16. Банковская задача
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2017) Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(t\) единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, 300 рублей.
Вадим готов выделять 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Ответ
(ЕГЭ, 2017) Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят \(10 t\) тыс. рублей в конце года \(t(t=1 ; 2 ; \ldots)\). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \(1+r\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях \(r\) это возможно?
Ответ
(ЕГЭ, 2016) Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на \(10 \%\) по сравнению с его размером в начале года, a, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад равен \(S\) (млн рублей). Тогда в конце первого года вклад составит \(1,1 S\), а в конце второго - \(1,21 S\). В начале третьего года вклад составит \(1,21 S+3\), а в конце - \(1,331 S+3,3\). В начале четвёртого года вклад составит \(1,331 S+6,3\), а в конце - \(1,4641 S+6,93\).
По условию, нужно найти наибольшее целое \(S\), для которого выполнено неравенство
\begin{equation*}
1,4641 S+6,93<25 ; S<12 \frac{5008}{14641} .
\end{equation*}
Наибольшее целое решение этого неравенства - число 12. Значит, размер первоначального вклада составляет 12 млн рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2016) 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \(r\) процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где \(r\) - целое число;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение \(r\), при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Решение
По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\begin{equation*}
1 ; 0,6 ; 0,4 ; 0,3 ; 0,2 ; 0,1 ; 0 \text {. }
\end{equation*}
Пусть \(k=1+\frac{r}{100}\), тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
\begin{equation*}
k ; 0,6 k ; 0,4 k ; 0,3 k ; 0,2 k ; 0,1 k .
\end{equation*}
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
\begin{equation*}
k-0,6 ; 0,6 k-0,4 ; 0,4 k-0,3 ; 0,3 k-0,2 ; 0,2 k-0,1 ; 0,1 k .
\end{equation*}
Общая сумма выплат составляет:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& k(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)-(0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)= \\
& \quad=(k-1)(1+0,6+0,4+0.3+0,2+0,1)+1=2,6(k-1)+1 .
\end{aligned}
\end{equation*}
По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, значит,
\begin{equation*}
2,6(k-1)+1<1,2 ; 2,6 \cdot \frac{r}{100}+1<1,2 ; r<7 \frac{9}{13} .
\end{equation*}
Наибольшее целое решение этого неравенства - число 7. Значит, искомое число процентов - 7 .
Ответ
(ЕГЭ, 2016) В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере \(S\) млн рублей, где \(S\) - целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на \(25 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение \(S\), при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Решение
Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\begin{equation*}
S ; 0,7 S ; 0,4 S ; 0 .
\end{equation*}
По условию в январе каждого года долг увеличивается на \(25 \%\), значит, долг в январе каждого года равен:
\begin{equation*}
1,25 S ; 0,875 S ; 0,5 S \text {. }
\end{equation*}
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:
\begin{equation*}
0,55 S ; 0,475 S ; 0,5 S .
\end{equation*}
Наименьшая из выплат должна быть больше 5 млн рублей:
\begin{equation*}
0,475 S>5 ; S>10 \frac{10}{19} \text {. }
\end{equation*}
Наименьшее целое решение этого неравенства - число 11. Значит, искомый размер кредита - 11 млн рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2016) В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере \(S\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \(20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2017,2018 и 2019 годов долг остаётся равным \(S\) тыс. рублей;
- выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
- к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Решение
В июле 2017,2018 и 2019 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют \(0,2 S\) тыс. рублей.
В январе 2020 года долг (в тыс. рублей) равен \(1,2 S\), а в июле \(-1,2 S-360\).
В январе 2021 года долг равен \(1,44 S-432\), а в июле - \(1,44 S-792\).
По условию, долг будет выплачен полностью, значит, \(1,44 S-792=0\), откуда \(S=550\).
Таким образом, первые три выплаты составляют по 110 тыс. рублей, а последние две - по 360 тыс. рублей.
Общая сумма выплат составляет:
\begin{equation*}
3 \cdot 110+2 \cdot 360=1050 \text { (тыс. рублей). }
\end{equation*}