Что показывает производная
Производная \(f'(x)\) описывает, как меняется функция \(f(x)\) в данной точке.
Для задач по графикам важны два смысла производной.
Знак производной
- Если на некотором промежутке \(f'(x)>0,\) то функция \(f(x)\) возрастает на этом промежутке.
- Если \(f'(x)<0,\) то функция \(f(x)\) убывает.
- Если \(f'(x)=0,\) касательная к графику функции в этой точке горизонтальна.
Однако из одногоравенства \(f'(x)=0\) ещё не следует, что в точке есть максимум или минимум.
Геометрический смысл
Производная в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной:
\(\boxed{f'(x_0)=k},\)
где \(k\) — коэффициент при \(x\) в уравнении касательной \(y=kx+b.\)
Если касательная проходит через две удобные точки \((x_1;y_1),\) \((x_2;y_2),\) то её угловой коэффициент можно найти по формуле
\(\boxed{
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
}.\)
Следовательно,
\(f'(x_0)=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\)
Возрастание и убывание по графику производной
Если дан график \(y=f'(x)\), нужно смотреть не на то, возрастает или убывает сам график производной, а на то, находится ли он выше или ниже оси \(Ox\).
• График \(f'(x)\) выше оси \(Ox\) \(\Rightarrow f'(x)>0\) \(\Rightarrow f(x)\) возрастает.
• График \(f'(x)\) ниже оси \(Ox\) \(\Rightarrow f'(x)<0\) \(\Rightarrow f(x)\) убывает.
Это одна из самых частых ошибок: направление движения графика \(f'(x)\) само по себе ничего не говорит о возрастании функции \(f(x)\).
Экстремумы функции
Точка \(x_0\) является точкой максимума функции, если при переходе через неё
производная меняет знак \(+\ \longrightarrow\ -.\)
Точка \(x_0\) является точкой минимума, если производная меняет знак \(-\ \longrightarrow\ +.\)
Удобная схема:
\(\boxed{
\begin{array}{c|c}
\text{знак }f'(x) & \text{поведение }f(x)\\
\hline
+ & \text{возрастает}\\
- & \text{убывает}\\
+\to- & \text{максимум}\\
-\to+ & \text{минимум}
\end{array}
}\)
Если \(f'(x_0)=0\), но знак производной не меняется, экстремума нет.
Например, у функции \(f(x)=x^3\) имеем \(f'(x)=3x^2.\)
Производная равна нулю при \(x=0\), но с обеих сторон остаётся положительной, поэтому \(x=0\) не является точкой экстремума.
Как работать с графиком производной
Алгоритм:
1. Найти точки пересечения графика \(f'(x)\) с осью \(Ox\).
2. Разбить нужный промежуток этими точками.
3. Определить знак \(f'(x)\) на каждом промежутке.
4. По знаку производной определить возрастание и убывание \(f(x)\).
5. Для экстремумов проверить именно смену знака производной.
Пример 1. Экстремумы по графику производной
На рисунке изображён график производной \(f'(x)\).
Нули производной: \(x=-4,\) \(x=-2,\) \(x=1,\) \(x=4.\)
Определяем знаки: \(\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-4) & (-4;-2) & (-2;1) & (1;4) & (4;+\infty)\\ \hline f'(x) & + & - & + & - & + \end{array}\)
Следовательно:
• \(x=-4\) — точка максимума;
• \(x=-2\) — точка минимума;
• \(x=1\) — точка максимума;
• \(x=4\) — точка минимума.
Всего у функции четыре точки экстремума.
Как работать с графиком самой функции
Если дан график \(y=f(x)\), то:
• функция возрастает там, где график идёт вверх при движении слева направо;
• функция убывает там, где график идёт вниз;
• локальная вершина графика соответствует точке максимума;
• локальная впадина соответствует точке минимума.
В гладкой точке максимума или минимума обычно \(f'(x_0)=0,\) то есть касательная горизонтальна.
Пример 2. Монотонность по графику функции
По графику видно:
• функция возрастает примерно на \((-4;-3)\), \((-1;2)\);
• функция убывает примерно на \((-3;-1)\), \((2;4)\);
• около \(x=-3\) и \(x=2\) находятся точки максимума;
• около \(x=-1\) находится точка минимума.
В задачах ЕГЭ координаты экстремумов обычно считываются по размеченной сетке точно.
Производная и касательная
Если в точке \(x_0\) к графику функции проведена касательная, то \(f'(x_0)\) равна угловому коэффициенту этой прямой.
Пример 3. Производная по касательной
К графику функции в точке \(x_0=1\) проведена касательная. На ней отмечены точки \((0;1)\) и \((2;5)\).
Угловой коэффициент касательной: \(k=\dfrac{5-1}{2-0}=2.\)
Следовательно,
\(\boxed{f'(1)=2}.\)
Параллельность касательных
Прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) параллельны тогда и только тогда, когда \(k_1=k_2.\)
Поэтому если требуется найти точки графика функции, в которых касательная параллельна прямой \(y=kx+b,\) нужно решить
\(\boxed{f'(x)=k}.\)
Если дан именно график производной \(f'(x)\), задача сводится к поиску точек пересечения этого графика с горизонтальной прямой \(y=k.\)
Пример 4. Сколько касательных параллельно заданной прямой
На рисунке дан график \(f'(x)\). Нужно определить количество точек, в которых касательная к графику \(f(x)\) параллельна прямой \(y=2x-5.\)
У заданной прямой угловой коэффициент равен \(2\). Поэтому ищем решения уравнения \(f'(x)=2.\)
На рисунке горизонтальная прямая \(y=2\) пересекает график производной в трёх точках.
Ответ: \(3\).
Какие формулировки встречаются в задачах
Найти количество точек максимума или минимума
По графику \(f'(x)\) нужно найти нули производной и проверить смену знака.
\(+\to- \Rightarrow \text{максимум},\)
\(-\to+ \Rightarrow \text{минимум}.\)
Найти промежуток возрастания или убывания
Для графика производной:
\(f'(x)>0 \Rightarrow f(x)\text{ возрастает},\)
\(f'(x)<0 \Rightarrow f(x)\text{ убывает}.\)
Найти значение производной в точке
Если дана касательная, нужно найти её угловой коэффициент: \(f'(x_0)=k.\)
Найти количество касательных, параллельных прямой
Для прямой \(y=kx+b\) нужно найти количество решений \(f'(x)=k.\)
Типичные ошибки
• смотреть на возрастание или убывание графика \(f'(x)\), а не на его знак;
• считать любой нуль производной точкой экстремума;
• путать точку максимума \(x_0\) и значение функции \(f(x_0)\);
• при поиске касательной использовать значение \(b\), хотя важен коэффициент \(k\);
• считать угловой коэффициент как \(\dfrac{\Delta x}{\Delta y}\) вместо \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\);
• забывать, что при \(f'(x_0)=0\) экстремума может не быть.
Задачи для самостоятельной работы
По знакам производной
1. Производная положительна на \((-5;-2)\cup(3;7)\) и отрицательна на \((-2;3)\). Укажите промежутки возрастания функции.
2. В точке \(x=-2\) производная меняет знак с плюса на минус. Какая это точка для функции?
3. В точке \(x=4\) производная меняет знак с минуса на плюс. Какая это точка для функции?
4. Производная обращается в нуль при \(x=-3,0,2\), причём её знаки последовательно равны \(+,+,-,+\). Сколько у функции точек экстремума?
5. Производная обращается в нуль при \(x=1\), но положительна и слева, и справа от этой точки. Является ли \(x=1\) точкой экстремума?
Касательная
6. Касательная проходит через точки \((1;2)\) и \((4;8)\). Найдите производную функции в точке касания.
7. Касательная проходит через точки \((-2;5)\) и \((2;-3)\). Найдите производную в точке касания.
8. В какой связи находятся \(f'(x_0)\) и коэффициент \(k\), если касательная в точке \(x_0\) имеет вид \(y=kx+b\)?
9. Касательная параллельна прямой \(y=-3x+7\). Чему равна производная функции в точке касания?
По графику производной
10. Сколько у функции точек максимума?
11. Сколько у функции точек минимума?
12. Укажите абсциссы точек максимума.
13. Укажите абсциссы точек минимума.
14. На каком из промежутков \((-4;-2)\), \((-2;1)\), \((1;4)\) функция возрастает?
Ответы
1. \((-5;-2)\cup(3;7)\).
2. Точка максимума.
3. Точка минимума.
4. \(2\).
5. Нет.
6. \(2\).
7. \(-2\).
8. \(f'(x_0)=k\).
9. \(-3\).
10. \(2\).
11. \(2\).
12. \(x=-4\), \(x=1\).
13. \(x=-2\), \(x=4\).
14. \((-2;1)\).