Целая степень
Для натурального \(n\):
\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ множителей}}.\)
Нулевая степень:
\(\boxed{a^0=1},
\; a\neq0.\)
Отрицательная целая степень:
\(\boxed{a^{-n}=\dfrac1{a^n}},
\; a\neq0.\)
Например: \(2^{-3}=\dfrac1{2^3}=\dfrac18,\)
\(\left(\dfrac13\right)^{-2}=3^2=9.\)
Свойства степеней
Для значений, при которых все выражения определены:
\(\boxed{a^m\cdot a^n=a^{m+n}},\)
\(\boxed{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}},
\; a\neq0,\)
\(\boxed{(a^m)^n=a^{mn}},\)
\(\boxed{a^m b^m=(ab)^m},\)
\(\boxed{\dfrac{a^m}{b^m}=\left(\dfrac ab\right)^m},
\; b\neq0.\)
Например: \(\dfrac{2^{2n-1}\cdot3^{n+1}}{6\cdot12^n} = \dfrac14.\)
При сложении степеней одинакового основания показатели складывать нельзя:
\(a^m+a^n\neq a^{m+n}.\)
Например:
\(\dfrac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}
=
\dfrac{x^{-6}(1+x^2+x^4)}{x^2(1+x^2+x^4)}
=
x^{-8},\) при \(x\neq0\).
Корень \(n\)-й степени
Выражение \(\sqrt[n]{a}\) называется корнем \(n\)-й степени из числа \(a\).
Чётный показатель корня
Если \(n\) чётно, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(a\geqslant0.\)
Сам корень также неотрицателен: \(\sqrt[n]{a}\geqslant0.\)
Например: \(\sqrt{36}=6,\) а не \(-6\) и не \(\pm6\).
Знак \(\pm\) появляется при решении уравнения \(x^2=36,\) для которого \(x=\pm6.\)
Нечётный показатель корня
Если \(n\) нечётно, подкоренное выражение может быть любым действительным числом:
\(\sqrt[3]{-8}=-2,\)
\(\sqrt[5]{-32}=-2.\)
Нечётный корень сохраняет знак подкоренного выражения.
Главная формула с модулем
Для любого действительного \(a\):
\(\boxed{\sqrt{a^2}=|a|}.\)
В общем случае:
\(\boxed{
\sqrt[n]{a^n}=
\begin{cases}
|a|, & n\text{ чётно},\\
a, & n\text{ нечётно}.
\end{cases}
}\)
Например: \(\sqrt{(-5)^2}=5,\)
\(\sqrt[4]{(x-3)^4}=|x-3|,\)
\(\sqrt[3]{(x-3)^3}=x-3.\)
Важно различать: \((\sqrt a)^2=a,\) \(a\geqslant0,\) и \(\sqrt{a^2}=|a|.\)
Произведение и частное под корнем
Для квадратных корней:
\(\boxed{\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b},
\; a\geqslant0,\; b\geqslant0,\)
\(\boxed{\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}},
\; a\geqslant0,\; b>0.\)
Условие \(ab\geqslant0\) само по себе недостаточно для разложения корня.
Например: \(\sqrt{(-1)(-1)}=1,\) но отдельные выражения \(\sqrt{-1}\) в действительных числах не определены.
Для нечётных корней ограничения на знак нет: \(\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]a\sqrt[3]b.\)
Дробный показатель степени
Пусть \(r=\dfrac mn,\) \(n>0,\) и дробь \(\dfrac mn\) сокращена.
Тогда:
\(\boxed{
a^{m/n}=
\left(\sqrt[n]a\right)^m
=
\sqrt[n]{a^m}
}\) на той области, где выражение имеет действительный смысл.
Например: \(25^{1/2}=5,\)
\(81^{1/4}=3,\)
\(8^{4/3}=(\sqrt[3]8)^4=16.\)
Чётный знаменатель показателя
Если \(n\) чётно, необходимо: \(a\geqslant0.\)
Если показатель отрицательный: \(a>0.\)
Например: \(x^{3/2}=(\sqrt x)^3,\) \(x\geqslant0,\)
\(x^{-3/2}=\dfrac1{x^{3/2}},\) \(x>0.\)
Нечётный знаменатель показателя
Если знаменатель сокращённой дроби нечётный, основание может быть отрицательным: \((-8)^{2/3} = (\sqrt[3]{-8})^2 = 4.\)
При отрицательном показателе необходимо исключить нуль: \(x^{-2/3}=\dfrac1{x^{2/3}},\) \(x\neq0.\)
Почему показатель нужно сначала сократить
Перед переходом от дробной степени к корню показатель нужно сократить.
Например: \(\dfrac26=\dfrac13,\) поэтому: \(x^{2/6}=x^{1/3}.\)
Если механически записать \(x^{2/6}=\sqrt[6]{x^2},\) то для отрицательных \(x\) область определения и значение выражения изменятся.
Поэтому порядок действий такой:
1. сократить дробный показатель;
2. определить область допустимых значений;
3. только после этого переходить к корню.
Свойства дробных степеней
Для положительных оснований свойства степеней применяются без дополнительных
оговорок:
\(a^r a^s=a^{r+s},\)
\(\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s},\)
\((a^r)^s=a^{rs},\)
\((ab)^r=a^rb^r,\)
\(\left(\dfrac ab\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r},\) где \(a>0,\) \(b>0.\)
При отрицательных основаниях механическое применение этих формул может быть
неверным. Например:
\(\left((-1)^2\right)^{1/2}=1,\)
но
\((-1)^{2\cdot1/2}=-1.\)
Важные частные случаи
\(x^{1/2}=\sqrt x,\) \(x\geqslant0,\)
\(x^{1/3}=\sqrt[3]x,\)
\(x^{2/3}=(\sqrt[3]x)^2=\sqrt[3]{x^2},\)
\(x^{3/2}=x\sqrt x,\) \(x\geqslant0,\)
\((x^2)^{1/2}=|x|,\)
\((x^2)^{3/2}=|x|^3,\)
\((x^3)^{2/3}=x^2.\)
Уравнения и неравенства с дробными степенями
Если одна дробная степень является степенью другой, удобно сделать замену.
Пример 1
Решим: \(x^{3/2}=8.\)
ОДЗ: \(x\geqslant0.\)
Пусть \(t=\sqrt x,\) \(t\geqslant0.\)
Тогда: \(t^3=8,\) \(t=2,\) поэтому:
\(\boxed{x=4}.\)
Пример 2
Решим: \(x^{2/3}=4.\)
Получаем: \((\sqrt[3]x)^2=4,\) откуда: \(\sqrt[3]x=2\) или \(\sqrt[3]x=-2.\)
Следовательно:
\(\boxed{x=-8\ \text{или}\ x=8}.\)
Пример 3
Решим: \(x^{4/3}-5x^{2/3}+4=0.\)
Пусть: \(t=x^{2/3},\) \(t\geqslant0.\)
Тогда: \(t^2-5t+4=0,\) \(t=1\) или \(t=4.\)
Получаем: \(x=\pm1\) или \(x=\pm8.\)
Ответ:
\(\boxed{x=-8,\,-1,\,1,\,8}.\)
Пример 4
Решим: \(x^{2/3}-5x^{1/3}+6\leqslant0.\)
Пусть: \(t=x^{1/3}.\)
Тогда: \(t^2-5t+6\leqslant0,\) \(2\leqslant t\leqslant3.\)
Так как функция \(t=x^{1/3}\) возрастает, из \(2\leqslant t\leqslant3\) получаем:
\(\boxed{x\in[8;27]}.\)
Типичные ошибки
• писать \(\sqrt{x^2}=x\) без условия \(x\geqslant0\);
• ставить знак \(\pm\) перед значением арифметического корня;
• забывать сокращать дробный показатель перед определением области допустимых значений;
• применять свойства дробных степеней к отрицательным основаниям без проверки;
• забывать исключать нуль при отрицательном показателе;
• считать, что уравнение \(x^{2/3}=4\) имеет только положительный корень;
• при замене \(t=x^{2/3}\) забывать условие \(t\geqslant0\).
Задачи для самостоятельной работы
Корни, модуль и область определения
1. Упростите \(\sqrt{(3x-2)^2}\).
2. Упростите \(\sqrt[4]{(x+1)^4}\).
3. Упростите \(\sqrt[3]{(2x-5)^3}\).
4. Найдите область определения \(x^{5/2}\).
5. Найдите область определения \(x^{-2/3}\).
6. Вычислите \((-8)^{2/3}\).
7. Вычислите \((-32)^{3/5}\).
8. Упростите \((x^2)^{3/2}\).
9. Упростите \((x^3)^{2/3}\).
Уравнения и неравенства
10. Решите \(\sqrt{x^2}=x+2\).
11. Решите \(\sqrt[6]{(x+1)^6}=3\).
12. Решите \(x^{3/2}=8\).
13. Решите \(x^{2/3}=4\).
14. Решите \(x^{-1/2}=\dfrac13\).
15. Решите \((x-1)^{2/3}=4\).
16. Решите \((x+2)^{3/2}=27\).
17. Решите \(x^{1/2}+x^{1/4}=6\).
18. Решите \(x^{2/3}+x^{1/3}-2=0\).
19. Решите \(x^{2/3}-5x^{1/3}+6\leqslant0\).
20. В зависимости от \(a\) определите количество действительных корней уравнения \(x^{2/3}=a\)
Ответы
1. \(|3x-2|\).
2. \(|x+1|\).
3. \(2x-5\).
4. \(x\in[0;+\infty)\).
5. \(x\neq0\).
6. \(4\).
7. \(-8\).
8. \(|x|^3\).
9. \(x^2\).
10. \(x=-1\).
11. \(x=-4\) или \(x=2\).
12. \(x=4\).
13. \(x=-8\) или \(x=8\).
14. \(x=9\).
15. \(x=-7\) или \(x=9\).
16. \(x=7\).
17. \(x=16\).
18. \(x=-8\) или \(x=1\).
19. \(x\in[8;27]\).
20. При \(a<0\) — \(0\) корней; при \(a=0\) — \(1\) корень; при \(a>0\) — \(2\) корня.