16. Банковская задача
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2022) 15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на \(1 \%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 -е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет на \(20 \%\) больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Пусть сумма кредита равна \(S\), а кредит планируется взять на \(n\) месяцев.
По условию, долг перед банком по состоянию на 15 -е число должен уменьшаться до нуля равномерно:
\(S, \dfrac{S(n-1)}{n}, \ldots, \dfrac{2 S}{n},\dfrac{S}{n}, 0.\)
Первого числа каждого месяца долг будет возрастать на \(1 \%\), значит, последовательность размеров долга на 1-е число каждого месяца такова:
\(1,01 S, \dfrac{1,01 S(n-1)}{n}, \ldots, \dfrac{2,02 S}{n},\dfrac{1,01 S}{n}\)
Следовательно, платежи должны быть следующими:
\(0,01 S+\dfrac{S}{n},\dfrac{0,01 S(n-1)}{n}+\dfrac{S}{n}, \ldots,\)
\(\dfrac{0,02 S}{n}+\dfrac{S}{n}, \dfrac{0,01 S}{n}+\dfrac{S}{n} .\)
Сумма всех платежей:
\(S+0,01 S\left(\dfrac{n}{n}+\dfrac{n-1}{n}+\ldots+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n}\right)=\)
\(S+\dfrac{0,01(n+1)}{2} \cdot S .\)
Сумма всех платежей на \(20 \%\) больше суммы, взятой в кредит, поэтому
\begin{equation*}
\dfrac{0,01(n+1)}{2}=0,2 \text {, }
\end{equation*}
откуда \(n=39\).
Кредит планируется взять на 39 месяцев.
Ответ
(ЕГЭ, 2021) Строительство нового завода стоит 101,5 млн рублей. Затраты на производство \(x\) тыс. единиц продукции на таком заводе равны \(\left(0,5 x^2+x+7\right)\) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене \(p\) тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(p x-\left(0,5 x^2+x+7\right)\). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции \(p=9\) тыс. рублей за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?
Решение
Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составляет
\begin{equation*}
p x-\left(0,5 x^2+x+7\right)=-0,5 x^2+(p-1) x-7 .
\end{equation*}
Полученное выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения \(\dfrac{(p-1)^2}{2}-7\) при \(x=p-1\).
Таким образом, в первый год прибыль составит 25 млн рублей, во второй 33,5 млн рублей, в третий - 43 млн рублей. Поскольку \(25+33,5+43=101,5\), строительство полностью окупится за 3 года.
Ответ
(ЕГЭ, 2021) 15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(2 \%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;
— 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?
Решение
Пусть сумма кредита равна \(A\) тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число каждого месяца (с декабря 2024 года по июль 2027 года) должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\(A ; \dfrac{29 A+100}{30} ; \dfrac{28 A+2 \cdot 100}{30} ; \ldots ; \dfrac{A+29 \cdot 100}{30} ; 100 ; 0 .\)
Первого числа каждого месяца долг возрастает на \(2 \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число каждого месяца (с января 2025 года по июль 2027 года) такова:
\(1,02 A ; 1,02 \cdot \cfrac{29 A+100}{30} ; \ldots ; 1,02 \cdot \dfrac{A+29 \cdot 100}{30} ; 102 .\)
Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\(0,02 A+\dfrac{A-100}{30} ; 0,02 \cdot \dfrac{29 A+100}{30}+\dfrac{A-100}{30} ; \ldots ; 0,02 \cdot \dfrac{A+29 \cdot 100}{30}+\dfrac{A-100}{30} ; 102 .\)
Общая сумма выплат (в тыс. рублей) составит
\(0,02 \cdot \dfrac{31 A+29 \cdot 100}{2}+A-100+102=1,31 A+31,\)
откуда \(1,31 A+31=555 ; 1,31 A=524 ; A=400\).
Значит, сумма, которую планируется взять в кредит, равна 400 тыс. рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2021) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на \(20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на \(r \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите \(r\).
Решение
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль 2025-2031 годов должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\begin{equation*}
300 ; 250 ; 200 ; 150 ; 100 ; 50 ; 0 .
\end{equation*}
В январе каждого года с 2026 по 2028 долг возрастает на \(20 \%\), а в январе каждого года с 2029 по 2031 - на \(r \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе 2026-2031 годов такова:
\(360 ; 300 ; 240 ; 150\left(1+\dfrac{r}{100}\right) ; 100\left(1+\dfrac{r}{100}\right) ; 50\left(1+\dfrac{r}{100}\right) .\)
Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\begin{equation*}
110 ; 100 ; 90 ; 1,5 r+50 ; r+50 ; 0,5 r+50 \text {. }
\end{equation*}
Значит, общая сумма выплат (в тыс. рублей) составит
\(110+100+90+(1,5 r+50)+(r+50)+(0,5 r+50)=3 r+450,\)
откуда \(3 r+450=498 ; 3 r=48 ; r=16\).
Ответ
(ЕГЭ, 2021) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 600 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на \(r \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на \(15 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выллатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 975 тысяч рублей. Найдите \(r\).
Решение
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль 2025-2031 годов должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\begin{equation*}
600 ; 500 ; 400 ; 300 ; 200 ; 100 ; 0 \text {. }
\end{equation*}
В январе каждого года с 2026 по 2028 долг возрастает на \(r \%\), а в январе каждого года с 2029 по 2031 - на \(15 \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе 2026-2031 годов такова:
\(600\left(1+\dfrac{r}{100}\right) ; 500\left(1+\dfrac{r}{100}\right) ;400\left(1+\dfrac{r}{100}\right) ; 345 ; 230 ; 115 .\)
Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\begin{equation*}
6 r + 100 ; 5 r+100 ; 4 r+100 ; 145 ; 130 ; 115 \text {. }
\end{equation*}
Значит, общая сумма выплат (в тыс. рублей) составит
\((6 r+100)+(5 r+100)+(4 r+100)+145+130+115=15 r+690 \text {, } \)
откуда \(15 r+690=975 ;\)
\(15 r=285 ; r=19 . \)
Ответ
(ЕГЭ, 2021) 15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(1 \%\) по сравнению с концом предыдушего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить масть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й (с февраля по ноябрь 2025 года включительно) долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15 ноября 2025 года долг составит 400 тысяч рублей;
— 15 декабря 2025 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число каждого месяца (с января по декабрь 2025 года) должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\(1200 ; 1120 ; \ldots ; 480 ; 400 ; 0 .\)
Первого числа каждого месяца долг возрастаст на \(1 \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число каждого месяца (с февраля по декабрь 2025 года) такова:
\(1212 ; 1131,2 ; \ldots ; 484,8 ; 404 .\)
Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\(92 ; 91,2 ; \ldots ; 84,8 ; 404 .\)
Значит, общая сумма выплат (в тыс. рублей) составит
\(\dfrac{10 \cdot 176,8}{2}+404=1288 \text {. }\)