Зачем выделять полный квадрат
Выделение полного квадрата — это преобразование квадратного выражения к виду \(a(x-m)^2+n\)
Такой вид сразу показывает:
• наименьшее или наибольшее значение выражения;
• координаты вершины параболы;
• количество корней квадратного уравнения;
• знак квадратного трёхчлена;
• удобный способ решения уравнения или неравенства;
• скрытую сумму квадратов в выражениях с несколькими переменными;
• центр и радиус окружности после преобразования её уравнения.
Главная идея основана на формулах:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Нужно научиться узнавать первые два слагаемых квадрата и достраивать недостающее третье.
Основная формула
Рассмотрим выражение \(x^2+bx.\)
В квадрате \(\left(x+\dfrac b2\right)^2\) среднее слагаемое равно: \(2\cdot x\cdot\dfrac b2=bx.\)
Но при раскрытии скобок появляется дополнительное число: \(\left(x+\dfrac b2\right)^2 = x^2+bx+\dfrac{b^2}{4}.\)
Чтобы сохранить исходное выражение, это число нужно вычесть:
\(\boxed{
x^2+bx
=
\left(x+\dfrac b2\right)^2-\dfrac{b^2}{4}
}.\)
С постоянным слагаемым:
\(\boxed{
x^2+bx+c
=
\left(x+\dfrac b2\right)^2
+c-\dfrac{b^2}{4}
}.\)
Например:
\(x^2+6x+1
=
(x+3)^2-9+1
=
(x+3)^2-8.\)
Как правильно выбрать число в скобке
В выражении \(x^2+bx\) число в скобке равно половине коэффициента при \(x\):
\(x^2+bx
\longrightarrow
\left(x+\dfrac b2\right)^2.\)
Примеры:
\(x^2+8x
=
(x+4)^2-16;\)
\(x^2-10x
=
(x-5)^2-25;\)
\(x^2+3x
=
\left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac94.\)
Нельзя помещать в скобку весь коэффициент при \(x\). Например:
\(x^2+6x\neq(x+6)^2.\)
Действительно:
\((x+6)^2=x^2+12x+36.\)
Если коэффициент при квадрате переменной не равен единице
Рассмотрим квадратный трёхчлен \(ax^2+bx+c,\) где \(a\neq0\). В этом разделе нас интересует случай \(a\neq1\).
Сначала выносим \(a\) из первых двух слагаемых:
\(ax^2+bx+c = a\left(x^2+\dfrac ba x\right)+c.\)
Теперь полный квадрат выделяем внутри большой скобки:
\(x^2+\dfrac ba x
=
\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
-\dfrac{b^2}{4a^2}.\)
Подставляем это выражение обратно. Важно, что вся большая скобка по-прежнему умножается на \(a\):
\(ax^2+bx+c
=
a\left(
\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
-\dfrac{b^2}{4a^2}
\right)+c.\)
Только после этого умножаем каждое слагаемое в большой скобке на \(a\):
\(ax^2+bx+c
=
a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
-
a\cdot\dfrac{b^2}{4a^2}
+c.\)
Сокращаем:
\(a\cdot\dfrac{b^2}{4a^2}
=
\dfrac{b^2}{4a}.\)
Получаем:
\(ax^2+bx+c
=
a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
-\dfrac{b^2}{4a}+c.\)
Итоговая формула:
\(\boxed{
ax^2+bx+c
=
a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
+c-\dfrac{b^2}{4a}
}.\)
Через дискриминант \(D=b^2-4ac\):
\(\boxed{
ax^2+bx+c
=
a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
-\dfrac{D}{4a}
}.\)
Главное в этом случае: сначала выделить квадрат внутри скобки, а затем не забыть, что вся эта скобка умножается на \(a\).
Пошаговый алгоритм
Чтобы выделить полный квадрат в выражении \(ax^2+bx+c,\) нужно:
1. если \(a\neq1\), вынести \(a\) из первых двух слагаемых;
2. взять половину коэффициента при \(x\) внутри скобки;
3. записать квадрат двучлена;
4. вычесть появившийся лишний квадрат;
5. раскрыть внешний множитель;
6. привести постоянные слагаемые.
Связь с вершиной параболы
Если: \(f(x)=a(x-m)^2+n,\) то вершина параболы имеет координаты: \((m;n).\)
При \(a>0\) ветви направлены вверх, поэтому: \(f(x)\geqslant n.\)
Значение \(n\) является минимумом и достигается при \(x=m\).
При \(a<0\) ветви направлены вниз, поэтому: \(f(x)\leqslant n.\)
Значение \(n\) является максимумом и достигается при \(x=m\).
Для общего трёхчлена \(ax^2+bx+c\) абсцисса вершины: \(x_0=-\dfrac{b}{2a}.\)
Решение квадратных уравнений
После выделения квадрата уравнение часто принимает вид: \((x-m)^2=k.\)
Далее возможны три случая:
• при \(k<0\) действительных решений нет;
• при \(k=0\) имеется один корень \(x=m\);
• при \(k>0\): \(x-m=\pm\sqrt{k}.\)
Например:
\(x^2-6x+5=0,\)
\((x-3)^2-4=0,\)
\((x-3)^2=4,\)
\(x=1\) или \(x=5.\)
Решение неравенств
После выделения квадрата выражение часто можно разложить как разность квадратов, а затем решить получившееся неравенство методом интервалов.
Например: \(x^2-6x+8\leqslant0.\)
Выделяем квадрат: \((x-3)^2-1\leqslant0.\)
Используем разность квадратов:
\(\bigl((x-3)-1\bigr)\bigl((x-3)+1\bigr)\leqslant0,\)
\((x-4)(x-2)\leqslant0.\)
Корни множителей: \(x=2,\) \(x=4.\)
По методу интервалов произведение неположительно между корнями, включая сами корни:
\(\boxed{x\in[2;4]}.\)
Сумма квадратов
Выражения с несколькими переменными часто можно привести к сумме квадратов.
Например: \(x^2+y^2-4x+6y+13.\)
Группируем слагаемые: \((x^2-4x)+(y^2+6y)+13.\)
Выделяем квадраты: \((x-2)^2-4+(y+3)^2-9+13.\)
Получаем: \((x-2)^2+(y+3)^2.\)
Отсюда сразу видно: \(x^2+y^2-4x+6y+13\geqslant0.\)
Равенство нулю возможно только при: \(x=2,\) \(y=-3.\)
Последовательное выделение квадратов
Иногда переменные смешаны. Тогда квадрат выделяется по одной переменной, а оставшееся выражение преобразуется далее.
Например: \(x^2+2xy+2y^2-6x-8y+10.\)
Первые слагаемые удобно рассматривать как квадрат относительно \(x\):
\(x^2+2x(y-3)+2y^2-8y+10.\)
Выделяем квадрат:
\((x+y-3)^2-(y-3)^2+2y^2-8y+10.\)
Приводим оставшуюся часть:
\(-(y^2-6y+9)+2y^2-8y+10
=
y^2-2y+1
=
(y-1)^2.\)
Следовательно:
\(\boxed{
x^2+2xy+2y^2-6x-8y+10
=
(x+y-3)^2+(y-1)^2
}.\)
Параметры
Если коэффициенты зависят от параметра, выделение квадрата часто позволяет сразу определить количество корней или экстремум.
Например: \(x^2-2ax+a+3=0.\)
Выделяем квадрат:
\((x-a)^2-a^2+a+3=0,\)
\((x-a)^2=a^2-a-3.\)
Теперь количество корней зависит только от знака правой части:
• если \(a^2-a-3<0\), корней нет;
• если \(a^2-a-3=0\), один корень;
• если \(a^2-a-3>0\), два корня.
Связь с дискриминантом и количеством корней
Формула \(ax^2+bx+c
=
a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
-\dfrac{D}{4a}\) позволяет увидеть смысл дискриминанта.
Рассмотрим уравнение \(ax^2+bx+c=0.\)
После выделения квадрата: \(a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
=
\dfrac{D}{4a}.\)
Делим обе части на \(a\): \(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
=
\dfrac{D}{4a^2}.\)
Левая часть неотрицательна, а \(4a^2>0\), поэтому количество действительных корней определяется знаком \(D\):
• если \(D<0\), действительных корней нет;
• если \(D=0\), имеется один корень;
• если \(D>0\), имеются два различных корня.
При \(D\geqslant0\) из этой же записи получается привычная формула корней:
\(x+\dfrac{b}{2a}
=
\pm\dfrac{\sqrt D}{2a},\) откуда \(\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}}.\)
Таким образом, формулу корней квадратного уравнения можно получить именно выделением полного квадрата.
Знак квадратного трёхчлена
Выделение квадрата позволяет быстро понять, может ли квадратный трёхчлен менять знак.
Например: \(x^2-6x+10
=
(x-3)^2+1.\)
Так как \((x-3)^2\geqslant0,\) то \(x^2-6x+10\geqslant1>0\) при любом действительном \(x\).
А выражение \(-x^2+4x-7
=
-(x-2)^2-3\) всегда отрицательно.
В общем случае особенно удобно смотреть на вид \(a(x-m)^2+n.\)
Если \(a>0\), наименьшее значение равно \(n\). Если \(a<0\), наибольшее значение равно \(n\).
Уравнение окружности
Выделение полного квадрата используется и в уравнениях окружности.
Стандартный вид окружности: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2,\) где точка \((a;b)\) является центром окружности, а \(R\) — её радиус.
Например: \(x^2+y^2-6x+8y+9=0.\)
Группируем: \((x^2-6x)+(y^2+8y)+9=0.\)
Выделяем квадраты: \((x-3)^2-9+(y+4)^2-16+9=0.\)
Получаем: \((x-3)^2+(y+4)^2=16.\)
Значит, центр окружности: \((3;-4),\) а радиус: \(R=4.\)
Полный квадрат из трёх слагаемых
Иногда нужно не выделять квадрат, а распознать уже готовый квадрат выражения с тремя слагаемыми.
Полезна формула: \((a+b+c)^2
=
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.\)
Знаки внутри скобки определяют знаки удвоенных произведений.
Например: \((x-y+2z)^2
=
x^2+y^2+4z^2-2xy+4xz-4yz.\)
Поэтому выражение \(x^2+y^2+4z^2-2xy+4xz-4yz\) сразу является полным квадратом: \((x-y+2z)^2.\)
Выделение квадрата относительно целого выражения
В роли переменной может выступать не только \(x\), но и более сложное выражение.
Например: \(x^4-6x^2+13.\)
Здесь удобно смотреть на \(x^2\) как на одно целое: \((x^2)^2-6x^2+13.\)
Выделяем квадрат: \(x^4-6x^2+13
=
(x^2-3)^2+4.\)
Отсюда сразу видно, что наименьшее значение равно \(4\). Оно достигается, когда \(x^2-3=0,\) то есть при \(x=\pm\sqrt3.\)
Разобранные примеры
Пример 1. Приведённый квадратный трёхчлен
Преобразуем: \(x^2+8x+3.\)
Половина коэффициента при \(x\) равна \(4\):
\(x^2+8x+3
=
(x+4)^2-16+3.\)
\(\boxed{x^2+8x+3=(x+4)^2-13}.\)
Пример 2. Дробное число в скобке
Преобразуем: \(x^2+3x-2.\)
\(x^2+3x
=
\left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac94.\)
Поэтому: \(x^2+3x-2
=
\left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac94-2
=
\left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac{17}{4}.\)
Пример 3. Старший коэффициент не равен единице
Преобразуем: \(2x^2-6x+7.\)
Выносим \(2\) из первых двух слагаемых: \(2x^2-6x+7
=
2(x^2-3x)+7.\)
Теперь выделяем квадрат внутри скобки: \(x^2-3x
=
\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94.\)
Подставляем это выражение обратно. Вся большая скобка умножается на \(2\):
\(2x^2-6x+7
=
2\left(
\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94
\right)+7.\)
Умножаем оба слагаемых в скобке на \(2\):
\(2x^2-6x+7
=
2\left(x-\dfrac32\right)^2
-\dfrac92+7.\)
Следовательно:
\(\boxed{
2x^2-6x+7
=
2\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac52
}.\)
Пример 4. Отрицательный старший коэффициент
Преобразуем: \(-x^2+8x-5.\)
Выносим минус: \(-(x^2-8x)-5.\)
\(x^2-8x=(x-4)^2-16.\)
Поэтому:
\(-x^2+8x-5
=
-(x-4)^2+16-5
=
-(x-4)^2+11.\)
Отсюда сразу видно, что максимальное значение выражения равно \(11\) и достигается при \(x=4\).
Пример 5. Решение уравнения
Решим: \(2x^2+8x+6=0.\)
Делим на \(2\):
\(x^2+4x+3=0.\)
\((x+2)^2-1=0.\)
\((x+2)^2=1.\)
\(x+2=\pm1.\)
Ответ: \(x=-3,\) \(x=-1.\)
Пример 6. Минимум выражения
Найдём наименьшее значение: \(x^2-12x+40.\)
\(x^2-12x+40
=
(x-6)^2-36+40
=
(x-6)^2+4.\)
Поскольку: \((x-6)^2\geqslant0,\) имеем: \(x^2-12x+40\geqslant4.\)
Минимум равен \(4\) и достигается при \(x=6\).
Пример 7. Две переменные
Решим уравнение: \(x^2+y^2-4x+6y+13=0.\)
Преобразуем: \((x-2)^2+(y+3)^2=0.\)
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю: \(x-2=0,\) \(y+3=0.\)
Ответ: \(x=2,\) \(y=-3.\)
Пример 8. Уравнение с параметром
Решим относительно \(x\):
\(x^2+2(a-1)x+a^2-2a-3=0.\)
Выделяем квадрат:
\((x+a-1)^2-4=0.\)
\((x+a-1)^2=4.\)
\(x+a-1=\pm2.\)
Ответ: \(x=3-a\) или \(x=-1-a.\)
Типичные ошибки
• брать в скобку весь коэффициент при \(x\), а не его половину;
• забывать вычесть квадрат добавленного числа;
• при \(a\neq1\) не выносить старший коэффициент;
• забывать умножить компенсационное слагаемое на внешний коэффициент;
• неправильно работать с минусом перед квадратным трёхчленом;
• считать, что квадрат может быть отрицательным;
Задачи для самостоятельной работы
Уровень 1. Основная техника
Выделите полный квадрат (в выражениях с параметром — относительно \(x\)):
1. \(x^2+8x+3\).
2. \(x^2-10x+1\).
3. \(x^2+3x-2\).
4. \(y^2-7y+4\).
5. \(x^2+2ax\).
6. \(x^2-2(a-3)x+5\).
Уровень 2. Неприведённые выражения
Выделите полный квадрат:
7. \(3x^2+12x-1\).
8. \(2x^2-6x+7\).
9. \(-x^2+8x-5\).
10. \(-2x^2-4x+3\).
11. Найдите координаты вершины параболы \(y=4x^2+4x+7.\)
Уровень 3. Уравнения, неравенства и экстремумы
Решите уравнения:
12. \(x^2-6x+5=0\).
13. \(2x^2+8x+6=0\).
14. \(x^2+4x+7=0\).
Решите неравенства:
15. \(x^2-6x+8\leqslant0\).
16. \(-x^2+4x+5>0\).
17. Найдите наименьшее значение выражения \(x^2-12x+40\) и значение \(x\), при котором оно достигается.
18. Найдите наибольшее значение выражения \(-2x^2+8x-3\) и значение \(x\), при котором оно достигается.
Уровень 4. Несколько переменных и скрытые квадраты
19. Докажите, что при всех действительных \(x\): \(x^2+6x+13>0.\)
20. Решите уравнение: \(x^2+y^2-4x+6y+13=0.\)
21. Найдите наименьшее значение выражения \(x^2+y^2-2x+4y+10\) и укажите все значения \(x\) и \(y\), при которых оно достигается.
22. Определите центр и радиус окружности: \(x^2+y^2-6x+8y+9=0.\)
23. Решите уравнение, используя выделение квадратов: \(x^2+2xy+2y^2-6x-8y+10=0.\)
24. Представьте выражение в виде квадрата: \(x^2+y^2+4z^2-2xy+4xz-4yz.\)
Уровень 5. Параметры и нестандартные применения
25. Найдите значение \(a\), при котором наименьшее значение выражения \(x^2-2(a+1)x+a^2+4a+7\) равно \(3\).
26. Решите уравнение относительно \(x\): \(x^2+2(a-1)x+a^2-2a-3=0.\)
27. Найдите наименьшее значение выражения \(x^4-6x^2+13\) и укажите все значения \(x\), при которых оно достигается.
Ответы
1. \((x+4)^2-13.\)
2. \((x-5)^2-24.\)
3. \(\left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac{17}{4}.\)
4. \(\left(y-\dfrac72\right)^2-\dfrac{33}{4}.\)
5. \((x+a)^2-a^2.\)
6. \((x-a+3)^2+5-(a-3)^2.\)
7. \(3(x+2)^2-13.\)
8. \(2\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac52.\)
9. \(-(x-4)^2+11.\)
10. \(-2(x+1)^2+5.\)
11. \(\left(-\dfrac12;6\right).\)
12. \(x=1,\) \(x=5.\)
13. \(x=-3,\) \(x=-1.\)
14. Действительных решений нет.
15. \(x\in[2;4].\)
16. \(x\in(-1;5).\)
17. Минимум \(4\) при \(x=6\).
18. Максимум \(5\) при \(x=2\).
19. \(x^2+6x+13=(x+3)^2+4>0.\)
20. \(x=2,\) \(y=-3.\)
21. Минимум \(5\) при
\(x=1,\) \(y=-2.\)
22. Центр \((3;-4)\), радиус \(4\).
23. \(x=2,\) \(y=1.\)
24. \((x-y+2z)^2.\)
25. \(a=-\dfrac32.\)
26. \(x=3-a\) или \(x=-1-a.\)
27. Минимум \(4\) при \(x=\pm\sqrt3.\)