9 ; t>27\).

При \(3 \leq t<9\) получим: \(3 \leq 3^x<9\), откуда \(1 \leq x<2\).

При \(t>27\) получим: \(3^x>27\), откуда \(x>3\).

Решение исходного неравенства: \(1 \leq x<2 ; x>3\).

\([1 ; 2) ;(3 ;+\infty)\).

Пусть \(t=3^x\), тогда неравенство примет вид:
\(t+\dfrac{243}{t-36} \geq 0 ; \)

\(\dfrac{t^2-36 t+243}{t-36} \geq 0 ; \)

\(\dfrac{(t-9)(t-27)}{t-36} \geq 0,\)

откуда \(9 \leq t \leq 27 ; t>36\).

При \(9 \leq t \leq 27\) получим: \(9 \leq 3^x \leq 27\), откуда \(2 \leq x \leq 3\).

При \(t>36\) получим: \(3^x>36\), откуда \(x>\log _3 36\).

Решение исходного неравенства: \(2 \leq x \leq 3 ; x>\log _3 36\).

\([2 ; 3] ;\left(\log _3 36 ;+\infty\right)\).

Пусть \(t=3^x\), тогда неравенство примет вид:
\(t-\dfrac{702}{t-1} \geq 0 ; \)

\(\dfrac{t^2-t-702}{t-1} \geq 0 ; \)

\(\dfrac{(t+26)(t-27)}{t-1} \geq 0\).

откуда \(-26 \leq t<1 ; t \geq 27 \) 

При \(-26 \leq t<1\) получим: \(-26 \leq 3^x<1\), откуда  x<0 .

При \(t \geq 27\) получим: \(3^x \geq 27\), откуда \(x \geq 3\).

Решение исходного неравенства: \(x<0 ; x \geq 3\).

\((-\infty ; 0) ;[3 ;+\infty)\).

Пусть \(t=2^x\), тогда неравенство примет вид:
\(t-\dfrac{240}{t-1} \geq 0 ;\)

\(\dfrac{t^2-t-240}{t-1} \geq 0 ; \)

\(\dfrac{(t+15)(t-16)}{t-1} \geq 0 \,\)

откуда \(-15 \leq t<1 ; t \geq 16.\)

При \(-15 \leq t<1\) получим: \(-15 \leq 2^x<1\), откуда \(x<0\) . 

При \(t \geq 16\) получим: \(2^x \geq 16\), откуда \(x \geq 4 \). 

Решение исходного неравенства: \( x<0 ; x \geq 4 \). 

\(-\infty ; 0) ;[4 ;+\infty) \text {. }\)