Что значит равносильность
Два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают.
Знак: \(\Longleftrightarrow\) используют только тогда, когда прямой и обратный переходы верны.
Например: \(x>2 \Longleftrightarrow x-2>0.\)
Если переход верен только в одну сторону, используют: \(\Longrightarrow.\)
В неравенствах особенно важно следить за знаком множителя и за тем, возрастает или убывает функция, применяемая к обеим частям.
ОДЗ
Как и в уравнениях, все преобразования выполняются только там, где исходные выражения определены.
Основные ограничения:
\(\text{знаменатель}\neq0,\)
\(\text{подкоренное выражение чётного корня}\geqslant0,\)
\(\text{аргумент логарифма}>0.\)
ОДЗ не исчезает после сокращения или других преобразований.
Прибавление одного выражения
К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же выражение:
\(A<B
\Longleftrightarrow
A+C<B+C,\) если все выражения определены.
Например: \(x+5<8
\Longleftrightarrow
x<3.\)
Умножение и деление на число
Если: \(k>0,\) то: \(A<B
\Longleftrightarrow
kA<kB.\)
Если: \(k<0,\) то знак меняется: \(A<B
\Longleftrightarrow
kA>kB.\)
Например: \(-2x+5\geqslant9
\Longleftrightarrow
-2x\geqslant4
\Longleftrightarrow
x\leqslant-2.\)
Множитель переменного знака
Нельзя умножать или делить неравенство на выражение \(C(x)\), если его знак неизвестен.
Например, из: \(\dfrac{x+1}{x-2}>0\) нельзя просто получить: \(x+1>0\) умножением на \(x-2\).
Причина: при: \(x>2\) множитель \(x-2\) положителен, а при: \(x<2\) отрицателен, поэтому знак неравенства изменялся бы по-разному.
В таких ситуациях обычно удобнее привести неравенство к виду: \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0\) или \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}<0\) и применить метод интервалов.
Возрастающие и убывающие функции
Если функция \(f\) возрастает на рассматриваемой области:
\(A<B
\Longleftrightarrow
f(A)<f(B).\)
Если функция \(f\) убывает:
\(A<B
\Longleftrightarrow
f(A)>f(B).\)
Именно этим объясняются переходы в показательных и логарифмических неравенствах.
Показательные неравенства
Если: \(a>1,\) то функция \(a^x\) возрастает:
\(\boxed{
a^A<a^B
\Longleftrightarrow
A<B.
}\)
Если: \(0<a<1,\) то функция \(a^x\) убывает:
\(\boxed{
a^A<a^B
\Longleftrightarrow
A>B.
}\)
Для нестрогих знаков правило аналогично.
Пример 1
Решим: \(2^{x-1}\leqslant2^{3-x}.\)
Так как: \(2>1,\) показательная функция возрастает: \(x-1\leqslant3-x.\)
Отсюда: \(2x\leqslant4,\)
\(\boxed{x\leqslant2}.\)
Логарифмические неравенства
При положительных аргументах и: \(a>1\) логарифмическая функция возрастает:
\(\boxed{
\log_a A<\log_a B
\Longleftrightarrow
A<B.
}\)
Если: \(0<a<1,\) логарифмическая функция убывает:
\(\boxed{
\log_a A<\log_a B
\Longleftrightarrow
A>B.
}\)
ОДЗ: \(A>0,\) \(B>0\) обязательно сохраняется.
Пример 2
Решим: \(\log_{1/2}(x+1)>\log_{1/2}(3-x).\)
ОДЗ: \(x+1>0,\) \(3-x>0,\) то есть: \(-1<x<3.\)
Так как: \(0<\dfrac12<1,\) логарифмическая функция убывает, поэтому знак меняется: \(x+1<3-x.\)
Получаем: \(x<1.\)
С учётом ОДЗ: \(\boxed{x\in(-1;1)}.\)
Возведение неравенства в квадрат
Переход: \(A<B
\Longrightarrow
A^2<B^2\)
в общем случае неверен.
Например: \(-3<2,\) но: \(9<4\) неверно.
Если обе части неотрицательны: \(A\geqslant0,\) \(B\geqslant0,\) то:
\(\boxed{
A<B
\Longleftrightarrow
A^2<B^2.
}\)
Для нестрогого знака:
\(A\leqslant B
\Longleftrightarrow
A^2\leqslant B^2\) при тех же условиях.
Неравенства с квадратным корнем
Корень чётной степени всегда неотрицателен. Поэтому знак второй части нужно проверять до возведения в квадрат.
Для: \(\sqrt A<B\) необходимо: \(B>0.\)
После этого:
\(\sqrt A<B
\Longleftrightarrow
A<B^2.\)
При: \(B\leqslant0\) строгое неравенство решений не имеет.
Для неравенств вида: \(\sqrt A\geqslant B\) нужно учитывать два случая:
1. Если: \(B\leqslant0,\) неравенство выполняется для всех значений из ОДЗ;
2. Если: \(B>0,\) можно равносильно возвести обе части в квадрат.
Пример 3
Решим: \(\sqrt{x+1}<x.\)
Левая часть неотрицательна, поэтому: \(x>0.\)
Теперь обе части положительны: \(x+1<x^2.\)
Получаем: \(x^2-x-1>0.\)
Корни: \(x_1=\dfrac{1-\sqrt5}{2},\) \(x_2=\dfrac{1+\sqrt5}{2}.\)
С учётом \(x>0\): \(\boxed{
x>\dfrac{1+\sqrt5}{2}
}.\)
Пример 4
Решим: \(\sqrt{3-x}\geqslant x-1.\)
ОДЗ: \(x\leqslant3.\)
Если: \(x-1\leqslant0,\) то есть: \(x\leqslant1,\) неравенство выполняется автоматически.
Если: \(x>1,\) можно возвести обе части в квадрат: \(3-x\geqslant(x-1)^2.\)
Получаем: \(x^2-x-2\leqslant0,\) \(-1\leqslant x\leqslant2.\)
С учётом \(x>1\): \(1<x\leqslant2.\)
Объединяя случаи: \(\boxed{x\leqslant2}.\)
Обращение обеих частей
Функция: \(y=\dfrac1x\) убывает отдельно на промежутках: \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty).\)
Если: \(A>0,\) \(B>0,\) то:
\(A<B
\Longleftrightarrow
\dfrac1A>\dfrac1B.\)
Если: \(A<0,\) \(B<0,\) направление также меняется:
\(A<B
\Longleftrightarrow
\dfrac1A>\dfrac1B.\)
Если знаки неизвестны или различны, механически обращать обе части нельзя.
Пример 5
Решим: \(\dfrac1{x-1}<\dfrac1{x+1}.\)
ОДЗ: \(x\neq-1,\) \(x\neq1.\)
Знаки знаменателей заранее неизвестны, поэтому переносим всё в одну часть: \(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}<0.\)
Получаем: \(\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}<0.\)
Числитель положителен, поэтому: \((x-1)(x+1)<0.\)
Отсюда: \(\boxed{x\in(-1;1)}.\)
Модуль в неравенствах
Для: \(|A|<b\) необходимо: \(b>0.\)
Тогда:
\(\boxed{
|A|<b
\Longleftrightarrow
-b<A<b.
}\)
Для: \(|A|\leqslant b\) при \(b\geqslant0\):
\(\boxed{
|A|\leqslant b
\Longleftrightarrow
-b\leqslant A\leqslant b.
}\)
Для: \(|A|>b\) при \(b\geqslant0\):
\(\boxed{
|A|>b
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
A>b,\\
A<-b.
\end{array}
\right.
}\)
Система и совокупность
Система:
\(\left\{
\begin{array}{l}
P\\
Q
\end{array}
\right.\) означает, что выполняются оба условия одновременно.
Совокупность:
\(\left[
\begin{array}{l}
P\\
Q
\end{array}
\right.\) означает, что достаточно хотя бы одного условия.
Например: \(|x|<3 \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x<3,\\
x>-3,
\end{array}
\right.\)
то есть: \(-3<x<3.\)
А: \(|x|>3 \Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x>3,\\
x<-3.
\end{array}
\right.\)
Краткая памятка
\(\begin{array}{c|c|c}
\text{Переход}&\text{Когда равносилен}&\begin{array}{c}\text{Что происходит со знаком}\end{array}\\
\hline
A<B\Longleftrightarrow A+C<B+C&\text{если выражения определены}&\text{знак сохраняется}\\
A<B\Longleftrightarrow kA<kB&k>0&\text{знак сохраняется}\\
A<B\Longleftrightarrow kA>kB&k<0&\text{знак меняется}\\
A<B\Longleftrightarrow A^2<B^2&A\geqslant0,\;B\geqslant0&\text{знак сохраняется}\\
a^A<a^B\Longleftrightarrow A<B&a>1&\text{знак сохраняется}\\
a^A<a^B\Longleftrightarrow A>B&0<a<1&\text{знак меняется}\\
\log_aA<\log_aB\Longleftrightarrow A<B&a>1,\;A>0,\;B>0&\text{знак сохраняется}\\
\log_aA<\log_aB\Longleftrightarrow A>B&0<a<1,\;A>0,\;B>0&\text{знак меняется}\\
A<B\Longleftrightarrow \dfrac1A>\dfrac1B&\begin{array}{c}A,B>0\text{ или } A,B<0\end{array}&\text{знак меняется}
\end{array}\)
Типичные ошибки
• делить или умножать на выражение неизвестного знака;
• забывать менять знак при умножении или делении на отрицательное число;
• возводить неравенство в квадрат без проверки знаков частей;
• забывать ОДЗ корней, дробей и логарифмов;
• при основании логарифма или показательной функции меньше единицы не менять направление неравенства;
• механически обращать обе части без анализа знаков;
• путать систему и совокупность.
Задачи для самостоятельной работы
1. Для каждой пары укажите \(\Longleftrightarrow\) или \(\Longrightarrow\) в указанном направлении:
\(\text{а) }x>1\ \ldots\ (x-1)^2>0;\)
\(\text{б) }x>0\ \ldots\ \dfrac1x>0;\)
\(\text{в) }A<B,\ k>0\ \ldots\ kA<kB;\)
\(\text{г) }\log_{1/2}A>\log_{1/2}B\ \ldots\ A<B,\) \(A>0,\ B>0.\)
Решите неравенства 2–12.
2. \(-2x+5\geqslant9\).
3. \((x-2)(x+1)>0\).
4. \(x^2\leqslant9\).
5. \(\sqrt{x+1}<x\).
6. \(\sqrt{3-x}\geqslant x-1\).
7. \(\dfrac1{x-1}>0\).
8. \(\dfrac1{x-1}<\dfrac1{x+1}\).
9. \(x-1<\dfrac1{x-1}\).
10. \(|x-2|\leqslant x+1\).
11. \(\log_{1/2}(x+1)>\log_{1/2}(3-x)\).
12. \(2^{x-1}\leqslant2^{3-x}\).
Ответы
1. а) \(\Longrightarrow\);
б) \(\Longleftrightarrow\);
в) \(\Longleftrightarrow\);
г) \(\Longleftrightarrow\).
2. \(x\leqslant-2\).
3. \(x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\).
4. \(x\in[-3;3]\).
5. \(x>\dfrac{1+\sqrt5}{2}\).
6. \(x\leqslant2\).
7. \(x>1\).
8. \(x\in(-1;1)\).
9. \(x\in(-\infty;0)\cup(1;2)\).
10. \(x\in\left[\dfrac12;+\infty\right)\).
11. \(x\in(-1;1)\).
12. \(x\leqslant2\).