Формулы теоремы Виета
Рассмотрим квадратное уравнение
\(ax^2+bx+c=0,\) \(a\neq0.\)
Если оно имеет действительные корни \(x_1\) и \(x_2\), то по теореме Виета
\(\boxed{
\begin{cases}
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\\[0.5em]
x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
\end{cases}}\)
- При \(D>0\) корни различны.
- При \(D=0\) корни совпадают, но формулы Виета всё равно выполняются, если считать один и тот же корень дважды.
Для приведённого квадратного уравнения \(x^2+bx+c=0\) формулы принимают особенно простой вид:
\(\boxed{
\begin{cases}
x_1+x_2=-b,\\
x_1x_2=c.
\end{cases}}\)
Именно поэтому при \(a=1\) корни часто удобно подбирать устно.
Почему формулы Виета верны
Если \(x_1\) и \(x_2\) --- корни квадратного уравнения, то квадратный трёхчлен можно представить в виде
\(a(x-x_1)(x-x_2)\)
Раскроем скобки:
\(a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\right),\)
то есть
\(a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\)
Сравниваем коэффициенты с \(ax^2+bx+c.\)
Получаем\(-a(x_1+x_2)=b,\) \(ax_1x_2=c.\)
Следовательно, \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\) \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}.\)
Обратная теорема Виета
Теорема Виета сообщает свойства уже существующих корней. При решении уравнений особенно важна и обратная теорема Виета.
Если два числа \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\) \(x_1x_2=\dfrac{c}{a},\)
то эти числа являются корнями уравнения \(ax^2+bx+c=0\)
Действительно, \(a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2=ax^2+bx+c\)
Поэтому, когда мы "подбираем корни по Виету", фактически используем именно обратную теорему Виета.
Как подобрать корни
Для приведённого уравнения \(x^2+bx+c=0\) нужно найти два числа, которые одновременно:
• в сумме дают \(-b\);
• в произведении дают \(c\).
Обычно удобнее начинать с произведения.
Как быстро определить знаки
- Если \(c<0,\) произведение корней отрицательно, поэтому корни имеют разные знаки.
- Если \(c>0,\) то при наличии действительных корней они имеют одинаковые знаки. Их знак определяется суммой:
• если \(-b>0\), оба корня положительные;
• если \(-b<0\), оба корня отрицательные.
- Если \(c=0,\) один из корней равен нулю.
Пример 1. Корни разных знаков
Решим уравнение \(x^2-3x-4=0\)
По теореме Виета \(\begin{cases} x_1+x_2=3,\\ x_1x_2=-4.\end{cases}\)
Ищем пары чисел, произведение которых равно \(-4\):
\(1\cdot(-4),\) \((-1)\cdot4,\) \(2\cdot(-2).\)
Нужна пара с суммой \(3\): \(-1+4=3.\)
Следовательно, \(x_1=-1,\) \(x_2=4.\)
Ответ: \(-1\), \(4\).
Пример 2. Два положительных корня
Решим уравнение \(x^2-12x+35=0\)
Нужно найти два числа, сумма которых равна \(12\), а произведение равно \(35\).
Разложим \(35\) на пары множителей: \(1\cdot35,\) \(5\cdot7\)
Подходит пара \(5+7=12,\) \(5\cdot7=35\)
Поэтому \(x_1=5,\) \(x_2=7.\)
Ответ: \(5\), \(7\).
Пример 3. Сумма корней отрицательна
Решим уравнение \(x^2+7x-18=0\)
Так как произведение корней равно \(-18\), корни имеют разные знаки. Их сумма равна \(-7\), поэтому отрицательный корень должен быть больше по модулю.
Подходит пара \(2+(-9)=-7,\) \(2\cdot(-9)=-18\)
Следовательно, \(x_1=2,\) \(x_2=-9\)
Ответ: \(2\), \(-9\).
Пример 4. Большие коэффициенты не всегда означают сложное решение
Решим уравнение \(x^2-101x+100=0\)
Нужно найти два числа, сумма которых равна \(101\), а произведение --- \(100\).
Подходит простая пара: \(1+100=101,\) \(1\cdot100=100\)
Следовательно, \(x_1=1,\) \(x_2=100\)
Ответ: \(1\), \(100\).
Этот пример показывает, что перед вычислением дискриминанта полезно несколько секунд посмотреть на коэффициенты.
Когда подбор особенно удобен
Теорема Виета особенно полезна, если:
• уравнение приведённое;
• свободный член имеет немного целых делителей;
• корни ожидаются целыми или простыми рациональными числами;
• коэффициенты большие, но подходящая пара очевидна;
• коэффициенты содержат параметр и уже видна подходящая сумма и произведение;
• после замены переменной возникает простое квадратное уравнение.
Неприведённое квадратное уравнение
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) можно применять общую формулу Виета:
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\) \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}.\)
Пример 5. Прямое применение общей теоремы Виета
Решим уравнение \(3x^2-10x+3=0\)
По теореме Виета \(x_1+x_2=\dfrac{10}{3},\) \(x_1x_2=1\)
Подходит пара \(3\) \(\text{и}\) \(\dfrac13\)
Действительно, \(3+\dfrac13=\dfrac{10}{3},\) \(3\cdot\dfrac13=1\)
Ответ: \(3\), \(\dfrac13\).
Метод «переброски»
Для неприведённого квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) иногда удобнее не подбирать дробные корни напрямую, а воспользоваться методом «переброски».
Откуда берётся метод
Умножим исходное уравнение на \(a\):
\(a^2x^2+abx+ac=0\)
Запишем первые два слагаемых через выражение \(ax\):
\((ax)^2+b(ax)+ac=0\)
Введём новую переменную \(m=ax\)
Тогда получаем приведённое уравнение
\(m^2+bm+ac=0\)
По теореме Виета
\(\begin{cases}
m_1+m_2=-b,\\
m_1m_2=ac.
\end{cases}\)
После нахождения \(m_1\) и \(m_2\) возвращаемся к \(x\):
\(\boxed{x_1=\dfrac{m_1}{a}},\) \(\boxed{x_2=\dfrac{m_2}{a}}\)
Таким образом, алгоритм такой:
1. Для \(ax^2+bx+c=0\) составить вспомогательное уравнение \(m^2+bm+ac=0.\)
2. Решить его по теореме Виета.
3. Каждый найденный корень разделить на \(a\).
Пример 6. Метод «переброски»
Решим уравнение \(5x^2-6x+1=0\)
Составляем вспомогательное уравнение: \(m^2-6m+5=0\)
По теореме Виета \(m_1=1,\) \(m_2=5\)
Возвращаемся к \(x\):
\(x_1=\dfrac{1}{5},\) \(x_2=\dfrac{5}{5}=1\)
Ответ: \(\dfrac15\), \(1\).
Что можно понять о корнях без вычислений
Для общего квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) с действительными корнями \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\) \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}.\)
Поэтому знак произведения корней определяется знаком \(\dfrac{c}{a}\).
Корни разных знаков
Если \(\dfrac{c}{a}<0,\) то корни имеют разные знаки.
Более того:
• если \(x_1+x_2>0\), положительный корень больше по модулю;
• если \(x_1+x_2<0\), отрицательный корень больше по модулю;
• если \(x_1+x_2=0\), корни противоположны и равны по модулю.
Для приведённого уравнения достаточно посмотреть на знак \(c\).
Корни одного знака
Если \(\dfrac{c}{a}>0\) и корни действительные, то они имеют одинаковый знак.
Тогда:
• при \(x_1+x_2>0\) оба корня положительные;
• при \(x_1+x_2<0\) оба корня отрицательные.
Важно: положительное произведение само по себе не гарантирует существование действительных корней. Например, перед рассуждением о знаках необходимо знать, что \(D\geqslant0\).
Если один корень равен нулю
Если \(c=0,\) то \(x_1x_2=0,\) поэтому хотя бы один корень равен нулю. Действительно, \(ax^2+bx=x(ax+b)=0\)
Отсюда \(x_1=0,\) \(x_2=-\dfrac{b}{a}\)
Быстрый поиск корней \(1\) и \(-1\)
Иногда один из корней квадратного уравнения можно заметить сразу по коэффициентам.
Если для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) выполняется \(a+b+c=0,\) то \(x=1\) является корнем.
Действительно, \(a\cdot1^2+b\cdot1+c=a+b+c=0\)
Второй корень можно сразу найти по произведению: \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\)
Если \(x_1=1\), то
\(\boxed{x_2=\dfrac{c}{a}}\)
Пример 7. Корень \(x=1\)
Решим уравнение \(15x^2-13x-2=0\)
Сумма коэффициентов: \(15-13-2=0\)
Значит, \(x_1=1\)
По теореме Виета \(x_1x_2=-\dfrac{2}{15}\)
Следовательно, \(x_2=-\dfrac{2}{15}\)
Ответ: \(1\), \(-\dfrac{2}{15}\).
Если \(a-b+c=0,\) то \(x=-1\) является корнем.
Действительно, \(a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=0\)
Если \(x_1=-1\), то из \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\) получаем
\(\boxed{x_2=-\dfrac{c}{a}}\)
Пример 8. Корень \(x=-1\)
Решим уравнение \(6x^2+5x-1=0\)
Проверяем: \(6-5-1=0\)
Следовательно, \(x_1=-1\)
Тогда \(x_2=-\dfrac{-1}{6}=\dfrac16\)
Ответ: \(-1\), \(\dfrac16\).
Теорема Виета после преобразования или замены
Иногда исходное уравнение не выглядит как обычное квадратное, но после простой замены или преобразования сводится к нему.
Пример 9. Замена линейного выражения
Решим уравнение \((x-1)^2-7(x-1)+10=0\)
Не будем раскрывать скобки. Введём \(t=x-1\)
Получаем \(t^2-7t+10=0\)
По теореме Виета \(t_1=2,\) \(t_2=5\)
Возвращаемся к \(x\): \(x-1=2\) или \(x-1=5\)
Следовательно, \(x=3\) или \(x=6\)
Ответ: \(3\), \(6\).
Пример 10. Биквадратное уравнение
Решим \(x^4-13x^2+36=0\)
Введём \(t=x^2\)
Получаем \(t^2-13t+36=0\)
По теореме Виета \(t_1=4,\) \(t_2=9\)
Возвращаемся к \(x\): \(x^2=4\) или \(x^2=9\)
Поэтому \(x=\pm2\) или \(x=\pm3.\)
Ответ: \(-3\), \(-2\), \(2\), \(3\).
Пример 11. Дробное уравнение
Решим \(x+\dfrac{20}{x}=9\)
Сначала учитываем область допустимых значений: \(x\neq0\)
Умножаем уравнение на \(x\): \(x^2+20=9x,\) то есть \(x^2-9x+20=0\)
По теореме Виета \(x_1=4,\) \(x_2=5\)
Оба значения удовлетворяют условию \(x\neq0\).
Ответ: \(4\), \(5\).
Теорема Виета в уравнениях с параметром
Если коэффициенты квадратного уравнения содержат параметр, не всегда нужно раскрывать скобки и вычислять дискриминант. Иногда корни буквально "видны" из суммы и произведения.
Пример 12. Простая параметрическая конструкция
Решим относительно \(x\): \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)=0\)
Для приведённого уравнения сумма корней должна быть равна \(2a+7,\) а произведение --- \((a+3)(a+4)\)
Замечаем: \((a+3)+(a+4)=2a+7\)
Следовательно, \(x_1=a+3,\) \(x_2=a+4\)
Эти выражения подходят при любом действительном \(a\).
Ответ: \(a+3\), \(a+4\).
Пример 13. Неприведённое уравнение с параметром
Рассмотрим\(2x^2-(3a+4)x+(a+1)(a+2)=0\)
По общей теореме Виета \(x_1+x_2=\dfrac{3a+4}{2},\) \(x_1x_2=\dfrac{(a+1)(a+2)}{2}\)
Подходит пара \(x_1=a+1,\) \(x_2=\dfrac{a+2}{2}\)
Проверим сумму: \(a+1+\dfrac{a+2}{2}=\dfrac{3a+4}{2}\)
Произведение также совпадает: \((a+1)\cdot\dfrac{a+2}{2}=\dfrac{(a+1)(a+2)}{2}\)
Ответ: \(x_1=a+1,\) \(x_2=\dfrac{a+2}{2}.\)
При \(a=0\) эти два корня совпадают и равны \(1\).
Связь теоремы Виета с разложением на множители
Если корни квадратного уравнения \(x_1\) и \(x_2\) найдены, квадратный трёхчлен можно разложить:
\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Например, для \(x^2-3x-4=0\) мы нашли корни \(-1\) и \(4\). Поэтому \(x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\)
И наоборот, если трёхчлен уже удалось разложить на множители, его корни видны сразу.
Теорема Виета и разложение квадратного трёхчлена на множители --- это два тесно связанных взгляда на одну и ту же структуру.
Когда лучше использовать дискриминант
Теорема Виета не обязана давать простую пару корней.
Если после короткого поиска подходящие числа или выражения не видны, не нужно долго перебирать варианты. В таком случае лучше перейти к дискриминанту или другой подходящей формуле.
Например, для уравнения \(x^2-2x-1=0\) сумма корней равна \(2\), а произведение равно \(-1\), но простая рациональная пара не находится. Здесь удобнее вычислить дискриминант:
\(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-1)=8\)
и получить \(x=1\pm\sqrt2.\)
Главный навык --- не решать каждое квадратное уравнение одним и тем же способом, а быстро выбирать наиболее короткий.
Типичные ошибки
• Путают знак суммы корней:
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\) а не \(\dfrac{b}{a}\).
• Для неприведённого уравнения используют формулы \(x_1+x_2=-b\), \(x_1x_2=c\), забывая разделить на \(a\).
• Подбирают числа только по произведению и не проверяют сумму.
• При \(c>0\) сразу говорят, что корни одного знака, не проверив существование действительных корней.
• Делают вывод о знаках корней по \(c\), хотя для общего уравнения нужно смотреть на \(\dfrac{c}{a}\).
• В методе «переброски» находят \(m_1\) и \(m_2\), но забывают затем разделить их на \(a\).
• После замены переменной находят значения новой переменной, но не возвращаются к исходной.
• В дробном уравнении забывают область допустимых значений.
• Если замечен корень \(1\) или \(-1\), всё равно считают дискриминант, хотя второй корень можно быстро найти по произведению.
• В параметрическом уравнении раскрывают все скобки и усложняют выражения, хотя сумма и произведение корней уже видны.
Короткая памятка
Для общего квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0:\)
\(\boxed{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}},\) \(\boxed{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}\)
Для приведённого уравнения \(x^2+bx+c=0:\)
\(\boxed{x_1+x_2=-b},\) \(\boxed{x_1x_2=c}\)
При подборе корней:
1. сначала смотрим на произведение;
2. определяем возможные знаки;
3. перебираем подходящие пары множителей;
4. проверяем сумму.
- Если \(\dfrac{c}{a}<0,\) корни разных знаков.
- Если \(\dfrac{c}{a}>0\) и корни действительные, они одного знака.
Метод «переброски»:
\(ax^2+bx+c=0\Longrightarrow m^2+bm+ac=0,\) \(m=ax\)
Если \(a+b+c=0,\) то \(x_1=1,\) \(x_2=\dfrac{c}{a}\)
Если \(a-b+c=0,\) то \(x_1=-1,\) \(x_2=-\dfrac{c}{a}\)
Если выражение повторяется, можно сделать замену и применить Виета уже к новой переменной.
Задачи для самостоятельной работы
Уровень 1. Базовый подбор корней
1. Решите: \(x^2-9x+20=0\)
2. Решите: \(x^2+13x+40=0\)
3. Решите: \(x^2-6x+9=0\)
4. Решите: \(x^2+2x-15=0\)
5. Решите: \(x^2-101x+100=0\)
6. Решите: \(2x^2-7x+3=0\)
7. Не находя корни, определите их знаки и укажите, какой корень больше по модулю: \(x^2-5x-6=0\)
8. Не находя корни, определите их знаки: \(x^2+7x+10=0\)
Уровень 2. Виет внутри другой конструкции
9. Решите: \(x^4-13x^2+36=0\)
10. Решите, не раскрывая скобки: \((x-2)^2-9(x-2)+20=0\)
11. Решите: \(x+\dfrac{20}{x}=9\)
12. Решите методом «переброски»: \(4x^2+4x-3=0\)
13. Решите, заметив корень \(1\): \(7x^2-8x+1=0\)
14. Решите, заметив корень \(-1\): \(6x^2+5x-1=0\)
Уровень 3. Уравнения с параметром
15. Решите относительно \(x\): \(x^2+(2a+3)x+(a+1)(a+2)=0\)
16. Решите относительно \(x\): \(x^2-(3a-1)x+2a(a-1)=0\)
17. Решите относительно \(x\): \(2x^2-(3a+4)x+(a+1)(a+2)=0\)
18. Решите относительно \(x\): \(x^2-(a^2+a+1)x+a(a^2+1)=0\)
Ответы
1. \(4\), \(5\).
2. \(-5\), \(-8\).
3. \(3\) --- двукратный корень.
4. \(3\), \(-5\).
5. \(1\), \(100\).
6. \(3\), \(\dfrac12\).
7. Корни разных знаков; положительный корень больше по модулю.
8. Оба корня отрицательные.
9. \(-3\), \(-2\), \(2\), \(3\).
10. \(6\), \(7\).
11. \(4\), \(5\).
12. \(\dfrac12\), \(-\dfrac32\).
13. \(1\), \(\dfrac17\).
14. \(-1\), \(\dfrac16\).
15. \(-a-1\), \(-a-2\).
16. \(a-1\), \(2a\). При \(a=-1\) корни совпадают.
17. \(a+1\), \(\dfrac{a+2}{2}\). При \(a=0\) корни совпадают.
18. \(a\), \(a^2+1\).