15. Неравенства
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2023) Решите неравенство \(\dfrac{\log _2 x^2-\log _3 x^2}{\log _6^2\left(2 x^2-10 x+12,5\right)+1} \geq 0\).
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\dfrac{\log _2 x^2-\log _3 x^2}{\log _6^2\left(\dfrac{1}{2}(2 x-5)^2\right)+1} \geq 0 .\)
Значение знаменателя \(\log _6^2\left(\dfrac{1}{2}(2 x-5)^2\right)+1\) не определено при \(x=\dfrac{5}{2}\) и положительно при других
значениях \(x\).
При \(x \neq \dfrac{5}{2}\) неравенство принимает вид:
\(\log _2 x^2-\log _3 x^2 \geq 0 ; \)
\(\log _2 3 \cdot \log _3 x^2-\log _3 x^2 \geq 0\);
\(\left(\log _2 3-1\right) \cdot \log _3 x^2 \geq 0 ; \)
\(\log _3 x^2 \geq 0 ; \)
\(x^2 \geq 1,\)
откуда \(x \leq-1 ; x \geq 1\). Учитывая условие \(x \neq \dfrac{5}{2}\), получаем: \(x \leq-1 ; 1 \leq x<\dfrac{5}{2}\); \(x>\dfrac{5}{2}\).
Ответ
(ЕГЭ, 2023) Решите неравенство \(\log _3^2(x-4)-\log _3^2(x-6) \leq 0\).
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\left(\log _3(x-4)-\log _3(x-6)\right)\)
\(\left(\log _3(x-4)+\log _3(x-6)\right) \leq 0\).
Левая часть неравенства определена при \(x>6\).
Значение выражения \(\log _3(x-4)-\log _3(x-6)\) при \(x>6\) положительно, поскольку \(x-4>x-6\). При \(x>6\) неравенство принимает вид:
\(\log _3((x-4)(x-6)) \leq 0\);
\((x-4)(x-6) \leq 1\);
\(x^2-10 x+23 \leq 0,\)
откуда \(5-\sqrt{2} \leq x \leq 5+\sqrt{2}\).
Учитывая условие \(x>6\), получаем:
\(6<x \leq 5+\sqrt{2} \text {. }\)
Ответ
(ЕГЭ, 2023) Решите неравенство \(4 \cdot 4^{x^2+2 x-5}-33 \cdot 2^{x^2+2 x-5}+8 \geq 0\).
Решение
Пусть \(t=2^{x^2+2 x-5}\), тогда неравенство примет вид:
\(4 t^2-33 t+8 \geq 0 ;\)
\((4 t-1)(t-8) \geq 0,\)
откуда \(t \leq \dfrac{1}{4} ;\quad t \geq 8\).
При \(\quad t \leq \dfrac{1}{4} \quad\) получим:
\(\quad 2^{x^2+2 x-5} \leq \dfrac{1}{4}\);
\(x^2+2 x-5 \leq-2\);
\(x^2+2 x-3 \leq 0\);
\((x-1)(x+3) \leq 0\),
откуда \(-3 \leq x \leq 1\).
При \(\quad t \geq 8 \quad\) получим: \(2^{x^2+2 x-5} \geq 8\);
\(x^2+2 x-5 \geq 3\);
\(x^2+2 x-8 \geq 0\);
\((x-2)(x+4) \geq 0\),
откуда \(x \leq-4 ; x \geq 2\).
Решение исходного неравенства:
\(x \leq-4 ;-3 \leq x \leq 1 ; x \geq 2 \text {. }\)
Ответ
(ЕГЭ, 2023) Решите неравенство \(\dfrac{4^x+2^{x+1}-36}{2^x-5}+\dfrac{4^{x+1}-2^{x+5}+4}{2^x-8} \leq 5 \cdot 2^x+7\).
Решение
Пусть \(t=2^x\), тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{t^2+2 t-36}{t-5}+\dfrac{4 t^2-32 t+4}{t-8} \leq 5 t+7\)
\(\dfrac{(t+7)(t-5)}{t-5}-\dfrac{1}{t-5}+\dfrac{4 t(t-8)}{t-8}+\)
\(+\dfrac{4}{t-8} \leq 5 t+7\)
\(-\dfrac{1}{t-5}+\dfrac{4}{t-8} \leq 0\);
\(\dfrac{t-4}{(t-5)(t-8)} \leq 0 \)
откуда \(t \leq 4 ; \quad 5<t<8\).
При \(t \leq 4\) получим: \(2^x \leq 4\), откуда \(x \leq 2\).
При \(5<t<8\) получим: \(5<2^x<8\), откуда \(\log _2 5<x<3\).
Решение исходного неравенства:
\(x \leq 2 ; \log _2 5<x<3\).
Ответ
(ЕГЭ, 2023) Решите неравенство \(\log _{0,1}\left(x^3-5 x^2-25 x+125\right) \leq\)
\(\log _{0,01}(x-5)^4\)
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\log _{0,1}\left((x-5)^2(x+5)\right) \leq \log _{0.1}(x-5)^2\);
\(\log _{0,1}(x-5)^2+\log _{0,1}(x+5) \leq \log _{0.1}(x-5)^2\)
Правая часть неравенства определена при \(x \neq 5\).
При \(x \neq 5\) неравенство принимает вид: \(\log _{0,1}(x+5) \leq 0 ; x+5 \geq 1 \text {, }\)
откуда \(x \geq-4\).
Учитывая ограничение \(x \neq 5\), получаем: \(-4 \leq x<5 ; x>5\).
Ответ
(ЕГЭ, 2023) Решите неравенство \(\log _4\left((x-5)\left(x^2-2 x-15\right)\right)+1 \geq\)
\(0,5 \log _2(x-5)^2\).
Решение
Запишем исходное неравенство в виде:
\(\log _4\left((x-5)^2(x+3)\right)+1 \geq \log _4(x-5)^2\);
\(\log _4(x-5)^2+\log _4(x+3)+1 \geq \log _4(x-5)^2\)
Правая часть неравенства определена при \(x \neq 5\).
При \(x \neq 5\) неравенство принимает вид: \(\log _4(x+3) \geq-1 ; x+3 \geq 0,25\) ,
откуда \(x \geq-2,75\). Учитывая ограничение \(x \neq 5\),
получаем: \(-2,75 \leq x<5\); \(x>5\).