Система означает, что все условия должны выполняться одновременно.
\(\left\{
\begin{array}{l}
A\\
B
\end{array}
\right.\)
Для системы нужно найти пересечение решений условий.
Совокупность означает, что достаточно выполнения хотя бы одного условия.
\(\left[
\begin{array}{l}
A\\
B
\end{array}
\right.\)
Для совокупности нужно найти объединение решений.
Коротко:
\(\boxed{
\begin{array}{c|c}
\text{система} & \text{одновременно, пересечение}\\
\text{совокупность} & \text{хотя бы одно, объединение}
\end{array}
}\)
Пересечение промежутков
Рассмотрим систему:
\(\left\{
\begin{array}{l}
x>-2,\\
x\leqslant3.
\end{array}
\right.\)
Первое условие даёт: \(x\in(-2;+\infty),\) второе: \(x\in(-\infty;3].\)
Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому берём пересечение:
\(\boxed{x\in(-2;3]}.\)
Удобно представлять оба промежутка на одной числовой прямой и оставлять только общую часть.
Объединение промежутков
Рассмотрим совокупность:
\(\left[
\begin{array}{l}
x<-2,\\
x\geqslant3.
\end{array}
\right.\)
Первая ветвь: \(x\in(-\infty;-2),\) вторая: \(x\in[3;+\infty).\)
Достаточно выполнения хотя бы одного условия, поэтому ответы объединяем:
\(\boxed{x\in(-\infty;-2)\cup[3;+\infty)}.\)
Системы и совокупности уравнений
Логика та же самая.
Например:
\(\left[
\begin{array}{l}
x^2=4,\\
|x-1|=0.
\end{array}
\right.\)
Первая ветвь даёт: \(x=-2,\) \(x=2.\)
Вторая: \(x=1.\)
Так как это совокупность, объединяем решения:
\(\boxed{x\in\{-2;1;2\}}.\)
Если бы те же уравнения были записаны системой, нужно было бы искать значения, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.
Когда возникает система
Система появляется всякий раз, когда нужно одновременно учесть несколько условий.
Например, выражения \(\sqrt{x+1}\) и \(\dfrac1{x-2}\) должны быть определены одновременно.
Получаем:
\(\left\{
\begin{array}{l}
x+1\geqslant0,\\
x-2\neq0.
\end{array}
\right.\)
То есть: \(x\geqslant-1,\) \(x\neq2.\)
Ответ: \(\boxed{x\in[-1;2)\cup(2;+\infty)}.\)
Так же объединяются условия ОДЗ, ограничения после равносильных переходов и условия отдельных частей задачи.
Когда возникает совокупность
Совокупность появляется, когда допустима любая из нескольких ветвей.
Например, произведение равно нулю: \(AB=0.\)
Это равносильно:
\(\left[
\begin{array}{l}
A=0\\
B=0.
\end{array}
\right.\)
То есть: \(A=0\) или \(B=0.\)
Аналогично: \(|A|=b,\) \(b>0,\) равносильно совокупности:
\(\left[
\begin{array}{l}
A=b\\
A=-b.
\end{array}
\right.\)
Модуль: система или совокупность
Для модуля особенно важно не перепутать два типа записи.
Если: \(|A|<b,\) \(b>0,\) получаем систему:
\(\boxed{
\left\{
\begin{array}{l}
A>-b,\\
A<b.
\end{array}
\right.
}\)
То есть: \(-b<A<b.\)
Если: \(|A|>b,\) \(b\geqslant0,\) получаем совокупность:
\(\boxed{
\left[
\begin{array}{l}
A>b,\\
A<-b.
\end{array}
\right.
}\)
Для нестрогих знаков:
\(|A|\leqslant b
\Longleftrightarrow
-b\leqslant A\leqslant b,\)
\(|A|\geqslant b
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
A\geqslant b,\\
A\leqslant-b.
\end{array}
\right.\)
при \(b\geqslant0\).
Разбиение на случаи
Иногда одну задачу удобнее решить несколькими отдельными ветвями.
Внутри каждой ветви условия выполняются одновременно, поэтому образуют систему.
Ответы разных ветвей затем объединяются.
Например, при раскрытии модуля:
\(|x|=
\begin{cases}
x, & x\geqslant0,\\
-x, & x<0.
\end{cases}\)
Первая ветвь рассматривается при условии: \(x\geqslant0,\) вторая: \(x<0.\)
Эти два случая вместе покрывают всю числовую прямую и не пересекаются.
При разбиении на случаи важно:
• не пропустить часть допустимых значений;
• не забыть условие каждой ветви;
• после решения объединить ответы всех подходящих ветвей.
Логические формулировки
Некоторые словесные формулировки сразу подсказывают нужную запись.
\(\boxed{
\begin{array}{c|c}
\text{Формулировка} & \text{Что делать}\\
\hline
\text{оба условия} & \text{система}\\
\text{одновременно} & \text{система}\\
\text{хотя бы одно} & \text{совокупность}\\
\text{одно или другое} & \text{совокупность}\\
\text{ровно одно} & \text{разбить на две ветви}\\
\text{ни одно} & \text{оба условия должны быть ложны}
\end{array}
}\)
Ровно одно условие
Пусть есть два условия \(A\) и \(B\).
Фраза «ровно одно из них истинно» означает:
\(\left[
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
A\\
\text{не }B
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
\text{не }A\\
B.
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\)
То есть либо выполняется первое и не выполняется второе, либо наоборот.
Пример: ровно одно условие
Найдём все \(x\), для которых ровно одно из условий \(x>0,\) \(x<3\) истинно.
Первая ветвь: \(\left\{ \begin{array}{l} x>0,\\ x\geqslant3. \end{array} \right.\)
Получаем: \(x\geqslant3.\)
Вторая ветвь: \(\left\{ \begin{array}{l} x\leqslant0,\\ x<3. \end{array} \right.\)
Получаем: \(x\leqslant0.\)
\(\boxed{x\leqslant0\;\text{или}\; x\geqslant3}.\)
Пересечение решения уравнения с условием
Решим систему:
\(\left\{
\begin{array}{l}
x^2-5x+6=0,\\
x>2.
\end{array}
\right.\)
Первое условие даёт: \(x=2\) или \(x=3\).
Второе условие: \(x>2\).
Для системы нужно пересечь полученные решения с этим условием.
Значение \(x=2\) не подходит, а \(x=3\) подходит.
Получаем:
\(\boxed{x=3}\).
Система неравенств
Решим:
\(\left\{
\begin{array}{l}
2x-1>0,\\
x+3\leqslant5.
\end{array}
\right.\)
Первое неравенство: \(x>\dfrac12.\)
Второе: \(x\leqslant2.\)
Пересечение:
\(\boxed{x\in\left(\dfrac12;2\right]}.\)
Система с составными условиями
Решим:
\(\left\{
\begin{array}{l}
|x|\leqslant3,\\
|x-1|>1.
\end{array}
\right.\)
Первое условие: \(-3\leqslant x\leqslant3.\)
Второе: \(\left[ \begin{array}{l} x-1>1,\\ x-1<-1. \end{array} \right.\)
То есть: \(x>2\) или \(x<0.\)
Теперь пересекаем эту совокупность с: \([-3;3].\)
Получаем:
\(\boxed{x\in[-3;0)\cup(2;3]}.\)
Здесь внутри одной задачи одновременно используются и система, и совокупность.
Общий алгоритм
1. Выписать все исходные ограничения и ОДЗ.
2. Определить, какие условия должны выполняться одновременно.
3. Определить, где достаточно выполнения одной из ветвей.
4. Решить каждое условие или каждую ветвь отдельно.
5. Для системы пересечь решения.
6. Для совокупности объединить решения.
7. Удалить повторяющиеся значения и запрещённые точки.
Типичные ошибки
• путать систему и совокупность;
• объединять ответы там, где нужно пересечение;
• пересекать ответы там, где нужно объединение;
• забывать ОДЗ одного из условий;
• терять граничную точку при разбиении на случаи;
• забывать условие ветви после раскрытия модуля;
• считать один и тот же корень несколько раз;
• неверно переводить слова «ровно одно» в математические условия.
Задачи для самостоятельной работы
Решите системы 1–6.
1. \(\left\{
\begin{array}{l}
x>-3,\\
x\leqslant2.
\end{array}
\right.\)
2. \(\left\{
\begin{array}{l}
x^2\leqslant9,\\
x>0.
\end{array}
\right.\)
3. \(\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{x-1}{x+2}>0,\\
x<3.
\end{array}
\right.\)
4. \(\left\{
\begin{array}{l}
|x|\leqslant3,\\
|x-1|>1.
\end{array}
\right.\)
5. \(\left\{
\begin{array}{l}
x^2-5x+6\leqslant0,\\
x^2-1>0.
\end{array}
\right.\)
6. Найдите все \(x\), при которых одновременно определены выражения: \(\sqrt{x+1},\) \(\dfrac1{x-2}.\)
Решите совокупности 7–10.
7. \(\left[
\begin{array}{l}
x\leqslant-1,\\
x>4.
\end{array}
\right.\)
8. \(\left[
\begin{array}{l}
x^2-1=0,\\
x-2=0.
\end{array}
\right.\)
9. \(\left[
\begin{array}{l}
\sqrt{x-2}=0,\\
\log_2x=3.
\end{array}
\right.\)
10. Найдите все \(x\), для которых хотя бы одно из условий выполняется: \(x^2<1,\) \(x\geqslant2.\)
Решите задания 11–16.
11. \(|x+2|=5.\)
12. \(|x-2|\leqslant3.\)
13. \(|2x+1|>5.\)
14. Найдите все \(x\), для которых ровно одно из условий \(x\geqslant1,\) \(x\leqslant4\) истинно.
15. Найдите все \(x\), для которых оба условия \(|x|<4,\) \(x^2\geqslant4\) выполняются одновременно.
16. Найдите все \(x\), для которых хотя бы одно из условий \(|x|\leqslant1,\) \(x>3\) выполняется.
Ответы
1. \(x\in(-3;2]\).
2. \(x\in(0;3]\).
3. \(x\in(-\infty;-2)\cup(1;3)\).
4. \(x\in[-3;0)\cup(2;3]\).
5. \(x\in[2;3]\).
6. \(x\in[-1;2)\cup(2;+\infty)\).
7. \(x\in(-\infty;-1]\cup(4;+\infty)\).
8. \(x=-1,\ 1,\ 2\).
9. \(x=2,\ 8\).
10. \(x\in(-1;1)\cup[2;+\infty)\).
11. \(x=-7,\ 3\).
12. \(x\in[-1;5]\).
13. \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\).
14. \(x<1\) или \(x>4\).
15. \(x\in(-4;-2]\cup[2;4)\).
16. \(x\in[-1;1]\cup(3;+\infty)\).