Равносильность и следствие
Два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают.
Например:
\(2x+3=7 \Longleftrightarrow x=2.\)
Знак \(\Longleftrightarrow\) означает, что переход верен в обе стороны.
Знак \(\Longrightarrow\) означает только следствие: из левой записи следует правая, но обратный переход может быть неверен.
Например: \(x=2 \Longrightarrow x^2=4,\) но из \(x^2=4\) получаем: \(x=-2\) или \(x=2.\)
Поэтому: \(x=2\not\Longleftrightarrow x^2=4.\)
Посторонние и потерянные корни
Если преобразование расширяет множество возможных решений, могут появиться посторонние корни.
Типичный пример — возведение в квадрат: \(x=-1 \Longrightarrow x^2=1.\)
Обратный переход даёт уже два значения: \(x=\pm1.\)
Если преобразование удаляет часть решений, можно потерять корень.
Например: \((x-2)(x+1)=0.\)
Если разделить обе части на \(x-2\), корень \(x=2\) будет потерян.
Поэтому перед делением, умножением на выражение с переменной и возведением в квадрат нужно отдельно проверять условия равносильности.
ОДЗ и исходные ограничения
Все преобразования выполняются на области, где исходные выражения определены.
Например: \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\) можно сократить: \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\) но только при: \(x\neq1.\)
После сокращения выражение \(x+1\) определено и при \(x=1\), однако исходная дробь в этой точке не существовала.
Основные ограничения:
\(\text{знаменатель}\neq0,\)
\(\text{подкоренное выражение чётного корня}\geqslant0,\)
\(\text{аргумент логарифма}>0.\)
Исходные ограничения сохраняются до конца решения.
Основные равносильные преобразования
Перенос слагаемых
Если все выражения определены:
\(A=B
\Longleftrightarrow
A+C=B+C.\)
Например: \(3x+5=11 \Longleftrightarrow 3x=6.\)
Умножение и деление на ненулевое число
Если: \(k\neq0,\) то:
\(A=B
\Longleftrightarrow
kA=kB.\)
Например: \(-2x=6 \Longleftrightarrow x=-3.\)
Умножение на выражение с переменной
Если заранее известно: \(C(x)\neq0,\) то:
\(A=B \Longleftrightarrow AC=BC.\)
Так обычно избавляются от знаменателей после записи ОДЗ.
Например: \(\dfrac1{x-1}=\dfrac2{x+1}.\)
ОДЗ: \(x\neq1,\) \(x\neq-1.\)
На ОДЗ выражение \((x-1)(x+1)\) не равно нулю, поэтому можно равносильно умножить обе части на него: \(x+1=2(x-1).\)
Если множитель может обратиться в нуль, умножение может добавить решения.
Деление на выражение с переменной
Деление на \(C(x)\) равносильно только при: \(C(x)\neq0.\)
Если это условие не известно, безопаснее вынести общий множитель или отдельно рассмотреть случаи:
\(C(x)=0\) и \(C(x)\neq0.\)
Например: \((x-2)(x-3)=0\) равносильно совокупности:
\(\left[
\begin{array}{l}
x-2=0,\\
x-3=0.
\end{array}
\right.\)
Отсюда: \(x=2\) или \(x=3.\)
Деление на \(x-2\) потеряло бы первый корень.
Возведение в квадрат
В общем случае: \(A=B \Longrightarrow A^2=B^2.\)
Обратный переход неверен, поскольку:
\(A^2=B^2
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
A=B,\\
A=-B.
\end{array}
\right.\)
Если обе части неотрицательны:
\(A\geqslant0,\) \(B\geqslant0,\) то: \(A=B \Longleftrightarrow
A^2=B^2.\)
То же верно, если обе части неположительны.
Уравнение с квадратным корнем
Для уравнения: \(\sqrt A=B\) правая часть должна быть неотрицательной: \(B\geqslant0.\)
После этого:
\(\boxed{
\sqrt A=B
\Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
A=B^2,\\
B\geqslant0.
\end{array}
\right.
}\)
Условие \(A\geqslant0\) отдельно записывать уже не нужно: оно следует из равенства \(A=B^2\).
Квадратный корень и модуль
Из: \(x^2=a\) нельзя писать только: \(x=\sqrt a.\)
Полная схема:
\(x^2=a \Longleftrightarrow\begin{cases}
x=\pm\sqrt a, & a>0,\\
x=0, & a=0,\\
\text{решений нет}, & a<0.
\end{cases}\)
Также:
\(\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}.\)
Нечётные степени
Функция \(y=x^{2n+1}\) возрастает на всей числовой прямой. Поэтому:
\(A=B
\Longleftrightarrow
A^{2n+1}=B^{2n+1}.\)
В частности:
\(A=B
\Longleftrightarrow
A^3=B^3.\)
Нечётная степень, в отличие от квадрата, сохраняет информацию о знаке числа.
Модуль
Из: \(A=B\) следует: \(|A|=|B|,\) но обратный переход в общем случае неверен.
Правильная схема:
\(\boxed{
|A|=|B|
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
A=B,\\
A=-B.
\end{array}
\right.
}\)
Например: \(x=2 \Longrightarrow |x|=2,\) но второе уравнение имеет ещё решение: \(x=-2.\)
Обращение обеих частей
Если: \(A\neq0,\) \(B\neq0,\) то:
\(A=B
\Longleftrightarrow
\dfrac1A=\dfrac1B.\)
Условия ненулевых значений обязательны.
Показательные уравнения
При: \(a>0,\) \(a\neq1\) имеем:
\(\boxed{
a^A=a^B
\Longleftrightarrow
A=B.
}\)
Например: \(2^{x^2-1}=2^{2x+2} \Longleftrightarrow x^2-1=2x+2.\)
Логарифмические уравнения
При: \(a>0,\) \(a\neq1,\) \(A>0,\) \(B>0\) имеем:
\(\boxed{
\log_a A=\log_a B
\Longleftrightarrow
A=B.
}\)
Условия: \(A>0,\) \(B>0\) являются частью перехода.
По определению логарифма:
\(\boxed{
\log_a A=b
\Longleftrightarrow
A=a^b,
}\) при: \(a>0,\) \(a\neq1,\) \(A>0.\)
Система и совокупность
Система:
\(\left\{
\begin{array}{l}
P\\
Q
\end{array}
\right.\)
означает, что должны одновременно выполняться оба условия.
Совокупность:
\(\left[
\begin{array}{l}
P\\
Q
\end{array}
\right.\)
означает, что достаточно выполнения хотя бы одного условия.
Например: \(|x|=3
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x=3,\\
x=-3.
\end{array}
\right.\)
Когда нужна проверка
Если каждый переход был равносильным, отдельная проверка найденных корней не нужна.
Если хотя бы один шаг был только следствием и мог добавить решения, найденные кандидаты нужно проверить в исходном уравнении.
Например: \(\sqrt{x+1}=x-1.\)
Если сразу возвести в квадрат: \(x+1=(x-1)^2,\) получим: \(x=0\) или \(x=3.\)
Но: \(x=0\) не удовлетворяет исходному уравнению.
Если заранее записать: \(x-1\geqslant0,\) то переход можно сделать равносильным:
\(\sqrt{x+1}=x-1
\Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x+1=(x-1)^2,\\
x\geqslant1.
\end{array}
\right.\)
Краткая памятка
\(\begin{array}{c|c|c}
\text{Переход}&\text{Когда равносилен}&\text{Главная опасность}\\
\hline
A=B\Longleftrightarrow A+C=B+C&\text{если выражения определены}&\text{обычно безопасен}\\
A=B\Longleftrightarrow kA=kB&k\neq0&\text{на нуль делить нельзя}\\
A=B\Longleftrightarrow AC=BC&C\neq0&\begin{array}{c}\text{при }C=0\text{ могут появиться}\\\text{лишние решения}\end{array}\\
A=B\Longleftrightarrow \dfrac A C=\dfrac B C&C\neq0&\text{можно потерять корни}\\
A=B\Longleftrightarrow A^{2n+1}=B^{2n+1}&\text{для действительных }A,B&\text{нечётная степень безопасна}\\
A=B\Longleftrightarrow A^2=B^2&\begin{array}{c}\text{если }A\text{ и }B\text{ одного}\\\text{известного знака}\end{array}&\begin{array}{c}\text{без условий могут появиться}\\\text{посторонние корни}\end{array}\\
\sqrt A=B\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=B^2,\\B\geqslant0\end{array}\right.&\text{для действительных выражений}&\text{не забыть }B\geqslant0\\
a^A=a^B\Longleftrightarrow A=B&a>0,\;a\neq1&\text{проверить основание}\\
\log_aA=\log_aB\Longleftrightarrow A=B&a>0,\;a\neq1,\;A>0,\;B>0&\text{сохранить ОДЗ}
\end{array}\)
Разобранные примеры
Пример 1. Деление, которое теряет корень
Решим: \(x(x-2)=3(x-2).\)
Переносим всё в одну часть: \((x-2)(x-3)=0.\)
Отсюда: \(x=2\) или \(x=3.\)
Если разделить исходное уравнение на \(x-2\), корень \(x=2\) будет потерян.
Пример 2. Возведение в квадрат
Решим: \(\sqrt{x+1}=x-1.\)
Необходимо: \(x\geqslant1.\)
Теперь: \(x+1=(x-1)^2.\)
Получаем: \(x^2-3x=0,\) \(x=0\) или \(x=3.\)
С учётом \(x\geqslant1\): \(\boxed{x=3}.\)
Пример 3. Скрытый модуль
Решим: \(\sqrt{x^2}=x+2.\)
Получаем: \(|x|=x+2.\)
При \(x\geqslant0\): \(x=x+2,\) решений нет.
При \(x<0\): \(-x=x+2,\) откуда: \(\boxed{x=-1}.\)
Пример 4. Сокращение и ОДЗ
Решим: \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=2.\)
ОДЗ: \(x\neq1.\)
На ОДЗ: \(x+1=2.\)
Получаем: \(x=1,\) но это значение запрещено.
Ответ: решений нет.
Пример 5. Тождество после сокращения
Решим: \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2.\)
ОДЗ: \(x\neq2.\)
На ОДЗ: \(x+2=x+2.\)
Следовательно: \(\boxed{x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)}.\)
Пример 6. Показательное уравнение
Решим: \(2^{x^2-1}=2^{2x+2}.\)
Получаем: \(x^2-1=2x+2\)
\(x^2-2x-3=0.\)
Ответ: \(\boxed{x=-1,\; x=3}.\)
Пример 7. Логарифмическое уравнение
Решим: \(\log_2(x-1)=3.\)
ОДЗ: \(x>1.\)
По определению логарифма: \(x-1=8.\)
Получаем: \(\boxed{x=9}.\)
Типичные ошибки
• ставить \(\Longleftrightarrow\) после шага, который является только следствием;
• делить на выражение, которое может обратиться в нуль;
• возводить уравнение в квадрат без контроля знаков частей;
• считать, что \(x^2=a\) даёт только \(x=\sqrt a\);
• забывать модуль в формуле \(\sqrt{x^2}=|x|\);
• после сокращения забывать исходное ОДЗ;
• при логарифмах забывать положительность аргументов;
• не проверять кандидаты после неравносильного преобразования.
Задачи для самостоятельной работы
1. Для каждой пары укажите \(\Longleftrightarrow\) или \(\Longrightarrow\) в указанном направлении:
\(\text{а) }x=2\ \ldots\ x^2=4;\)
\(\text{б) }x^2=4\ \ldots\ |x|=2;\)
\(\text{в) }\sqrt{x+1}=x-1\ \ldots\ x+1=(x-1)^2;\)
\(\text{г) }2^x=2^3\ \ldots\ x=3.\)
Решите уравнения 2–20.
2. \(5x-7=3x+9\).
3. \(x^2=16\).
4. \((x-3)(x+2)=0\), не деля на выражение с переменной.
5. \(|x-1|=4\).
6. \(x(x-2)=3(x-2)\).
7. \((x-1)^2=(x-1)(x+2)\).
8. \(\sqrt{x+1}=x-1\).
9. \(\sqrt{2x+3}=x\).
10. \(x+2=\sqrt{5x+10}\).
11. \(\sqrt{x^2}=x+2\).
12. \(\log_2(x-1)=3\).
13. \(\log_2((x-1)^2)=2\).
14. \(2^{x^2-1}=2^{2x+2}\).
15. \(\dfrac1{x-1}=\dfrac2{x+1}\).
16. \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=2\).
17. \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\).
18. \(\sqrt{(x-1)^2}=x-1\).
19. \(\log_2(x^2)=2\log_2x\), если обе части определены.
20. \(\sqrt{x+3}=x-1\).
Ответы
1. а) \(\Longrightarrow\);
б) \(\Longleftrightarrow\);
в) \(\Longrightarrow\);
г) \(\Longleftrightarrow\).
2. \(x=8\).
3. \(x=-4\) или \(x=4\).
4. \(x=-2\) или \(x=3\).
5. \(x=-3\) или \(x=5\).
6. \(x=2\) или \(x=3\).
7. \(x=1\).
8. \(x=3\).
9. \(x=3\).
10. \(x=-2\) или \(x=3\).
11. \(x=-1\).
12. \(x=9\).
13. \(x=-1\) или \(x=3\).
14. \(x=-1\) или \(x=3\).
15. \(x=3\).
16. Решений нет.
17. \(x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\).
18. \(x\geqslant1\).
19. \(x>0\).
20. \(x=\dfrac{3+\sqrt{17}}2\).