Зачем нужны эти методы
При решении уравнений степени выше второй часто возникает одна и та же задача: нужно найти хотя бы один корень многочлена, после чего понизить степень уравнения. Например, если удалось установить, что число \(a\) является корнем многочлена \(P(x)\), то многочлен делится на \(x-a\), и вместо уравнения степени \(n\) мы получаем уравнение степени \(n-1\).
В этой цепочке используются сразу несколько связанных идей:
1. теорема Безу позволяет быстро находить остаток при делении на \(x-a\);
2. следствие из теоремы Безу позволяет проверять, является ли число корнем многочлена;
3. теорема о рациональных корнях даёт список возможных рациональных корней;
4. деление уголком или схема Горнера позволяют разделить многочлен на \(x-a\) и понизить его степень.
Схема Горнера особенно удобна, когда делитель имеет вид \(x-a\): она короче деления уголком, требует меньше записей и одновременно даёт и частное, и остаток.
Вся статья строится вокруг одной цепочки:
\(\boxed{
\text{нашли возможный корень}
\ \longrightarrow\
\text{проверили его по теореме Безу}
\ \longrightarrow\
\text{разделили многочлен}
\ \longrightarrow\
\text{понизили степень уравнения}
}.\)
Поэтому эти темы полезно изучать вместе, а не как четыре отдельных приёма.
Деление многочленов с остатком
Пусть \(P(x)\) и \(D(x)\) --- многочлены, причём \(D(x)\ne0\).
Тогда существуют единственные многочлены \(Q(x)\) и \(R(x)\), для которых \(P(x)=D(x)Q(x)+R(x),\) где либо \(R(x)=0\), либо степень остатка меньше степени делителя.
Если делитель равен \(x-a\), его степень равна \(1\). Поэтому остаток должен иметь степень меньше \(1\), то есть является обычным числом:
\(P(x)=(x-a)Q(x)+r.\)
Именно это наблюдение лежит в основе теоремы Безу.
Теорема Безу
Формулировка
Формулировка теоремы: остаток от деления многочлена \(P(x)\) на двучлен \(x-a\) равен значению этого многочлена при \(x=a\), то есть равен \(P(a)\).
Сама теорема чаще всего используется не как отдельный вычислительный приём, а как способ быстро определить остаток и проверить, делится ли многочлен на двучлен нацело. Для этого применяется следующий критерий, являющийся следствием теоремы Безу:
\(\boxed{\text{Многочлен }P(x)\text{ делится без остатка на }x-a
\text{ тогда и только тогда, когда }P(a)=0.}\)
Иначе говоря, число \(a\) является корнем многочлена \(P(x)\) тогда и только тогда, когда \(x-a\) является его множителем.
Почему теорема Безу верна
При делении многочлена \(P(x)\) на двучлен \(x-a\) остаток является обычным числом. Поэтому результат деления можно записать так:
\(P(x)=(x-a)Q(x)+r,\)
где \(Q(x)\) --- частное, а \(r\) --- остаток.
Теперь подставим \(x=a.\)
Получаем: \(P(a)=(a-a)Q(a)+r.\)
Первое слагаемое равно нулю, поэтому \(\boxed{P(a)=r}.\)
То есть остаток от деления на \(x-a\) действительно равен значению многочлена при \(x=a\).
Отсюда сразу следует ещё один важный факт: \(P(a)=0\) тогда и только тогда, когда остаток равен нулю, то есть когда многочлен делится на \(x-a\) нацело.
Пример
Найдём остаток от деления многочлена \(x^4+4x^3+6\) на двучлен \(x+1\).
Для этого воспользуемся теоремой Безу, представив двучлен \(x+1\) в виде \(x-(-1)\). Таким образом, получаем, что (a=-1\).
Теперь находим значение данного многочлена при \(a=-1\):
\((-1)^4+4\cdot(-1)^3+6=1-4+6=3.\)
Итак, искомый остаток равен \(3\).
Пример: проверка делимости
Проверим, делится ли многочлен \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\) на \(x-2\).
Подставим \(x=2\):
\(P(2)=2^3-4\cdot2^2+2+6=8-16+2+6=0.\)
Так как получили нуль, многочлен делится на \(x-2\) без остатка.
Заключение
Теорема Безу полезна не только для нахождения остатка. Именно она связывает между собой три утверждения: число \(a\) является корнем многочлена, значение \(P(a)\) равно нулю, а многочлен делится на \(x-a\) без остатка.
На этой связи основаны деление многочленов уголком и схема Горнера, которые мы рассмотрим ниже.
Как искать рациональные корни
Чтобы применить деление уголком или схему Горнера для решения уравнения, сначала часто приходится найти хотя бы один корень.
Многочлен со старшим коэффициентом \(1\)
Рассмотрим многочлен \(P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) с целыми коэффициентами.
Если этот многочлен имеет целый корень \(m\), то \(m\) является делителем свободного члена \(a_0\).
Поэтому для уравнения \(x^3-6x^2+11x-6=0\) достаточно проверить делители числа \(-6\): \(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6.\)
Например, \(P(1)=1-6+11-6=0,\) поэтому \(x=1\) --- корень.
Общий случай
Пусть
\(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\)
где все коэффициенты целые и \(a_n\ne0\).
Если несократимая дробь \(x=\dfrac pq\) является рациональным корнем, то её числитель \(p\) должен быть делителем свободного члена \(a_0\), а знаменатель \(q\) должен быть делителем старшего коэффициента \(a_n\).
Поэтому сначала выписывают все делители свободного члена, затем все делители старшего коэффициента и составляют из них возможные дроби. После этого каждое полученное число проверяют подстановкой в многочлен.
Пример
Решим уравнение \(2x^3-3x^2-8x+12=0.\)
Возможные рациональные корни имеют вид \(\pm\dfrac pq,\) где \(p\) делит \(12\), а \(q\) делит \(2\). В частности, среди кандидатов есть \(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm4,\ \pm6,\ \pm12,\ \pm\dfrac12,\ \pm\dfrac32.\)
Проверим \(x=2\):
\(2\cdot2^3-3\cdot2^2-8\cdot2+12=16-12-16+12=0.\)
Значит, \(x=2\) --- корень, и многочлен делится на \(x-2\).
Позже мы разделим его по схеме Горнера и получим \(2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6).\)
Затем \(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2).\)
Следовательно, \(x=2,\) \(x=\dfrac32,\) \(x=-2.\)
Важное уточнение
Фраза «корень нужно искать среди делителей свободного члена» верна только для многочлена со старшим коэффициентом \(1\), если мы ищем целые корни.
В общем случае нужно рассматривать дроби \(\dfrac pq\), где числитель делит свободный член, а знаменатель --- старший коэффициент.
Если ни один из всех возможных кандидатов не подошёл, многочлен не имеет рациональных корней. Это ещё не означает, что действительных корней нет: они могут оказаться иррациональными. Возможна и ситуация, когда действительных корней действительно нет.
Деление многочленов уголком
Деление уголком работает для любого ненулевого многочлена-делителя. Ниже приведён краткий алгоритм. Более подробное объяснение с визуальной анимацией можно посмотреть в отдельной статье «Деление многочленов уголком».
Алгоритм
Пусть имеется уравнение степени выше второй. Первым делом обычно нужно «угадать» один из рациональных корней, то есть составить список возможных значений и проверить их подстановкой. Если старший коэффициент равен \(1\), целые корни ищут среди делителей свободного члена. В общем случае возможны и дробные корни: их числители берут среди делителей свободного члена, а знаменатели --- среди делителей старшего коэффициента.
После нахождения корня \(x_1\) исходный многочлен делят на двучлен \(x-x_1\). В результате получается многочлен на единицу меньшей степени.
Далее процесс повторяют, пока не получится квадратное или линейное уравнение.
Само деление уголком выполняется так:
1. расположить оба многочлена по убыванию степеней;
2. обязательно вписать нулевые коэффициенты при пропущенных степенях;
3. разделить старший член делимого на старший член делителя;
4. записать полученный одночлен в частное;
5. умножить на него весь делитель и вычесть результат;
6. повторять процесс, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.
Пример
Разделим \(P(x)=x^3-2x^2+7x-3\) на \(x-2\).
Сначала делим старший член: \(\dfrac{x^3}{x}=x^2.\)
Первый член частного равен \(x^2\). Умножаем: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2.\)
Вычитаем: \((x^3-2x^2+7x-3)-(x^3-2x^2)=7x-3.\)
Теперь \(\dfrac{7x}{x}=7.\)
Добавляем \(7\) к частному и умножаем: \(7(x-2)=7x-14.\)
Вычитаем: \((7x-3)-(7x-14)=11.\)
Итак, \(x^3-2x^2+7x-3=(x-2)(x^2+7)+11.\)
Тот же результат далее будет получен по схеме Горнера значительно короче.
Метод схемы Горнера
Общая идея
Схема Горнера --- это компактный способ:
• разделить многочлен на \(x-a\);
• найти остаток от такого деления;
• вычислить значение \(P(a)\);
• понизить степень многочлена после нахождения корня.
Пусть многочлен записан по убыванию степеней:
\(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.\)
При делении на \(x-a\) схема Горнера позволяет не записывать на каждом шаге полное умножение и вычитание многочленов. Мы работаем только с коэффициентами:
1. старший коэффициент просто сносим в нижнюю строку;
2. умножаем полученное число на \(a\);
3. прибавляем следующий коэффициент исходного многочлена;
4. снова умножаем результат на \(a\) и прибавляем следующий коэффициент;
5. продолжаем до последнего числа.
Все числа нижней строки, кроме последнего, становятся коэффициентами частного. Последнее число является остатком. По теореме Безу оно одновременно равно \(P(a)\).
Если исходный многочлен имеет степень \(n\), то частное при делении на \(x-a\) имеет степень \(n-1\).
Пошаговый алгоритм
Чтобы разделить \(P(x)\) на \(x-a\) по схеме Горнера:
1. выпишите все коэффициенты \(P(x)\) по убыванию степеней;
2. вместо пропущенных степеней обязательно поставьте нули;
3. слева запишите число \(a\);
4. старший коэффициент снесите вниз без изменений;
5. умножьте последнее полученное число на \(a\);
6. прибавьте следующий коэффициент многочлена;
7. повторяйте умножение и сложение до конца строки;
8. последнее число будет остатком, остальные числа нижней строки --- коэффициентами частного.
Пример 1: деление с остатком
Пусть мы уже нашли один из корней уравнения \(x_1\). Тогда можно применить схему Горнера. Однако опишем её применение на конкретном примере, чтобы было проще для восприятия.
Разделим \(x^3-2x^2+7x-3\) на \(x-2\).
Сначала чертим таблицу из двух строк. В первом столбце будет записано число \(a\), а в остальных --- коэффициенты многочлена и результаты вычислений. Так как многочлен имеет четыре коэффициента, в таблице будет пять столбцов.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& & & & \\
\hline
& & & & \\
\hline
\end{array}\)
Записываем коэффициенты многочлена в верхней строке, начиная со второго столбца:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & -2 & 7 & -3 \\
\hline
& & & & \\
\hline
\end{array}\)
Поскольку делим на \(x-2\), в левую ячейку нижней строки записываем число \(a=2\):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & -2 & 7 & -3 \\
\hline
2 & & & & \\
\hline
\end{array}\)
Старший коэффициент \(1\) сносим вниз без изменений:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & -2 & 7 & -3 \\
\hline
2 & 1 & & & \\
\hline
\end{array}\)
Теперь умножаем полученное число на \(2\) и прибавляем следующий коэффициент: \(1\cdot2+(-2)=0.\)
Записываем результат под коэффициентом \(-2\):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & -2 & 7 & -3 \\
\hline
2 & 1 & 0 & & \\
\hline
\end{array}\)
Повторяем то же действие: \(0\cdot2+7=7.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & -2 & 7 & -3 \\
\hline
2 & 1 & 0 & 7 & \\
\hline
\end{array}\)
Последний шаг: \(7\cdot2+(-3)=11.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & -2 & 7 & -3 \\
\hline
2 & 1 & 0 & 7 & 11 \\
\hline
\end{array}\)
Последнее число \(11\) является остатком. Остальные числа нижней строки \(1,0,7\) --- коэффициенты частного: \(x^2+0x+7=x^2+7.\)
Следовательно, \(x^3-2x^2+7x-3=(x-2)(x^2+7)+11.\)
По теореме Безу остаток должен совпадать со значением \(P(2)\). Проверка:
\(P(2)=2^3-2\cdot2^2+7\cdot2-3=8-8+14-3=11.\)
Пример 2: пропущенные степени
Разделим \(x^5+2x^4+2x^2-5\) на \(x-1\).
В многочлене отсутствуют члены с \(x^3\) и \(x\). Перед заполнением таблицы обязательно записываем их с нулевыми коэффициентами:
\(x^5+2x^4+0x^3+2x^2+0x-5.\)
Записываем все коэффициенты в верхнюю строку и число \(a=1\) слева:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -5 \\
\hline
1 & & & & & & \\
\hline
\end{array}\)
Сносим старший коэффициент \(1\):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -5 \\
\hline
1 & 1 & & & & & \\
\hline
\end{array}\)
Выполняем второе действие: \(1\cdot1+2=3.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -5 \\
\hline
1 & 1 & 3 & & & & \\
\hline
\end{array}\)
Третье действие: \(3\cdot1+0=3.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -5 \\
\hline
1 & 1 & 3 & 3 & & & \\
\hline
\end{array}\)
Четвёртое действие: \(3\cdot1+2=5.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -5 \\
\hline
1 & 1 & 3 & 3 & 5 & & \\
\hline
\end{array}\)
Пятое действие: \(5\cdot1+0=5.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -5 \\
\hline
1 & 1 & 3 & 3 & 5 & 5 & \\
\hline
\end{array}\)
Шестое действие: \(5\cdot1+(-5)=0.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -5 \\
\hline
1 & 1 & 3 & 3 & 5 & 5 & 0 \\
\hline
\end{array}\)
Последнее число равно нулю, поэтому многочлен делится на \(x-1\) без остатка.
Коэффициенты частного равны \(1,3,3,5,5\), следовательно,
\(x^5+2x^4+2x^2-5=(x-1)(x^4+3x^3+3x^2+5x+5).\)
Пример 3: делитель \(x+3\)
Разделим \(2x^3+x^2-13x+6\) на \(x+3\).
Нужно помнить: \(x+3=x-(-3).\)
Поэтому в левую ячейку записываем не \(3\), а \(-3\).
\(\begin{array}{c|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline
-3 & 2 & -5 & 2 & 0
\end{array}\)
Получаем: \(2x^3+x^2-13x+6=(x+3)(2x^2-5x+2).\)
Квадратный многочлен раскладывается дальше: \(2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2).\)
Поэтому \(2x^3+x^2-13x+6=(x+3)(2x-1)(x-2).\)
Пример 4: вычисление значения многочлена
Схему Горнера можно использовать даже тогда, когда делить многочлен не требуется. Она позволяет быстро вычислить \(P(a)\).
Пусть \(P(x)=3x^5-2x^4+7x^2-x+4.\)
Найдём \(P(2)\).
Записываем пропущенный коэффициент при \(x^3\):т\(3,\ -2,\ 0,\ 7,\ -1,\ 4.\)
\(\begin{array}{c|rrrrrr}
& 3 & -2 & 0 & 7 & -1 & 4\\
\hline
2 & 3 & 4 & 8 & 23 & 45 & 94
\end{array}\)
Последнее число равно значению многочлена: \(P(2)=94.\)
То же вычисление можно записать без таблицы:
\(P(2)=((((3\cdot2-2)\cdot2+0)\cdot2+7)\cdot2-1)\cdot2+4=94.\)
Решение уравнений с помощью схемы Горнера
Общий план
Пусть нужно решить уравнение \(P(x)=0,\) где степень \(P(x)\) больше двух.
Обычно действуют так:
1. составляют список возможных рациональных корней;
2. подстановкой проверяют кандидатов;
3. после нахождения корня \(x=a\) делят \(P(x)\) на \(x-a\);
4. получают многочлен меньшей степени;
5. повторяют процесс, пока не останется квадратное или линейное уравнение.
Подробный пример
Решим уравнение \(x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0.\)
Свободный член равен \(-6\), поэтому возможные целые корни: \(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6.\)
Проверим \(x=1\): \(1-5+5+5-6=0.\)
Следовательно, \(x=1\) --- корень. Делим на \(x-1\):
\(\begin{array}{c|rrrrr}
& 1 & -5 & 5 & 5 & -6\\
\hline
1 & 1 & -4 & 1 & 6 & 0
\end{array}\)
Получаем \(x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)(x^3-4x^2+x+6).\)
Теперь решаем \(x^3-4x^2+x+6=0.\)
Проверим \(x=2\): \(8-16+2+6=0.\)
Делим на \(x-2\):
\(\begin{array}{c|rrrr}
& 1 & -4 & 1 & 6\\
\hline
2 & 1 & -2 & -3 & 0
\end{array}\)
Следовательно, \(x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3).\)
Остаётся квадратный трёхчлен: \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1).\)
Итак, \(x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)(x-2)(x-3)(x+1).\)
Ответ. \(x=-1,\) \(x=1,\) \(x=2,\) \(x=3.\)
Кратность корня
Если после деления на \(x-a\) полученное частное снова делится на \(x-a\), то число \(a\) является кратным корнем.
Например, \(P(x)=x^3-3x^2+4.\)
Проверим \(x=2\): \(8-12+4=0.\)
Первая схема Горнера:
\(\begin{array}{c|rrrr}
& 1 & -3 & 0 & 4\\
\hline
2 & 1 & -1 & -2 & 0
\end{array}\)
Получили частное \(x^2-x-2.\)
Оно также обращается в нуль при \(x=2\): \(4-2-2=0.\)
Ещё раз делим на \(x-2\):
\(\begin{array}{c|rrr}
& 1 & -1 & -2\\
\hline
2 & 1 & 1 & 0
\end{array}\)
Значит, \(P(x)=(x-2)^2(x+1).\)
Число \(2\) является корнем кратности \(2\).
Связь схемы Горнера с теоремой Безу
После выполнения схемы Горнера последнее число можно понимать сразу двумя способами:
1. это остаток от деления \(P(x)\) на \(x-a\);
2. это значение \(P(a)\).
Эти утверждения совпадают именно благодаря теореме Безу.
Если последнее число равно нулю, то одновременно выполняются три равносильных утверждения:
\(P(a)=0;\)
\(a\text{ является корнем многочлена};\)
\(P(x)\text{ делится на }x-a.\)
Деление уголком или схема Горнера
\(
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Деление уголком} & \text{Схема Горнера} \\
\hline
\text{Вид делителя} & \text{Подходит для любого многочлена} & \text{В школьной форме применяется для }x-a \\
\hline
\text{Объём записи} & \text{Обычно больше} & \text{Обычно значительно меньше} \\
\hline
\text{Что получаем} & \text{Частное и остаток} & \text{Частное, остаток и значение }P(a) \\
\hline
\text{Риск ошибки} & \text{Нужно внимательно вычитать многочлены} & \text{Нужно внимательно учитывать знаки и нулевые коэффициенты} \\
\hline
\text{Когда удобнее} & \text{При делении на многочлен степени выше первой} & \text{При поиске корней и делении на }x-a \\
\hline
\end{array}
\)
Оба метода дают один и тот же результат. Схема Горнера не заменяет деление уголком полностью, но является наиболее удобным частным случаем.
Типичные ошибки
1. Неверный знак в левой ячейке.
Если делим на \(x+3\), нужно записать \(x+3=x-(-3),\) поэтому в таблице должно стоять \(-3\).
2. Пропущены нулевые коэффициенты.
В многочлене \(x^5+2x^4+2x^2-5\) коэффициенты нужно выписать так: \(1,\ 2,\ 0,\ 2,\ 0,\ -5.\)
3. Последнее число ошибочно включают в частное.
Последнее число нижней строки --- остаток. Коэффициенты частного стоят перед ним.
4. Забывают понизить степень.
Если исходный многочлен имеет степень \(n\), то частное при делении на \(x-a\) имеет степень \(n-1\).
5. Ищут только целые корни при старшем коэффициенте, отличном от \(1\).
В таком случае возможны дробные рациональные корни. Например, многочлен \(2x-3\) имеет корень \(3/2\).
6. Считают, что отсутствие рациональных корней означает отсутствие любых корней.
У многочлена могут быть иррациональные корни, или он может вовсе не иметь корней в действительных числах.
7. Сразу раскрывают громоздкие степени.
Иногда выражение можно сначала разложить на множители или сделать замену, избежав многочлена четвёртой степени.
Что делать, если возникает уравнение четвёртой степени
Если в процессе решения появилось уравнение четвёртой степени, схема Горнера может оказаться полезной, но сначала стоит проверить, нет ли более простой структуры.
Особенно важно не спешить раскрывать квадраты. Если уравнение имеет вид
\(A(x)^2-B(x)^2=0,\)
сразу применяем формулу разности квадратов:
\(A(x)^2-B(x)^2=(A(x)-B(x))(A(x)+B(x)).\)
Пример
Решим уравнение \((x^2-5x+3)^2-4=0.\)
Не раскрываем квадрат. Записываем: \((x^2-5x+3)^2-2^2=0.\)
По формуле разности квадратов: \((x^2-5x+3-2)(x^2-5x+3+2)=0.\)
Получаем два квадратных уравнения: \(x^2-5x+1=0\) или \(x^2-5x+5=0.\)
Отсюда \(x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}2\) или \(x=\dfrac{5\pm\sqrt5}2.\)
Такой способ значительно короче раскрытия скобок и решения общего уравнения четвёртой степени.
Краткая памятка
1. Чтобы найти остаток при делении на \(x-a\), вычислите \(P(a)\).
2. Чтобы проверить делимость на \(x-a\), проверьте равенство \(P(a)=0\).
3. Для целого корня многочлена со старшим коэффициентом \(1\) проверьте делители свободного члена.
4. В общем случае для рационального корня \(\dfrac pq\) числитель делит свободный член, знаменатель --- старший коэффициент.
5. В схеме Горнера выписывайте все коэффициенты, включая нулевые.
6. Для делителя \(x+a\) в левую ячейку записывайте \(-a\).
7. Последнее число в схеме --- остаток, остальные --- коэффициенты частного.
8. Если остаток равен нулю, найденный корень можно использовать для понижения степени уравнения.
Задачи для самостоятельной работы
1. Найдите остаток от деления \(x^5-3x^2+7\) на \(x-2\).
2. Проверьте, делится ли \(x^4+3x^3-4x^2-12x\) на \(x+2\).
3. Разделите по схеме Горнера \(2x^4-3x^3+5x-7\) на \(x-2\).
4. Разделите \(x^5-4x^3+2x^2-3\) на \(x+1\).
5. Разложите на множители \(x^3-6x^2+11x-6.\)
6. Решите уравнение \(x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0.\)
7. Найдите \(k\), если многочлен \(x^3+kx^2-5x+3\) делится на \(x-1\).
8. Найдите остаток от деления \(2x^4+x^3-5x+7\) на \(x+3\).
9. Решите уравнение \(2x^3-3x^2-8x+12=0.\)
10. Разложите на множители \(x^4-2x^3-3x^2+4x+4\) и определите кратности его корней.
11. С помощью схемы Горнера вычислите при \(x=10\): \(2x^4-7x^3+3x^2-5x+1.\)
12. Решите уравнение \((x^2-5x+3)^2=4.\)
Ответы
1. \(27\).
2. Делится.
3. Частное \(2x^3+x^2+2x+9\), остаток \(11\).
4. Частное \(x^4-x^3-3x^2+5x-5\), остаток \(2\).
5. \(x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).\)
6. \(x=-1,\ 1,\ 2,\ 3.\)
7. \(k=1\).
8. \(157\).
9. \(x=2,\) \(x=\dfrac32,\) \(x=-2.\)
10. Корни \(2\) и \(-1\), каждый имеет кратность \(2\).
11. \(13251\).
12. \(x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}2,\) \(x=\dfrac{5\pm\sqrt5}2.\)