16. Банковская задача
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2023) Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят \(t^2\) тыс. рублей в конце года \(t(t=1 ; 2 ; \ldots)\). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на \(25 \%\). В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?
Решение
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года \(k\), то в конце двадцатого года на его счёте будет \(a_k=k^2 \cdot 1,25^{20-k}\) тыс. рублей.
Сравним числа \(a_k\) и \(a_{k+1}\) :
\(a_{k+1}-a_k=(k+1)^2 \cdot 1,25^{20-k-1} -\)
\(-k^2 \cdot 1,25^{20-k}=1,25^{20-k-1}\left(-0,25 k^2+2 k+1\right)\)
Уравнение \(-0,25 k^2+2 k+1=0\) имеет корни \(k=4-\sqrt{20}, k=4+\sqrt{20}\).
Таким образом, \(a_{k+1}>a_k\) при \(k \leq 8, a_{k+1}<a_k\) при \(k \geq 9\).
Значит,
\begin{equation*}
a_9>a_8>\ldots>a_1, a_9>a_{10}>\ldots>a_{20},
\end{equation*}
поэтому наибольший член последовательности \(\left(a_k\right)\) - это \(a_9\), то есть ценные бумаги надо продавать в конце девятого года.
Ответ
(ЕГЭ, 2022) 15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на \(3 \%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15 -го числа 12-го месяца, если сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1134 тысячи рублей?
Решение
Пусть 15-го числа 12-го месяца долг составит \(B\) тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\(900 ; \dfrac{11 \cdot 900+B}{12} ; \dfrac{10 \cdot 900+2 B}{12} ; \ldots ; \dfrac{900+11 B}{12} ; B ; 0 .\)
Первого числа каждого месяца долг будет возрастать на \(3 \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова:
\(927 ; 1,03 \cdot \dfrac{11 \cdot 900+B}{12} ; \ldots ; 1,03 \cdot \dfrac{900+11 B}{12} ; 1,03 B .\)
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\(27+\dfrac{900-B}{12} ; 0,03 \cdot \dfrac{11 \cdot 900+B}{12}+ \dfrac{900-B}{12} ; \ldots ; 0,03 \cdot \dfrac{900+11 B}{12}+\dfrac{900-B}{12} ; 1,03 B .\)
Сумма всех платежей равна
\(0,03 \cdot \dfrac{13 \cdot 900+11 B}{2}+900-B+1,03 B=0,195 B+1075,5\) тыс. рублей,
откуда \(0,195 B+1075,5=1134 ; 0,195 B=58,5 ; \)
\(B=300\).
Значит, 15 -го числа 12 -го месяца долг должен быть равен 300 тыс. рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2022) В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на \(20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1254,4 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?
Решение
Пусть платежи в 2027 и 2028 годах составят по \(x\) тыс. рублей.
В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен 960, а в июле равен \(960-x\).
В январе 2028 года долг будет равен \(1152-1,2 x\), а в июле равен \(1152-2,2 x\).
В январе 2029 года долг будет равен \(1382,4-2,64x\).
По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году должен быть равен \(1382,4-2,64x\) тыс. рублей, а сумма всех платежей будет составлять \(1382,4-0,64x\) тыс. рублей.
Получаем: \(1382,4-0,64 x=1254,4 ; \)
\(0,64 x=128\),
откуда \(x=200\).
Платёж в 2027 году должен быть равен 200 тыс. рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2022) В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на \(20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение
Пусть сумма кредита равна \(S\) тыс. рублей.
В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен \(1,2S\), а в июле равен \(1,2 S-300\).
В январе 2028 года долг будет равен \(1,44 S-360\), а в июле равен \(1,44S-660\).
В январе 2029 года долг будет равен \(1,728S-792\).
По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году должен быть равен \(1,728S-792\) тыс. рублей.
Получаем: \(1,728 S-792=417,6 ;\)
\(1,728 S=1209,6,\)
откуда \(S=700\).
Ответ
(ЕГЭ, 2022) В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на \(20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 400 тыс. рублей;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Решение
В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен 840, а в июле равен 440.
В январе 2028 года долг будет равен 528, а в июле равен 128.
В январе 2029 года долг будет равен 153,6.
По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году должен быть равен 153,6 тыс. рублей.
Сумма всех платежей будет составлять 953,6 тыс. рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2022) В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на \(20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 200 тыс. рублей;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Сколько рублей составит платёж 2029 года?
Решение
В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен 600, а в июле равен 400.
В январе 2028 года долг будет равен 480, а в июле равен 280.
В январе 2029 года долг будет равен 336.
По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году будет составлять 336 тыс. рублей.