Простейшие тригонометрические уравнения
Синус
Уравнение \(\sin x=a\) имеет решения только при \(|a|\leqslant1\).
Тогда решения записываем двумя сериями:
\(\boxed{
\left[
\begin{array}{l}
x=\arcsin a+2\pi k,\\
x=\pi-\arcsin a+2\pi k,
\end{array}
\right.
\; k\in\mathbb Z
}.\)
Именно эту запись будем использовать для уравнений с синусом: она сразу показывает две точки на тригонометрической окружности и удобна для последующего отбора корней.
Косинус
Для косинуса решения записываем так:
\(\boxed{x=\pm\arccos a+2\pi k,\; k\in\mathbb Z}.\)
Тангенс и котангенс
\(\boxed{x=\arctan a+\pi k}
\;\text{для }\tan x=a,\)
\(\boxed{x=\operatorname{arcctg}a+\pi k}
\;\text{для }\cot x=a.\)
Особые значения
\(\sin x=0\Longleftrightarrow x=\pi k,\)
\(\cos x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac\pi2+\pi k,\)
\(\tan x=0\Longleftrightarrow x=\pi k,\)
\(\sin x=1\Longleftrightarrow x=\dfrac\pi2+2\pi k,\)
\(\sin x=-1\Longleftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\)
\(\cos x=1\Longleftrightarrow x=2\pi k,
\;
\cos x=-1\Longleftrightarrow x=\pi+2\pi k.\)
Равенство одинаковых функций
\(\boxed{\sin A=\sin B}
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
A=B+2\pi k,\\
A=\pi-B+2\pi k,
\end{array}
\right.\)
\(\boxed{\cos A=\cos B}
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
A=B+2\pi k,\\
A=-B+2\pi k,
\end{array}
\right.\)
\(\boxed{\tan A=\tan B}
\Longleftrightarrow
A=B+\pi k.\)
Основные способы решения
Разложение на множители
Если после преобразований получается произведение, каждый множитель приравниваем к нулю.
Пример. Решим \(\sin2x=\sin x.\)
\(2\sin x\cos x=\sin x,\)
\(\sin x(2\cos x-1)=0.\)
Отсюда
\(\sin x=0
\;\text{или}\;
\cos x=\dfrac12,\) поэтому
\(\boxed{x=\pi k}
\;\text{или}\;
\boxed{x=\dfrac\pi3+2\pi k}
\;\text{или}\;
\boxed{x=\dfrac{5\pi}3+2\pi k},
\; k\in\mathbb Z.\)
Квадратное уравнение относительно синуса или косинуса
Такое уравнение решаем как обычное квадратное относительно \(\sin x\) или \(\cos x\). При замене \(t=\sin x\) или \(t=\cos x\) учитываем \(-1\leqslant t\leqslant1\).
Пример. Решим \(2\sin^2x-3\sin x+1=0.\)
\((2\sin x-1)(\sin x-1)=0,\) поэтому \(\sin x=\dfrac12 \;\text{или}\; \sin x=1.\)
Следовательно,
\(\boxed{
\left[
\begin{array}{l}
x=\dfrac\pi6+2\pi k,\\
x=\dfrac{5\pi}6+2\pi k,\\
x=\dfrac\pi2+2\pi k,
\end{array}
\right.
\; k\in\mathbb Z
}.\)
Использование двойного угла
Формулы двойного угла часто позволяют уменьшить число разных функций.
Пример. Решим \(\sin^2x=\cos^2x.\)
Так как \(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x,\) получаем \(\cos2x=0,\) откуда
\(\boxed{x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi k}{2}},
\; k\in\mathbb Z.\)
Однородные уравнения
Уравнение \(a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0\) называется однородным второй степени.
Перед делением на \(\cos^2x\) проверяем случай \(\cos x=0\).
Пример. Решим
\(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0.\)
При \(\cos x=0\) левая часть равна \(1\), поэтому таких корней нет. Делим на \(\cos^2x\):
\(\tan^2x-3\tan x+2=0,\)
\((\tan x-1)(\tan x-2)=0.\)
Следовательно,
\(\boxed{x=\dfrac\pi4+\pi k}
\;\text{или}\;
\boxed{x=\arctan2+\pi k},
\; k\in\mathbb Z.\)
Если удобнее делить на \(\sin^2x\), сначала аналогично проверяем \(\sin x=0\).
ОДЗ в дробных уравнениях
Перед сокращением дроби сохраняем ограничения исходного выражения.
Пример. Решим \(\dfrac{\sin2x}{\sin x}=1.\)
ОДЗ: \(\sin x\neq0.\)
На ОДЗ сокращаем \(\sin x\):
\(2\cos x=1,\) поэтому
\(\boxed{x=\dfrac\pi3+2\pi k}
\;\text{или}\;
\boxed{x=\dfrac{5\pi}3+2\pi k},
\; k\in\mathbb Z.\)
Обе серии удовлетворяют ОДЗ.
Равенство одинаковых функций
Если в обеих частях стоят одинаковые тригонометрические функции, используем формулы равенства синусов, косинусов или тангенсов.
Пример. Решим
\(\cos3x=\cos x.\)
\(3x=x+2\pi k
\;\text{или}\;
3x=-x+2\pi k.\)
Отсюда
\(x=\pi k
\;\text{или}\;
x=\dfrac{\pi k}{2}.\)
Первая серия входит во вторую, поэтому
\(\boxed{x=\dfrac{\pi k}{2}},
\; k\in\mathbb Z.\)
Сумма и разность в произведение
Сумму или разность синусов и косинусов часто удобно преобразовать в произведение.
Пример. Решим
\(\sin3x-\sin x=0.\)
\(2\cos2x\sin x=0,\) поэтому
\(\sin x=0
\;\text{или}\;
\cos2x=0.\)
Следовательно,
\(\boxed{x=\pi k}
\;\text{или}\;
\boxed{x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi k}{2}},
\; k\in\mathbb Z.\)
Алгоритм
1. Выпишите ОДЗ, если оно есть.
2. Выберите преобразование, уменьшающее число разных функций или аргументов.
3. Разложите выражение на множители либо сделайте замену.
4. Решите получившиеся простейшие тригонометрические уравнения.
5. Объедините серии и удалите совпадающие серии.
6. Если дан промежуток, выполните отбор корней по тригонометрической окружности.
Типичные ошибки
- делят на \(\sin x\) или \(\cos x\), не проверив нулевые значения;
- забывают ОДЗ тангенса, котангенса и дробей;
- в квадратном уравнении получают значение \(t\), не принадлежащее \([-1;1]\), и всё равно возвращаются к \(\sin x=t\) или \(\cos x=t\);
- теряют одну ветвь уравнения \(\sin A=\sin B\) или \(\cos A=\cos B\);
- не объединяют совпадающие серии.
Задачи для самостоятельной работы
1. Упростите \(\sin^2x+\cos^2x\).
2. Упростите \(1-2\sin^2x\).
3. Решите \(\sin x=0\).
4. Решите \(\cos2x=1\).
5. Решите \(\sin2x=0\).
6. Решите \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\).
7. Решите \(\sin2x=\sin x\).
8. Решите \(\cos2x=\cos x\).
9. Решите \(\sin^2x-\cos^2x=0\).
10. Решите \(\sin3x-\sin x=0\).
11. Решите \(\cos3x-\cos x=0\).
12. Решите \(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0\).
Ответы
1. \(1\).
2. \(\cos2x\).
3. \(x=\pi k\).
4. \(x=\pi k\).
5. \(x=\dfrac{\pi k}{2}\).
6. \(x=2\pi k\) или \(x=\pm\dfrac\pi3+2\pi k\).
7. \(x=\pi k\), или \(x=\dfrac\pi3+2\pi k\), или \(x=\dfrac{5\pi}3+2\pi k\).
8. \(x=\dfrac{2\pi k}{3}\).
9. \(x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi k}{2}\).
10. \(x=\pi k\) или \(x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi k}{2}\).
11. \(x=\dfrac{\pi k}{2}\).
12. \(x=\dfrac\pi4+\pi k\) или \(x=\arctan2+\pi k\).