Радианная мера
В тригонометрии углы удобно измерять в радианах. Полный оборот равен \(2\pi,\) поэтому
\(180^\circ=\pi,\; 90^\circ=\dfrac{\pi}{2},\;
60^\circ=\dfrac{\pi}{3},\;45^\circ=\dfrac{\pi}{4},\;30^\circ=\dfrac{\pi}{6}.\)
Положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке.
Единичная окружность
Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Углу \(\alpha\) соответствует точка \(M(\cos\alpha;\sin\alpha).\)
Поэтому:
• \(\cos\alpha\) — абсцисса точки на окружности;
• \(\sin\alpha\) — ордината точки;
• \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), если \(\cos\alpha\neq0\);
• \(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), если \(\sin\alpha\neq0\).
Стандартные значения
Достаточно уверенно знать значения в первой четверти:
\(\begin{array}{c|ccccc}
\alpha & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\sin\alpha & 0 & \dfrac12 & \dfrac{\sqrt2}2 & \dfrac{\sqrt3}2 & 1\\
\cos\alpha & 1 & \dfrac{\sqrt3}2 & \dfrac{\sqrt2}2 & \dfrac12 & 0
\end{array}\)
Значения в остальных четвертях получаются по тем же модулям, но со знаками соответствующей четверти.
Знаки функций по четвертям
\(\begin{array}{c|cccc}
& I & II & III & IV\\
\hline
\sin x & + & + & - & -\\
\cos x & + & - & - & +\\
\tan x & + & - & + & -\\
\cot x & + & - & + & -
\end{array}\)
Например, \(\sin\dfrac{5\pi}6=\dfrac12, \; \cos\dfrac{5\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2.\)
Периодичность
После полного оборота точка возвращается на прежнее место: \(\sin(x+2\pi)=\sin x, \; \cos(x+2\pi)=\cos x.\)
У тангенса и котангенса период равен \(\pi\): \(\tan(x+\pi)=\tan x, \; \cot(x+\pi)=\cot x.\)
Поэтому большие и отрицательные углы удобно сначала привести к углу на одном обороте, прибавляя или вычитая \(2\pi\) для синуса и косинуса.
Пример
Найдём \(\cos\dfrac{17\pi}6.\)
Вычтем один полный оборот: \(\dfrac{17\pi}6-2\pi=\dfrac{5\pi}6.\)
Следовательно, \(\cos\dfrac{17\pi}6=\cos\dfrac{5\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2.\)
Отрицательные углы
Из симметрии окружности:
\(\sin(-x)=-\sin x,
\;
\cos(-x)=\cos x,\)
\(\tan(-x)=-\tan x,
\;
\cot(-x)=-\cot x.\)
То есть синус, тангенс и котангенс — нечётные функции, косинус — чётная.
Полезные соотношения на окружности
По окружности легко видеть:
\(\sin(\pi-x)=\sin x,
\;
\cos(\pi-x)=-\cos x,\)
\(\sin(\pi+x)=-\sin x,
\;
\cos(\pi+x)=-\cos x,\)
\(\sin(2\pi-x)=-\sin x,
\;
\cos(2\pi-x)=\cos x.\)
Эти формулы лучше не заучивать отдельно: знак и значение можно восстановить по положению точки на окружности.
Как пользоваться окружностью
Чтобы найти значение тригонометрической функции:
1. приведите угол к одному обороту, если это необходимо;
2. отметьте соответствующую точку на окружности;
3. определите четверть и знак функции;
4. используйте стандартное значение острого угла.
Разобранные примеры
Пример 1
\(\sin\dfrac{7\pi}6=-\dfrac12.\)
Угол находится в III четверти, где синус отрицателен.
Пример 2
\(\cos\dfrac{11\pi}6=\dfrac{\sqrt3}2.\)
Угол находится в IV четверти, где косинус положителен.
Пример 3
\(\tan\dfrac{3\pi}4=-1.\)
В II четверти тангенс отрицателен, а модули синуса и косинуса равны.
Пример 4
\(\sin\left(-\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac{\sqrt3}2.\)
Задачи для самостоятельной работы
1. Найдите \(\sin\dfrac{5\pi}6\).
2. Найдите \(\cos\dfrac{4\pi}3\).
3. Найдите \(\tan\dfrac{7\pi}4\).
4. Найдите \(\sin\dfrac{11\pi}6\).
5. Найдите \(\cos\left(-\dfrac{2\pi}3\right)\).
6. Найдите \(\sin\left(-\dfrac{5\pi}4\right)\).
7. Найдите \(\cos\dfrac{13\pi}3\).
8. Найдите \(\sin\dfrac{19\pi}6\).
9. Определите знак \(\sin\dfrac{8\pi}7\).
10. Определите знак \(\cos\dfrac{7\pi}5\).
11. При каких из стандартных углов на \([0;2\pi)\) синус равен \(\dfrac{\sqrt2}2\)?
12. При каких из стандартных углов на \([0;2\pi)\) косинус равен \(-\dfrac12\)?
Ответы
1. \(\dfrac12\).
2. \(-\dfrac12\).
3. \(-1\).
4. \(-\dfrac12\).
5. \(-\dfrac12\).
6. \(\dfrac{\sqrt2}2\).
7. \(\dfrac12\).
8. \(-\dfrac12\).
9. Отрицательный.
10. Отрицательный.
11. \(\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}4\).
12. \(\dfrac{2\pi}3,\dfrac{4\pi}3\).