Что такое система уравнений
Система уравнений — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно при одних и тех же значениях переменных.
Например, запись
\(\begin{cases} 3x+2y=2,\\ 4x+y=6 \end{cases}\)
означает, что нужно найти такие \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют сразу обоим уравнениям.
Решение системы с двумя переменными записывают в виде пары \((x;y)\). Если решений несколько, перечисляют все пары. Если действительных решений нет, множество решений пусто.
При решении систем важно следить за тем, чтобы преобразования были равносильными. Особенно осторожно нужно делить на выражения с переменными, возводить уравнения в квадрат и заменять исходные уравнения их произведением.
1. Метод подстановки
Идея метода: выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение в остальные уравнения.
Алгоритм:
1. Выберите уравнение, из которого проще всего выразить одну переменную или удобное выражение.
2. Подставьте полученную формулу в другое уравнение.
3. Решите уравнение с одной переменной.
4. Для каждого найденного значения восстановите остальные переменные.
5. Запишите все пары решений и при необходимости проверьте их в исходной системе.
Пример 1. Линейная система
Решим систему
\(\begin{cases} 3x+2y=2,\\ 4x+y=6. \end{cases}\)
Из второго уравнения удобно выразить \(y\): \(y=6-4x\)
Подставляем в первое:
\(3x+2(6-4x)=2\)
После упрощения:
\(3x+12-8x=2,\)
\(-5x=-10,\)
\(x=2.\)
Тогда \(y=6-4\cdot2=-2.\)
Ответ: \((2;-2)\).
Пример 2. Нелинейная система
Решим систему
\(\begin{cases} x^2=7y+2,\\ x^2+2=7y+y^2. \end{cases}\)
В первом уравнении уже выражено \(x^2\), поэтому подставим \(x^2=7y+2\) во второе:
\(7y+2+2=7y+y^2\)
Отсюда:
\(y^2=4,\)
\(y=2\) или \(y=-2\)
При \(y=2\): \(x^2=7\cdot2+2=16,\) поэтому \(x=\pm4\).
При \(y=-2\): \(x^2=-12,\) что не имеет действительных решений.
Ответ: \((4;2)\), \((-4;2)\).
Пример 3. Система из трёх линейных уравнений
Решим систему
\(\begin{cases} x+y=3,\\ y+z=8,\\ x+2y+3z=23. \end{cases}\)
Из первого уравнения выразим \(x=3-y.\)
Во втором уравнении переменной \(x\) нет, поэтому подставим это выражение сразу в третье:
\(3-y+2y+3z=23\)
Получаем систему
\(\begin{cases} y+z=8,\\ y+3z=20. \end{cases}\)
Из первого уравнения \(y=8-z\)
Подставляем во второе:
\(8-z+3z=20,\)
\(2z=12,\)
\(z=6.\)
Тогда \(y=2,\) а из \(x=3-y\) получаем\(x=1.\)
Ответ: \((1;2;6)\).
2. Метод сложения
Метод сложения используют, чтобы исключить одну переменную или одно повторяющееся выражение.
Можно умножить одно или оба уравнения на ненулевые числа, а затем почленно сложить уравнения. При этом важно сохранить хотя бы одно исходное уравнение или другое равносильное ему уравнение, чтобы затем восстановить вторую переменную.
Пример 4. Линейная система
Решим систему
\(\begin{cases} x+2y=1,\\ 3x-y=-18. \end{cases}\)
Умножим второе уравнение на \(2\):
\(6x-2y=-36.\)
Складываем его с первым:
\(x+2y+6x-2y=1-36.\)
Получаем:
\(7x=-35,\)
\(x=-5.\)
Подставляем в первое уравнение:
\(-5+2y=1,\)
\(y=3\)
Ответ: \((-5;3)\).
Пример 5. Исключение выражения \(y^2\)
Решим систему
\(\begin{cases} x+y^2=2,\\ x^2+2y^2=3 \end{cases}\)
Умножим первое уравнение на \(-2\):
\(-2x-2y^2=-4\)
Складываем со вторым:
\(x^2-2x=-1.\)
Отсюда:
\(x^2-2x+1=0,\)
\((x-1)^2=0,\)
\(x=1\)
Подставляем в первое уравнение:
\(1+y^2=2,\)
\(y=\pm1.\)
Ответ: \((1;1)\), \((1;-1)\).
Полезное наблюдение
Метод сложения работает не только с линейными системами. Исключать можно одинаковые выражения: \(x^2\), \(y^2\), \(xy\), степени, дроби и другие части уравнений.
Системы из трёх линейных уравнений
Система из трёх линейных уравнений решается теми же базовыми приёмами, что и система из двух уравнений: подстановкой и сложением. Цель — сначала исключить одну переменную и получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Если подходящих противоположных коэффициентов нет, одно или несколько уравнений предварительно домножают на подходящие ненулевые числа.
Пример 6. Перед сложением нужно домножить уравнения
Решим систему
\(\begin{cases} 2x+3y-z=5,\\ x-2y+4z=9,\\ 3x+y+2z=11 \end{cases}\)
Сразу сложить два уравнения так, чтобы одна переменная исчезла, не получится. Исключим \(x\).
Умножим второе уравнение на \(2\):
\(2x-4y+8z=18\)
Вычтем из него первое уравнение:
\(-7y+9z=13\)
Теперь исключим \(x\) из первого и третьего уравнений. Умножим первое уравнение на \(3\), а третье — на \(2\):
\(6x+9y-3z=15,\)
\(6x+2y+4z=22.\)
Вычтем второе равенство из первого:
\(7y-7z=-7,\) то есть \(y-z=-1\)
Получили систему из двух уравнений:
\(\begin{cases} -7y+9z=13,\\ y-z=-1. \end{cases}\)
Из второго уравнения \(y=z-1.\)
Подставляем в первое:
\(-7(z-1)+9z=13,\)
\(2z=6,\)
\(z=3.\)
Тогда \(y=2.\)
Подставляем \(y=2\), \(z=3\), например, во второе исходное уравнение:
\(x-2\cdot2+4\cdot3=9,\)
откуда \(x=1.\)
Ответ: \((1;2;3)\).
Эту же систему можно решать подстановкой: например, из второго уравнения выразить \(x=9+2y-4z\) и подставить выражение в два оставшихся уравнения. Выбирать стоит тот способ, который даёт более короткие вычисления.
Пример 7. Как найти уравнение параболы по трём точкам
Пусть по графику известно, что парабола \(y=ax^2+bx+c\) проходит через точки \((-1;6),\; (1;2),\; (2;3).\) Нужно найти коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\).
Подставим координаты каждой точки в формулу параболы.
Для точки \((-1;6)\): \(a-b+c=6.\)
Для точки \((1;2)\): \(a+b+c=2.\)
Для точки \((2;3)\): \(4a+2b+c=3.\)
Получаем полноценную систему из трёх линейных уравнений:
\(\begin{cases} a-b+c=6,\\ a+b+c=2,\\ 4a+2b+c=3. \end{cases}\)
Вычтем первое уравнение из второго:
\(2b=-4,\)
\(b=-2.\)
Вычтем второе уравнение из третьего:
\(3a+b=1.\)
Подставляем \(b=-2\):
\(3a-2=1,\)
\(a=1.\)
Теперь подставляем \(a=1\), \(b=-2\), например, во второе исходное уравнение:
\(1-2+c=2,\)
\(c=3.\)
Следовательно,
\(\boxed{y=x^2-2x+3}.\)
Ответ: \(y=x^2-2x+3\).
Если по графику известны три точки параболы, общий алгоритм всегда один: подставить три пары координат в \(y=ax^2+bx+c\), получить систему относительно \(a\), \(b\), \(c\) и решить её обычными методами.
3. Разложение на множители и переход к случаям
Если одно из уравнений удалось привести к виду
\(F(x,y)\cdot G(x,y)=0,\)
то оно равносильно совокупности
\(F(x,y)=0\)
или
\(G(x,y)=0.\)
После этого исходная система разбивается на несколько более простых систем.
Пример 8. Простое разложение
Решим систему
\(\begin{cases} x+2y=8,\\ x^2+5x=0. \end{cases}\)
Второе уравнение раскладывается на множители: \(x(x+5)=0.\)
Значит: \(x=0\) или \(x=-5.\)
Если \(x=0\), то из первого уравнения \(2y=8\), поэтому \(y=4\).
Если \(x=-5\), то \(-5+2y=8\), поэтому \(y=\dfrac{13}{2}\).
Ответ: \((0;4)\), \(\left(-5;\dfrac{13}{2}\right)\).
Пример 9. Не забываем про область допустимых значений
Решим систему
\(\begin{cases} (x-5)(y-8)=0,\\ \dfrac{y-6}{x+y-11}=4. \end{cases}\)
Сначала фиксируем ограничение: \(x+y-11\neq0.\)
Из первого уравнения: \(x=5\) или \(y=8.\)
Случай \(x=5\):
Второе уравнение принимает вид \(\dfrac{y-6}{y-6}=4.\)
При \(y\neq6\) левая часть равна \(1\), поэтому решений нет.
При \(y=6\) дробь не определена.
Случай \(y=8\):
\(\dfrac{2}{x-3}=4.\)
Отсюда: \(2=4x-12,\) \(x=\dfrac72.\)
Ограничение выполняется.
Ответ: \(\left(\dfrac72;8\right)\).
4. Метод замены переменной (введение новых переменных)
Этот метод отличается от обычной подстановки. Мы не просто выражаем \(x\) через \(y\), а заменяем повторяющиеся или громоздкие выражения новыми переменными.
После решения системы относительно новых переменных обязательно нужно выполнить обратную замену.
Пример 10. Сдвиг переменных
Решим систему
\(\begin{cases} x+y=-8,\\ x^2+y^2+6x+2y=0. \end{cases}\)
Во втором уравнении выделим полные квадраты:
\((x+3)^2+(y+1)^2=10.\)
Введём: \(a=x+3,\) \(b=y+1.\)
Тогда
\(x=a-3,\)
\(y=b-1.\)
Первое уравнение даёт: \(a+b=-4.\)
Второе: \(a^2+b^2=10.\)
Из равенства
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
получаем:
\(16=10+2ab,\)
\(ab=3.\)
Числа \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения \(t^2+4t+3=0,\) поэтому \(a\) и \(b\) равны \(-1\) и \(-3\) в любом порядке.
Получаем две пары: \((a;b)=(-1;-3)\) и \((a;b)=(-3;-1).\)
Возвращаемся к исходным переменным: \((x;y)=(-4;-4)\) или \((x;y)=(-6;-2).\)
Ответ: \((-4;-4)\), \((-6;-2)\).
Пример 12. Замена показательного выражения
Решим систему
\(\begin{cases} 3x=y+1,\\ 7^{y-2x+2}=7\cdot7^{y-4x}+6. \end{cases}\)
Из первого уравнения: \(y=3x-1\)
Подставляем во второе:
\(7^{x+1}=7\cdot7^{-x-1}+6.\)
Введём \(t=7^{x+1}.\) Тогда \(t>0\) и \(7^{-x-1}=\dfrac1t.\)
Получаем: \(t=\dfrac7t+6.\)
Так как \(t>0\), можно умножить на \(t\): \(t^2-6t-7=0.\)
Корни: \(t=7\) и \(t=-1.\)
Значение \(t=-1\) не подходит, потому что \(t>0\).
Из \(7^{x+1}=7\) получаем \(x=0\), а затем \(y=-1\).
Ответ: \((0;-1)\).
5. Метод умножения/деления уравнений
Иногда из двух уравнений удобно получить третье, перемножив или разделив их части. Но такое преобразование требует особой осторожности.
Если мы заменяем два исходных уравнения только их произведением, информация может потеряться. Поэтому новое уравнение лучше рассматривать как следствие исходной системы, а найденные кандидаты обязательно проверять в исходных уравнениях.
При делении нужно отдельно доказать, что делитель не равен нулю.
Пример 13. Деление степенных уравнений
Решим систему
\(\begin{cases} x^5y^7=32,\\ x^7y^5=128. \end{cases}\)
Из обоих уравнений следует:
\(x\neq0,\)
\(y\neq0.\)
Делим первое уравнение на второе: \(\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac14.\)
Отсюда: \(y^2=\dfrac{x^2}{4},\) поэтому \(x=2y\) или \(x=-2y.\)
Случай \(x=2y\). Подставляем в первое уравнение:
\((2y)^5y^7=32,\)
\(32y^{12}=32,\)
\(y^{12}=1.\)
Для действительных \(y\): \(y=1\) или \(y=-1.\)
Получаем пары: \((2;1)\) и \((-2;-1)\).
Случай \(x=-2y\): \((-2y)^5y^7=32,\) \(-32y^{12}=32,\) \(y^{12}=-1,\) что невозможно для действительных \(y\).
Ответ: \((2;1)\), \((-2;-1)\).
Пример 14. Умножение уравнений
Решим систему
\(\begin{cases} 5\sqrt[3]{x^5y^2}=4(x^2+y^2),\\ 3\sqrt[3]{xy^4}=x^2-y^2. \end{cases}\)
Сначала заметим, что \((0;0)\) является решением. Далее рассмотрим случай \(x\neq0\), \(y\neq0\).
Перемножим левые и правые части уравнений. Полученное равенство является следствием исходной системы, поэтому найденные далее пары обязательно нужно проверить:
\(15\sqrt[3]{x^6y^6}=4(x^2+y^2)(x^2-y^2).\)
Так как \(\sqrt[3]{x^6y^6}=x^2y^2,\) получаем
\(15x^2y^2=4x^4-4y^4,\)
\(4x^4-15x^2y^2-4y^4=0.\)
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно \(x^2\): \(x^2=4y^2\) или \(x^2=-\dfrac14y^2.\)
Второй случай невозможен для ненулевых действительных \(x\), \(y\). Поэтому \(x=2y\) или \(x=-2y.\)
При \(x=2y\) подставляем во второе исходное уравнение:
\(3\sqrt[3]{2y^5}=3y^2.\)
После деления на \(3\) и возведения в куб: \(2y^5=y^6.\)
Так как \(y\neq0\), получаем \(y=2\), поэтому \(x=4\).
При \(x=-2y\) аналогично: \(-2y^5=y^6,\) откуда \(y=-2\), а \(x=4\).
Все три найденные пары проверяются в исходной системе.
Ответ: \((0;0)\), \((4;2)\), \((4;-2)\).
Главное правило
После умножения или деления уравнений не теряйте условия, при которых преобразование было выполнено. Если равносильность не доказана, рассматривайте полученное уравнение только как необходимое условие и проверяйте найденные пары в исходной системе.
6. Однородные системы уравнений
Многочлен называется однородным степени \(n\), если каждый его одночлен имеет суммарную степень \(n\). Например, \(2x^2-3xy+y^2\) — однородный многочлен второй степени.
В задачах часто встречаются системы, у которых левые части состоят из однородных форм одной степени, а правые части — числа. Линейной комбинацией уравнений можно устранить свободные части и получить однородное уравнение вида
\(P(x,y)=0.\)
Такое уравнение удобно раскладывать на множители или, после отдельной проверки случая \(y=0\), делить на \(y^n\) и вводить \(t=\dfrac{x}{y}.\)
Пример 15. Получаем однородное уравнение
Решим систему
\(\begin{cases} 2x^2-3xy+y^2=6,\\ 3x^2-2xy-2y^2=3. \end{cases}\)
Умножим второе уравнение на \(-2\):
\(-6x^2+4xy+4y^2=-6.\)
Складываем с первым:
\(-4x^2+xy+5y^2=0.\)
Получили однородное уравнение \(-4x^2+xy+5y^2=0.\)
Умножим его на \(-1\):
\(4x^2-xy-5y^2=0.\)
Так как уравнение однородное, удобно разделить его на \(y^2\). Но сначала необходимо проверить случай \(y=0\).
Если \(y=0\), то из уравнения \(4x^2-xy-5y^2=0\) получаем \(4x^2=0,\) откуда \(x=0\).
Однако пара \((0;0)\) не удовлетворяет исходной системе, так как правые части её уравнений равны \(6\) и \(3\).
Следовательно, для решений исходной системы \(y\neq0\), поэтому можем разделить уравнение на \(y^2\):
\(4\dfrac{x^2}{y^2}-\dfrac{x}{y}-5=0\)
Сделаем замену \(t=\dfrac{x}{y}\)
Тогда получаем квадратное уравнение \(4t^2-t-5=0\)
Разложим левую часть на множители: \((4t-5)(t+1)=0\)
Отсюда \(t=\dfrac54\) или \(t=-1\)
Возвращаемся к замене \(t=\dfrac{x}{y}\): \(\dfrac{x}{y}=\dfrac54\) или \(\dfrac{x}{y}=-1\)
Следовательно, \(x=\dfrac54y\) или \(x=-y\)
Подставляя эти два случая в исходную систему, получаем: \((-1;1)\), \((1;-1)\), \((5;4)\), \((-5;-4)\).
Ответ: \((-1;1)\), \((1;-1)\), \((5;4)\), \((-5;-4)\).
Пример 16. Ещё одна система с однородными формами
Решим систему
\(\begin{cases} (x-y)^2+4(x+y)^2=5,\\ \dfrac1{x^2-2xy+9y^2}=\dfrac19. \end{cases}\)
Из второго уравнения следует \(x^2-2xy+9y^2=9\)
Раскроем скобки в первом: \(5x^2+6xy+5y^2=5\)
Умножим первое уравнение на \(9\), а второе — на \(-5\):
\(45x^2+54xy+45y^2=45,\)
\(-5x^2+10xy-45y^2=-45\)
Складываем:
\(40x^2+64xy=0,\)
\(8x(5x+8y)=0\)
Получаем два случая.
Если \(x=0\), то из первого исходного уравнения \(5y^2=5,\) поэтому \(y=\pm1\).
Если \(5x+8y=0,\) то \(x=-\dfrac85y.\)
Подставляем в первое преобразованное уравнение:
\(\dfrac{41}{5}y^2=5,\) поэтому
\(y=\pm\dfrac5{\sqrt{41}}\)
Соответствующие значения \(x\): \(x=\mp\dfrac8{\sqrt{41}}.\)
Ответ: \((0;1)\), \((0;-1)\), \(\left(\dfrac8{\sqrt{41}};-\dfrac5{\sqrt{41}}\right)\), \(\left(-\dfrac8{\sqrt{41}};\dfrac5{\sqrt{41}}\right)\).
Важно при делении на переменную
Если вместо разложения на множители вы делите однородное уравнение на \(y^2\), сначала отдельно проверьте \(y=0\). Иначе можно потерять решения.
7. Симметрические системы уравнений
Уравнение называется симметрическим относительно \(x\) и \(y\), если после перестановки \(x\) и \(y\) оно не меняется.
Система называется симметрической, если она состоит из симметрических уравнений.
Для решения таких систем удобно вводить замену \(s=x+y,\) \(p=xy.\)
После такой замены многие симметрические выражения можно записать через \(s\) и \(p\).
Выведем основные формулы.
Для суммы квадратов имеем:
\(x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=(x+y)^2-2xy\)
Так как
\(s=x+y,\) \(p=xy,\)
получаем
\(\boxed{x^2+y^2=s^2-2p}\)
Для суммы кубов воспользуемся формулой
\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
Преобразуем выражение во второй скобке:
\(x^2-xy+y^2=x^2+2xy+y^2-3xy=(x+y)^2-3xy\)
Следовательно,
\(x^3+y^3=(x+y)\left((x+y)^2-3xy\right)\)
После замены \(s=x+y\), \(p=xy\) получаем \(\boxed{x^3+y^3=s(s^2-3p)=s^3-3sp}\)
Теперь выведем формулу для суммы четвёртых степеней. Заметим, что
\((x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4.\)
Отсюда
\(x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\)
Мы уже знаем, что \(x^2+y^2=s^2-2p,\) а \(x^2y^2=(xy)^2=p^2\)
Поэтому
\(x^4+y^4=(s^2-2p)^2-2p^2.\)
Раскрываем скобки:
\(x^4+y^4=s^4-4s^2p+4p^2-2p^2\)
Следовательно,
\(\boxed{x^4+y^4=s^4-4s^2p+2p^2}\)
После нахождения \(s\) и \(p\) исходные переменные восстанавливаются как корни квадратного уравнения \(t^2-st+p=0.\)
Если корни различны, обычно возникают две упорядоченные пары: \((x;y)\) и \((y;x)\).
Пример 17. Базовая симметрическая система
Решим систему
\(\begin{cases} x^2+y^2=20,\\ xy=8. \end{cases}\)
Вводим:
\(s=x+y,\)
\(p=xy.\)
Так как \(x^2+y^2=s^2-2p,\) получаем: \(s^2-16=20,\) \(s^2=36,\) \(s=\pm6.\)
При \(s=6\), \(p=8\): \(t^2-6t+8=0,\) откуда \(t=2\) или \(t=4\).
Получаем: \((2;4)\) и \((4;2)\).
При \(s=-6\), \(p=8\): \(t^2+6t+8=0,\) откуда \(t=-2\) или \(t=-4\).
Получаем: \((-2;-4)\) и \((-4;-2)\).
Ответ: \((2;4)\), \((4;2)\), \((-2;-4)\), \((-4;-2)\).
Пример 18. Более сложная симметрическая система
Решим систему
\(\begin{cases} x^2y+xy^2=2-2x-2y,\\ x+y+5=-xy. \end{cases}\)
Используем: \(s=x+y,\) \(p=xy.\)
Первое уравнение: \(ps=2-2s.\)
Второе: \(s+5=-p,\) то есть \(p=-s-5.\)
Подставляем: \(s(-s-5)=2-2s.\)
Получаем: \(s^2+3s+2=0,\) поэтому \(s=-1\) или \(s=-2.\)
При \(s=-1\): \(p=-4.\)
Тогда \(t^2+t-4=0,\) и \(t=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}.\)
Это даёт две пары, получаемые перестановкой корней.
При \(s=-2\): \(p=-3.\)
Тогда \(t^2+2t-3=0,\) откуда \(t=1\) или \(t=-3\).
Получаем ещё две пары: \((1;-3)\) и \((-3;1)\).
Ответ: \(\left(\dfrac{-1+\sqrt{17}}2;\dfrac{-1-\sqrt{17}}2\right)\), \(\left(\dfrac{-1-\sqrt{17}}2;\dfrac{-1+\sqrt{17}}2\right)\), \((1;-3)\), \((-3;1)\).
8. Графический метод
Каждое уравнение с двумя переменными задаёт множество точек на координатной плоскости. Решения системы — точки пересечения графиков.
Графический метод особенно полезен, когда нужно:
• понять количество решений;
• оценить расположение корней;
• увидеть симметрию;
• выбрать подходящий алгебраический способ;
• решить задачу, в которой графики пересекаются в легко читаемых точках.
Если нужен точный ответ, одного рисунка часто недостаточно. Точки, считанные с графика, нужно проверять в исходной системе, а координаты неочевидных точек лучше находить алгебраически.
Пример 19. Прямая и гипербола
Решим систему
\(\begin{cases} y=-\dfrac3x,\\ x+y=-2. \end{cases}\)
Первое уравнение задаёт гиперболу, второе — прямую \(y=-x-2.\)
Графики пересекаются в двух точках: \((-3;1)\) и \((1;-3)\)
Проверка первой пары:
\(1=-\dfrac3{-3},\)
\(-3+1=-2.\)
Проверка второй пары:
\(-3=-\dfrac31,\)
\(1-3=-2.\)
Ответ: \((-3;1)\), \((1;-3)\).
Пример 20. Прямая и парабола
Решим систему
\(\begin{cases} x^2+y=3,\\ x-y+1=0. \end{cases}\)
Первое уравнение задаёт параболу \(y=3-x^2,\) а второе — прямую \(y=x+1.\)
По графику видны две точки пересечения. Найдём их координаты точно:
\(3-x^2=x+1,\)
\(x^2+x-2=0,\)
\((x-1)(x+2)=0\)
При \(x=1\) получаем \(y=2\), а при \(x=-2\) — \(y=-1\).
Ответ: \((-2;-1)\), \((1;2)\).
Пример 21. Прямая и окружность
Решим систему
\(\begin{cases} x+y=-8,\\ x^2+y^2+6x+8y=0. \end{cases}\)
Первое уравнение задаёт прямую \(y=-x-8.\)
Во втором выделим полные квадраты: \((x+3)^2+(y+4)^2=25.\) Это окружность с центром \((-3;-4)\) и радиусом \(5\). 
Графики пересекаются в двух точках. Их точные координаты можно проверить подстановкой: \((-7;-1)\) и \((0;-8).\)
Ответ: \((-7;-1)\), \((0;-8)\).
Пример 22. График помогает выбрать нужную ветвь
Решим систему
\(\begin{cases} x^2-3xy+2y^2=0,\\ |y|x+y|x|=2. \end{cases}\)
Первое уравнение раскладывается: \((x-y)(x-2y)=0\)
Следовательно, \(x=y\) или \(x=2y.\)
Разберём второе уравнение. Если \(x\) и \(y\) имеют разные знаки, левая часть равна нулю. Если оба отрицательны, левая часть отрицательна. Поэтому решения возможны только при \(x>0\), \(y>0\), и тогда \(2xy=2,\) \(xy=1.\)
Таким образом, нужно найти точки пересечения гиперболы \(y=\dfrac1x\) в первой четверти с прямыми \(x=y\) и \(x=2y\).
Из \(x=y\): \(x^2=1,\) и с учётом первой четверти получаем \((1;1)\).
Из \(x=2y\): \(2y^2=1,\) поэтому \(y=\dfrac{\sqrt2}{2},\) \(x=\sqrt2.\)
Ответ: \((1;1)\), \(\left(\sqrt2;\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\).
Пример 23. Уравнение как система графиков
Решим уравнение
\(||x|-2|=\sqrt{4-x}.\)
Его можно представить как систему:
\(\begin{cases} y=||x|-2|,\\ y=\sqrt{4-x}. \end{cases}\)
Первый график — ломаная, второй — ветвь функции с квадратным корнем. 
Их точки пересечения имеют абсциссы \(-5,\) \(0,\) \(3.\)
Проверяем:
при \(x=-5\) обе части равны \(3\);
при \(x=0\) обе части равны \(2\);
при \(x=3\) обе части равны \(1\).
Ответ: \(-5\), \(0\), \(3\).
Как выбрать способ решения
Универсального метода, который всегда лучше остальных, нет. Обычно стоит посмотреть на структуру системы.
• Если одну переменную легко выразить через другую, удобно использовать метод подстановки.
• Если одинаковые выражения входят в уравнения с противоположными коэффициентами, часто помогает метод сложения.
• Если система содержит три линейных уравнения с тремя неизвестными, последовательно исключайте переменные методом сложения или подстановки.
• Если одно из уравнений раскладывается на множители, полезно перейти к нескольким случаям.
• Если одни и те же сложные выражения повторяются, стоит ввести новые переменные.
• Если уравнения содержат произведения или степени похожего вида, иногда полезно получить дополнительное уравнение умножением или делением.
• Если в системе встречаются однородные формы одной степени, можно получить однородное уравнение и работать с отношением переменных.
• Если система не меняется при перестановке \(x\) и \(y\), часто эффективна замена \(s=x+y\), \(p=xy\).
• Если уравнения задают знакомые графики, графический метод помогает увидеть количество решений и их расположение.
Часто в одной задаче последовательно применяются два или три метода.
Типичные ошибки
• После подстановки находят только одну переменную и забывают восстановить вторую.
• При разложении произведения на множители рассматривают только один из случаев.
• Делят на выражение с переменной, не проверив возможность его равенства нулю.
• После замены \(s=x+y\), \(p=xy\) забывают восстановить \(x\) и \(y\) из уравнения \(t^2-st+p=0\).
• При нескольких значениях новых переменных рассматривают не все их сочетания.
• Считают умножение двух уравнений автоматически равносильной заменой исходной системы.
• Теряют ограничения исходных дробей, корней и других выражений.
• Считывают приблизительные координаты с графика и записывают их как точный ответ без проверки.
• В системах над действительными числами принимают, например, уравнение \(x^2=-12\) за имеющее действительные корни.
Короткая памятка
Подстановка: удобно, когда одну переменную или выражение легко выразить через другое.
Сложение: удобно, когда можно уничтожить одну переменную или одинаковое выражение. Если коэффициенты не противоположны, сначала домножьте уравнения на подходящие числа.
Системы из трёх линейных уравнений: последовательно исключайте переменные, пока не останется система из двух уравнений; для коэффициентов параболы подставляйте точки в \(y=ax^2+bx+c\).
Разложение на множители: превращает одно уравнение в несколько случаев.
Новая переменная: помогает заменить повторяющиеся сложные выражения более простыми.
Умножение или деление: вспомогательный приём; требует контроля нулей и обязательной проверки.
Однородные формы: после исключения свободных частей часто появляется уравнение относительно \(\dfrac{x}{y}\).
Симметрические системы: используйте \(s=x+y\), \(p=xy\), затем восстановите \(x\) и \(y\).
Графический метод: помогает увидеть решения, но точные координаты нужно подтверждать.
Задачи для самопроверки
Решите системы над действительными числами. Способ выбирайте самостоятельно.
1. \(\begin{cases} x+5y=7,\\ 3x=4+2y. \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} 2x+3y=5,\\ 3x-y=-9. \end{cases}\)
3. \(\begin{cases} x-3y=11,\\ 2x+4y+8=0. \end{cases}\)
4. \(\begin{cases} 5(x+2y)=x+8,\\ 4(x-3y)=50-y. \end{cases}\)
5. \(\begin{cases} y+xy=12,\\ x+xy=15. \end{cases}\)
6. \(\begin{cases} (x-5)(y-8)=0,\\ \dfrac{y-6}{x+y-11}=4. \end{cases}\)
7. \(\begin{cases} \dfrac1{x-y}+x^2=1,\\ \dfrac{x^2}{x-y}=-2. \end{cases}\)
8. \(\begin{cases} \dfrac3{2x-y}+\dfrac1{2x+y}=\dfrac25,\\ \dfrac7{2x-y}+\dfrac2{2x+y}=\dfrac35. \end{cases}\)
9. \(\begin{cases} x^2y^3=16,\\ x^3y^2=2. \end{cases}\)
10. \(\begin{cases} x+xy^3=9,\\ xy+xy^2=6. \end{cases}\)
11. \(\begin{cases} \sqrt{\dfrac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y},\\ \sqrt{\dfrac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}. \end{cases}\)
12. \(\begin{cases} 3x^2+5xy-2y^2=20,\\ x^2+xy+y^2=7. \end{cases}\)
13. \(\begin{cases} x^2-3y^2+3xy=1,\\ 2x^2-xy+y^2=2. \end{cases}\)
14. \(\begin{cases} 2y^2-x^2+xy=0,\\ x^2-xy-y^2+3x+7y+3=0. \end{cases}\)
15. \(\begin{cases} x^2+y^2+xy=7,\\ x+y+xy=5. \end{cases}\)
16. \(\begin{cases} x^3+y^3=19,\\ (xy+8)(x+y)=2. \end{cases}\)
17. \(\begin{cases} x^4+x^2y^2+y^4=91,\\ x^2+xy+y^2=13. \end{cases}\)
18. \(\begin{cases} x+y=-5,\\ xy=4. \end{cases}\)
19. \(\begin{cases} x^2+y^2=68,\\ xy=16. \end{cases}\)
20. \(\begin{cases} x^2-xy+x-y=0,\\ x^2-y+1=0. \end{cases}\)
21. Решите уравнение \(2-x^2=\sqrt{x}\)
22. \(\begin{cases} x^2=y+4|x|-4,\\ y+3=||x|-3|. \end{cases}\)
23. \(\begin{cases} 2x+3y-z=5,\\ x-2y+4z=9,\\ 3x+y+2z=11. \end{cases}\)
24. По графику известно, что парабола \(y=ax^2+bx+c\) проходит через точки \((-1;0)\), \((1;2)\), \((2;9)\). Найдите её уравнение.
Ответы
1. \((2;1)\).
2. \((-2;3)\).
3. \((2;-3)\).
4. \((7;-2)\).
5. \((-3;-6)\), \((5;2)\).
6. \(\left(\dfrac72;8\right)\).
7. \(\left(\sqrt2;\sqrt2+1\right)\), \(\left(-\sqrt2;1-\sqrt2\right)\).
8. \((-1;3)\).
9. \(\left(\dfrac12;4\right)\).
10. \(\left(8;\dfrac12\right)\), \((1;2)\).
11. \((5;4)\).
12. \((2;1)\), \((-2;-1)\), \(\left(-\dfrac{17}{\sqrt{39}};\dfrac1{\sqrt{39}}\right)\), \(\left(\dfrac{17}{\sqrt{39}};-\dfrac1{\sqrt{39}}\right)\).
13. \((1;0)\), \((-1;0)\), \((1;1)\), \((-1;-1)\).
14. \((1;-1)\), \((3;-3)\), \(\left(-13+\sqrt{157};\dfrac{-13+\sqrt{157}}2\right)\), \(\left(-13-\sqrt{157};\dfrac{-13-\sqrt{157}}2\right)\).
15. \((1;2)\), \((2;1)\).
16. \((3;-2)\), \((-2;3)\).
17. \((1;3)\), \((3;1)\), \((-1;-3)\), \((-3;-1)\).
18. \((-4;-1)\), \((-1;-4)\).
19. \((2;8)\), \((8;2)\), \((-2;-8)\), \((-8;-2)\).
20. \((-1;2)\).
21. \(1\).
22. Решений нет.
23. \((1;2;3)\).
24. \(y=2x^2+x-1\).