Таблица производных
\(c'=0, c=const\)
\((x^n)'=nx^{n-1}\)
\((e^x)'=e^x\)
\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\)
\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(tg x= \dfrac{1}{\cos^2 x}\)
Производная произведения
\((u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\)
Производная отношения
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
Производная сложной функции. Примеры
1. \((e^{x^2+3})'=e^{x^2+3}\cdot (x^2+3)'=e^{x^2+3}\cdot 2x\).
2. \(\bigl(\ln (x+3)^9\bigr)'=\)
\(\dfrac{1}{(x+3)^9}\cdot ((x+3)^9)'=\)
\(\dfrac{1}{(x+3)^9}\cdot 9(x+3)^8\cdot (x+3)'=\)
\(\dfrac{1}{(x+3)^9}\cdot 9(x+3)^8\cdot 1=\)
\(\dfrac{9}{x+3}\).
3. \(\bigl((x^2+3x-7)e^{3-x}\bigr)'=\)
\((x^2+3x-7)'\cdot e^{3-x}+(x^2+3x-7)\cdot(e^{3-x})'=\)
\((2x+3)\cdot e^{3-x}+(x^2+3x-7)\cdot e^{3-x}\cdot(3-x)'=\)
\((2x+3)\cdot e^{3-x}+(x^2+3x-7)\cdot e^{3-x}\cdot(-1)=\)
\(e^{3-x}(2x+3-x^2-3x+7)=\)
\(e^{3-x}(-x^2-x+10)\).