Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года \(k\), то в конце двадцатого года на его счёте будет \(a_k=k^2 \cdot 1,25^{20-k}\) тыс. рублей.
Сравним числа \(a_k\) и \(a_{k+1}\) :
\(a_{k+1}-a_k=(k+1)^2 \cdot 1,25^{20-k-1} -\)

\(-k^2 \cdot 1,25^{20-k}=1,25^{20-k-1}\left(-0,25 k^2+2 k+1\right)\)

Уравнение \(-0,25 k^2+2 k+1=0\) имеет корни \(k=4-\sqrt{20}, k=4+\sqrt{20}\).

Таким образом, \(a_{k+1}>a_k\) при \(k \leq 8, a_{k+1}<a_k\) при \(k \geq 9\).

Значит,
\begin{equation*}
a_9>a_8>\ldots>a_1, a_9>a_{10}>\ldots>a_{20},
\end{equation*}
поэтому наибольший член последовательности \(\left(a_k\right)\) - это \(a_9\), то есть ценные бумаги надо продавать в конце девятого года.

Пусть 15-го числа 12-го месяца долг составит \(B\) тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\(900 ; \dfrac{11 \cdot 900+B}{12} ; \dfrac{10 \cdot 900+2 B}{12} ; \ldots ; \dfrac{900+11 B}{12} ; B ; 0 .\)

Первого числа каждого месяца долг будет возрастать на \(3 \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова:
\(927 ; 1,03 \cdot \dfrac{11 \cdot 900+B}{12} ; \ldots ; 1,03 \cdot \dfrac{900+11 B}{12} ; 1,03 B .\)

Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\(27+\dfrac{900-B}{12} ; 0,03 \cdot \dfrac{11 \cdot 900+B}{12}+ \dfrac{900-B}{12} ; \ldots ; 0,03 \cdot \dfrac{900+11 B}{12}+\dfrac{900-B}{12} ; 1,03 B .\)

Сумма всех платежей равна
\(0,03 \cdot \dfrac{13 \cdot 900+11 B}{2}+900-B+1,03 B=0,195 B+1075,5\) тыс. рублей,
откуда \(0,195 B+1075,5=1134 ; 0,195 B=58,5 ; \)

\(B=300\).

Значит, 15 -го числа 12 -го месяца долг должен быть равен 300 тыс. рублей.

Пусть платежи в 2027 и 2028 годах составят по \(x\) тыс. рублей.

В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен 960, а в июле равен \(960-x\). 

В январе 2028 года долг будет равен \(1152-1,2 x\), а в июле равен \(1152-2,2 x\). 

В январе 2029 года долг будет равен \(1382,4-2,64x\). 

По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году должен быть равен \(1382,4-2,64x\) тыс. рублей, а сумма всех платежей будет составлять \(1382,4-0,64x\) тыс. рублей. 

Получаем: \(1382,4-0,64 x=1254,4 ; \)

\(0,64 x=128\),

откуда \(x=200\).

Платёж в 2027 году должен быть равен 200 тыс. рублей. 

Пусть сумма кредита равна \(S\) тыс. рублей.

В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен \(1,2S\), а в июле равен \(1,2 S-300\). 

В январе 2028 года долг будет равен \(1,44 S-360\), а в июле равен \(1,44S-660\). 

В январе 2029 года долг будет равен \(1,728S-792\). 

По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году должен быть равен \(1,728S-792\) тыс. рублей. 

Получаем: \(1,728 S-792=417,6 ;\)

\(1,728 S=1209,6,\)

откуда \(S=700\).

В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен 840, а в июле равен 440. 

В январе 2028 года долг будет равен 528, а в июле равен 128. 

В январе 2029 года долг будет равен 153,6. 

По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году должен быть равен 153,6 тыс. рублей. 

Сумма всех платежей будет составлять 953,6 тыс. рублей.

В январе 2027 года долг (в тыс. рублей) будет равен 600, а в июле равен 400.

В январе 2028 года долг будет равен 480, а в июле равен 280. 

В январе 2029 года долг будет равен 336. 

По условию, к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью, значит, платёж в 2029 году будет составлять 336 тыс. рублей.