16. Банковская задача
☀️ 🌙

16. Банковская задача

Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.


назад
22

(ЕГЭ, 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
    
— каждый январь долг будет возрастать на \(r \%\) по сравнению с концом предыдущего года (\(r\) - целое число);

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; 

— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. 

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите \(r\).
 

Решение

 

По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом: 
\begin{equation*}
800 ; 680 ; 560 ; 440 ; 320 ; 200 ; 160 ; 120 ; 80 ; 40 ; 0.
\end{equation*}
Пусть \(k=1+\dfrac{r}{100}\). Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на январь такова: 

 \(800 k ; 680 k ; 560 k ; 440 k ; 320 k ; 200 k ; 160 k ;\)

\(120 k ; 80 k ; 40 k\)
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:

\(800 k-680 ; 680 k-560 ; 560 k-440 ;\)

\(440 k-320 ; 320 k-200 ; 200 k-160 ;\)

\(160 k-120 ; 120 k-80 ; 80 k-40 ; 40 k\)

Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять:

\(5(560 k-440)+5(120 k-80)=3400 k-2600\)

Получаем: \(3400 k-2600=1480\), откуда \(k=1,2\) и \(r=20\).

 

Ответ
20
23

(ЕГЭ, 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

 

— каждый январь долг будет возрастать на \(r \%\) по сравнению с концом предыдущего года ( \(r\) - целое число);

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2230 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?

Решение

По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
700 ; 680 ; 660 ; 640 ; 620 ; 600 ; \\
480 ; 360 ; 240 ; 120 ; 0 .
\end{gathered}
\end{equation*}
Пусть \(k=1+\dfrac{r}{100}\). Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на январь такова:
\(700 k ; 680 k ; 660 k ; 640 k ; 620 k ; 600 k ; 480 k ;\)

\(360 k ; 240 k ; 120 k\)

Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\(700 k-680 ; 680 k-660 ; 660 k-640 ; \)

\(640 k-620 ; 620 k-600 ; 600 k-480 ; \)

\(480 k-360 ; 360 k-240 ; 240 k-120 ; 120 k\)
Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять:
\(5(660 k-640)+5(360 k-240)=\)

\(=5100 k-4400\).

Получаем: \(5100 k-4400=2230\), откуда \(k=1,3\) и \(r=30\). 

Платёж в 2035 году (последний) должен быть равен \(120 k\) тыс. рублей.
Следовательно, платёж в 2035 году составит 156 тыс. рублей.

 

Ответ
156
24

 (ЕГЭ, 2023) Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на \(10 \%\) по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на \(x\) млн рублей, где \(x\) — целое число. Найдите наибольшее значение \(x\), при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение

В конце первого года вклад составит 22 млн рублей, а в конце второго 24,2 млн рублей. 


В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит \(24,2+x\), а в конце - \(26,62+1,1 x\). 

В начале четвёртого года вклад составит \(26,62+2,1 x\), а в конце - \(29,282+2,31 x\).

По условию нужно найти наибольшее целое \(x\), для которого выполнено неравенство:
\begin{equation*}
(29,282+2,31 x)-20-2 x<17 ; x<24 \dfrac{139}{155} 
\end{equation*}

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24. 

 

Ответ
24
25

(ЕГЭ, 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

 

— каждый январь долг увеличивается на \(20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 77200 рублей больше суммы, взятой в кредит?
 

Решение

Пусть сумма кредита составляет \(S\) рублей, а ежегодные платежи \(X\) рублей. По условию долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
\(S, \dfrac{6}{5} \cdot S-X,\left(\dfrac{6}{5}\right)^2 S-\dfrac{6}{5} \cdot X-X,\left(\dfrac{6}{5}\right)^3 S-\)

\(\left(\dfrac{6}{5}\right)^2 X-\dfrac{6}{5} \cdot X-X=0,\)
откуда
\(X=\dfrac{\left(\dfrac{6}{5}\right)^3 \cdot\left(\dfrac{6}{5}-1\right)}{\left(\left(\dfrac{6}{5}\right)^3-1\right)} \cdot S=\dfrac{216}{455} \cdot S ;\)

\(\quad 3 X-S=\dfrac{193}{455} \cdot S=77200\).
 

Получаем: \(S=182000\) рублей.


 

Ответ
182.000
26

(ЕГЭ, 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1100 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
    
— каждый январь долг будет возрастать на \(10 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1630 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?

Решение

Пусть долг в июле 2030 года составит \(B\) тыс. рублей.
По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
\(1100 ; 880+0,2 B ; 660+0,4 B ; 440+0,6 B ; \)

\(220+0,8 B ; B ; 0,8 B ; 0,6 B ; 0,4 B ; \)

\(0,2 B ; 0.\)
В январе каждого года долг возрастает на \(10 \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на январь такова:
\(1210 ; 968+0,22 B ; 726+0,44 B ; \)

\(484+0,66 B ; 242+0,88 B ; 1,1 B ; \)

\(0,88 B ; 0,66 B ; 0,44 B ; 0,22 B.\)
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\(330-0,2 B ; 308-0,18 B ; 286-0,16 B ; \)

\(264-0,14 B ; 242-0,12 B ; \)

\(0,3 B ; 0,28 B ; 0,26 B ; 0,24 B ; 0,22 B .\)
Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять:
\begin{equation*}
5(286-0,16 B)+5 \cdot 0,26 B=1430+0,5 B
\end{equation*}

Получаем: \(1430+0,5 B=1630\), откуда \(B=400\). Платёж в 2035 году (последний) должен быть равен \(0,22 B\) тыс. рублей. Следовательно, платёж в 2035 году составит 88 тыс. рублей.

 

Ответ
88.000
27

(ЕГЭ, 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
    
— каждый январь долг будет возрастать на \(30 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; 

— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. 

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 910 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Решение

Пусть долг в июле 2030 года составит \(B\) тыс. рублей.
По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
\(400 ; 320+0,2 B ; 240+0,4 B ; 160+0,6 B ;\)

\(80+0,8 B ; B ; 0,8 B ; 0,6 B ; 0,4 B ; 0,2 B ; 0\)
В январе каждого года долг возрастает на \(30 \%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на январь такова:
\(520 ; 416+0,26 B ; 312+0,52 B ; 208+0,78 B ;\)

\(104+1,04 B ; 1,3 B ; 1,04 B ; 0,78 B ; 0,52 B ;\)

\(0,26 B\).

Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
\(200-0,2 B ; 176-0,14 B ; 152-0,08 B ;\)

\(128-0,02 B ; 104+0,04 B; 0,5 B ; \)

\(0,44 B ; 0,38 B ; 0,32 B ; 0,26 B\)
Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять:
\begin{equation*}
5(152-0,08 B)+5 \cdot 0,38 B=760+1,5 B \text {. }
\end{equation*} Получаем: \(760+1,5 B=910\), откуда \(B=100\). Платёж в 2026 году (первый) должен быть равен (\(200-0,2 B)\) тыс. рублей.
Следовательно, платёж в 2026 году составит 180 тыс. рублей.

 

Ответ
180.000