16. Банковская задача
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2016) Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на \(10 \%\) по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад равен \(S\) (млн рублей). Тогда в конце первого года вклад составит \(1,1 S\), а в конце второго - \(1,21 S\). В начале третьего года вклад составит \(1,21 S+3\), а в конце - \(1,331 S+3,3\). В начале четвёртого года вклад составит \(1,331 S+6,3\), а в конце - \(1,4641 S+6,93\).
По условию, нужно найти наименьшее целое \(S\), для которого выполнено неравенство
\begin{equation*}
(1,4641 S+6,93)-S-6>5 ; S>8 \frac{3572}{4641} .
\end{equation*}
Наименьшее целое решение этого неравенства - число 9. Значит, размер первоначального вклада составляет 9 млн рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2016) В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере \(S\) млн рублей, где \(S\) - целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на \(25 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение \(S\), при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
Решение
Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\begin{equation*}
S ; 0,7 S ; 0,4 S ; 0 .
\end{equation*}
По условию, в январе каждого года долг увеличивается на \(25 \%\), значит, долг в январе каждого года равен:
\begin{equation*}
1,25 S ; 0,875 S ; 0,5 S \text {. }
\end{equation*}
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:
\begin{equation*}
0,55 S ; 0,475 S ; 0,5 S \text {. }
\end{equation*}
По условию, разность между наибольшей и наименьшей выплатами должна быть меньше 1 млн рублей:
\begin{equation*}
0,55 S-0,475 S<1 ; S<13 \frac{1}{3} .
\end{equation*}
Наибольшее целое решение этого неравенства - число 13. Значит, искомый размер кредита - 13 млн рублей.
Ответ
(ЕГЭ, 2016) Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на \(10 \%\) по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на \(x\) млн рублей, где \(x\) - целое число. Найдите наименьшее значение \(x\), при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.
Решение
В конце первого года вклад составит 11 млн рублей, а в конце второго 12,1 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит \(12,1+x\), а в конце \(-13,31+1,1 x\). В начале четвёртого года вклад составит \(13,31+2,1 x\), а в конце \(-14,641+2,31 x\).
По условию, нужно найти наименьшее целое \(x\), для которого выполнено неравенство
\begin{equation*}
(14,641+2,31 x)-10-2 x>7 ; x>7 \frac{189}{310} .
\end{equation*}
Наименьшее целое решение этого неравенства - число 8.
Ответ
(ЕГЭ, 2016) В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере \(S\) тыс. рублей, где \(S\) - натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на \(15 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение \(S\), при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
Решение
Долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:
\begin{equation*}
S ; 0,7 S ; 0,4 S ; 0 \text {. }
\end{equation*}
По условию, в январе каждого года долг увеличивается на \(15 \%\), значит, долг в январе каждого года равен:
\begin{equation*}
1,15 S ; 0,805 S ; 0,46 S \text {. }
\end{equation*}
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:
\begin{equation*}
0.45 S ; 0.405 S ; 0,46 S \text {. }
\end{equation*}
По условию, числа
\begin{equation*}
S ; \frac{9 S}{20} ; \frac{81 S}{200} ; \frac{23 S}{50}
\end{equation*}
должны быть целыми. Значит, число \(S\) должно делиться на 20,200 и 50 . Наименьшее общее кратное этих чисел равно 200.