Основные тождества
Главное тригонометрическое тождество:
\(\boxed{\sin^2x+\cos^2x=1}.\)
Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом:
\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},
\; \cos x\neq0,\)
\(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},
\; \sin x\neq0.\)
Если обе функции определены,
\(\tan x\cdot\cot x=1.\)
Также:
\(\boxed{1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}},
\;
\boxed{1+\cot^2x=\dfrac1{\sin^2x}}.\)
Смена знака аргумента
\(\boxed{\sin(-x)=-\sin x},
\;
\boxed{\cos(-x)=\cos x},\)
\(\boxed{\tan(-x)=-\tan x},
\;
\boxed{\cot(-x)=-\cot x}.\)
Формулы сложения
\(\boxed{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta},\)
\(\boxed{\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta},\)
\(\boxed{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta},\)
\(\boxed{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}.\)
Для тангенса:
\(\boxed{\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}},\)
\(\boxed{\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}},\)
если все выражения определены.
Двойной угол
\(\boxed{\sin2x=2\sin x\cos x},\)
\(\boxed{\cos2x=\cos^2x-\sin^2x},\)
\(\boxed{\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x}.\)
Для тангенса:
\(\boxed{\tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}},\)
если обе части определены.
Полезная форма:
\(\boxed{\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x}.\)
Понижение степени
\(\boxed{\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}},
\;
\boxed{\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}}.\)
Сумма и разность в произведение
\(\boxed{\sin\alpha+\sin\beta
=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}},\)
\(\boxed{\sin\alpha-\sin\beta
=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}},\)
\(\boxed{\cos\alpha+\cos\beta
=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}},\)
\(\boxed{\cos\alpha-\cos\beta
=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}}.\)
Произведение в сумму
\(\boxed{2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)},\)
\(\boxed{2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)},\)
\(\boxed{2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}.\)
Тройной угол
\(\boxed{\sin3x=3\sin x-4\sin^3x},\)
\(\boxed{\cos3x=4\cos^3x-3\cos x},\)
Как выбирать формулу
Не нужно применять формулы ради самих формул. Цель преобразования --- сделать выражение проще.
Обычно полезно:
- свести выражение к одной функции;
- уменьшить число разных аргументов;
- получить произведение;
- заменить квадраты синуса и косинуса через двойной угол;
- заметить сумму или разность синусов и косинусов;
- несколько раз подряд применить одну и ту же формулу, если аргументы удваиваются.
Разобранные примеры
Пример 1. Самое простое тождество
Упростим \(1-\sin^2x.\)
По главному тригонометрическому тождеству \(\sin^2x+\cos^2x=1,\) поэтому \(1-\sin^2x=\boxed{\cos^2x}.\)
Пример 2. Сразу к двойному углу
Упростим \(1-2\sin^2x.\)
Используем формулу \(\cos2x=1-2\sin^2x.\)
Следовательно, \(\boxed{1-2\sin^2x=\cos2x}.\)
Пример 3. Полезная короткая замена
Представим через синус двойного угла выражение \(\sin x\cos x.\)
Из формулы \(\sin2x=2\sin x\cos x\) получаем \(\boxed{\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x}.\)
Пример 4. Сначала двойной угол, затем сокращение
Упростим \(\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x}.\)
\(1-\cos2x=2\sin^2x,
\;
\sin2x=2\sin x\cos x.\)
Поэтому на области определения исходной дроби \(\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x}
=\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}
=\boxed{\tan x}.\)
Пример 5. Сумма в произведение
Преобразуем \(\sin3x-\sin x.\)
Используем формулу \(\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}.\)
Тогда \(\sin3x-\sin x
=2\cos\dfrac{3x+x}{2}\sin\dfrac{3x-x}{2}
=\boxed{2\cos2x\sin x}.\)
Пример 6. Сумма косинусов
Преобразуем \(\cos3x+\cos x.\)
По формуле \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\) получаем
\(\cos3x+\cos x
=2\cos2x\cos x.\)
Значит, \(\boxed{\cos3x+\cos x=2\cos2x\cos x}.\)
Пример 7. Линейная комбинация синуса и косинуса
Преобразуем \(\sin x+\cos x.\)
По формуле синуса суммы: \(\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)
=\sin x\dfrac{\sqrt2}{2}+\cos x\dfrac{\sqrt2}{2}.\)
Умножаем на \(\sqrt2\): \(\boxed{\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)}.\)
Пример 8. Понижение степени дважды
Преобразуем \(\sin^2x\cos^2x.\) \(\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x,\) поэтому \(\sin^2x\cos^2x=\dfrac14\sin^22x.\)
Теперь \(\sin^22x=\dfrac{1-\cos4x}{2}.\)
Следовательно, \(\boxed{\sin^2x\cos^2x=\dfrac{1-\cos4x}{8}}.\)
Пример 9. Несколько двойных углов подряд
Преобразуем \(8\sin x\cos x\cos2x\cos4x.\)
Последовательно применяем \(2\sin t\cos t=\sin2t\):
\(8\sin x\cos x\cos2x\cos4x =4\sin2x\cos2x\cos4x\) \(=2\sin4x\cos4x =\boxed{\sin8x}.\)
Вывод формул
Формулы выше не нужно заучивать как набор несвязанных правил. Почти все они выводятся из нескольких базовых идей.
Основное тождество
На единичной окружности точка, соответствующая углу \(x\), имеет координаты \((\cos x;\sin x).\)
Уравнение единичной окружности: \(X^2+Y^2=1.\)
Подставляя координаты точки, получаем \(\cos^2x+\sin^2x=1.\)
Если разделить это равенство на \(\cos^2x\), то на области \(\cos x\neq0\):
\(\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+1=\dfrac1{\cos^2x},\) то есть \(\tan^2x+1=\dfrac1{\cos^2x}.\)
А деление на \(\sin^2x\) даёт \(1+\cot^2x=\dfrac1{\sin^2x}.\)
Кроме того, там, где одновременно определены тангенс и котангенс,
\(\tan x\cdot\cot x
=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}
=1.\)
Смена знака аргумента
Точки, соответствующие углам \(x\) и \(-x\), симметричны относительно оси абсцисс. Поэтому их абсциссы одинаковы, а ординаты противоположны:
\(\cos(-x)=\cos x, \; \sin(-x)=-\sin x.\)
Формулы для тангенса и котангенса сразу следуют из их определения как отношений синуса и косинуса.
Формулы сложения
Рассмотрим два единичных вектора: \(\vec u=(\cos\alpha;\sin\alpha), \; \vec v=(\cos\beta;\sin\beta).\)
Угол между ними равен \(\alpha-\beta\), поэтому их скалярное произведение равно
\(\vec u\cdot\vec v=\cos(\alpha-\beta).\)
С другой стороны, по координатам:
\(\vec u\cdot\vec v
=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.\)
Отсюда \(\boxed{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}.\)
Заменим \(\beta\) на \(-\beta\):
\(\cos(\alpha+\beta)
=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.\)
Теперь используем \(\sin t=\cos\left(\dfrac\pi2-t\right).\)
Тогда \(\sin(\alpha+\beta)
=\cos\left(\dfrac\pi2-\alpha-\beta\right).\)
Применяем уже полученную формулу косинуса разности:
\(\sin(\alpha+\beta)
=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\)
Заменяя \(\beta\) на \(-\beta\), получаем \(\sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.\)
Формула тангенса суммы получается делением синуса суммы на косинус суммы:
\(\tan(\alpha+\beta)
=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}
{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}.\)
Делим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\cos\beta\):
\(\tan(\alpha+\beta)
=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.\)
Формула разности получается заменой \(\beta\) на \(-\beta\).
Двойной угол
Во всех формулах сложения положим \(\alpha=\beta=x\).
Для синуса:
\(\sin2x
=\sin(x+x)
=\sin x\cos x+\cos x\sin x
=2\sin x\cos x.\)
Для косинуса:
\(\cos2x
=\cos(x+x)
=\cos^2x-\sin^2x.\)
Используем \(\sin^2x+\cos^2x=1\):
\(\cos2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)=2\cos^2x-1,\) и аналогично \(\cos2x=1-2\sin^2x.\)
Для тангенса в формуле суммы также полагаем \(\alpha=\beta=x\):
\(\tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}.\)
Понижение степени
Из \(\cos2x=1-2\sin^2x\) переносим слагаемые:
\(2\sin^2x=1-\cos2x,\) поэтому \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}.\)
Из \(\cos2x=2\cos^2x-1\) аналогично получаем \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}.\)
Сумма и разность в произведение
Положим \(p=\dfrac{\alpha+\beta}{2}, \; q=\dfrac{\alpha-\beta}{2}.\)
Тогда \(\alpha=p+q,
\;
\beta=p-q.\)
По формулам сложения: \(\sin\alpha=\sin(p+q)=\sin p\cos q+\cos p\sin q,\)
\(\sin\beta=\sin(p-q)=\sin p\cos q-\cos p\sin q.\)
Складываем: \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin p\cos q,\) то есть \(\sin\alpha+\sin\beta
=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}.\)
Вычитая эти же равенства, получаем \(\sin\alpha-\sin\beta
=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}.\)
Точно так же из формул для \(\cos(p+q)\) и \(\cos(p-q)\) следуют
\(\cos\alpha+\cos\beta
=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\) \(\cos\alpha-\cos\beta
=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}.\)
Произведение в сумму
Эти формулы можно получить прямо из формул сложения.
Складываем \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) и \(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.\)
Получаем \(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta.\)
Аналогично: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta,\)
\(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta.\)
Тройной угол
Используем формулу сложения и представляем \(3x=2x+x\):
\(\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x.\)
Подставляем формулы двойного угла:
\(\sin3x
=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x.\)
Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получаем
\(\sin3x=3\sin x-4\sin^3x.\)
Для косинуса:
\(\cos3x=\cos(2x+x)=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x,\) \(\cos3x=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x,\) откуда \(\cos3x=4\cos^3x-3\cos x.\)
Задачи для самостоятельной работы
1. Упростите \(1-\sin^2x\).
2. Упростите \(1-2\sin^2x\).
3. Представьте \(\sin x\cos x\) через синус двойного угла.
4. Преобразуйте в произведение \(\sin5x-\sin x\).
5. Преобразуйте в произведение \(\cos4x-\cos2x\).
6. Преобразуйте в произведение \(\cos5x+\cos x\).
7. Преобразуйте в сумму \(2\sin4x\cos x\).
8. Найдите \(\cos75^\circ\).
9. Найдите \(\sin15^\circ\).
10. Преобразуйте \(\sin^4x+\cos^4x\).
11. Упростите \(\dfrac{\sin5x+\sin x}{\cos5x+\cos x}\).
12. Упростите \(\dfrac{\cos x-\cos5x}{\sin5x+\sin x}\).
13. Преобразуйте \(8\sin x\cos x\cos2x\cos4x\).
14. Преобразуйте \(\cos x+\cos3x+\cos5x\) в произведение.
15. Упростите \(\dfrac{1-\cos4x}{\sin4x}\).
16. Преобразуйте \(\sin^2x\cos^2x\) через \(\cos4x\).
17. Найдите \(\sin22{,}5^\circ\cos22{,}5^\circ\).
Ответы
1. \(\cos^2x\).
2. \(\cos2x\).
3. \(\dfrac12\sin2x\).
4. \(2\cos3x\sin2x\).
5. \(-2\sin3x\sin x\).
6. \(2\cos3x\cos2x\).
7. \(\sin5x+\sin3x\).
8. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).
9. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).
10. \(\dfrac{3+\cos4x}{4}\).
11. \(\tan3x\), где исходная дробь определена.
12. \(\tan2x\), где исходная дробь определена.
13. \(\sin8x\).
14. \(\cos3x(2\cos2x+1)\).
15. \(\tan2x\), где исходная дробь определена.
16. \(\dfrac{1-\cos4x}{8}\).
17. \(\dfrac{\sqrt2}{4}\).