Короткая памятка
В этой статье используются основные свойства:
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,\) \(a\geqslant0,\) \(b\geqslant0,\)
\(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b},\) \(a\geqslant0,\) \(b>0,\)
\(\sqrt{a^2}=|a|,\)
\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) на области, где соответствующая дробная степень определена.
Объединение корней
Если все участвующие квадратные корни определены, произведение и частное можно объединять под один знак корня.
Пример 1
\(\dfrac{\sqrt{2{,}8}\cdot\sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}
=
\sqrt{\dfrac{2{,}8\cdot4{,}2}{0{,}24}}
=
7.\)
Пример 2
\(\dfrac{(2\sqrt7)^2}{14}
=
\dfrac{4\cdot7}{14}
=
2.\)
Вынесение множителя из-под корня
Для квадратного корня:
\(\boxed{\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b},
\; b\geqslant0.\)
Например: \(\sqrt{12x^2}=2|x|\sqrt3.\)
Если из условий известно, что \(x\geqslant0\), то: \(\sqrt{18x^3}
=
\sqrt{9x^2\cdot2x}
=
3x\sqrt{2x}.\)
Для нечётного корня модуль не появляется: \(\sqrt[3]{a^3b}=a\sqrt[3]b.\)
Внесение множителя под корень
Если \(a\geqslant0,\) \(b\geqslant0,\) то:
\(\boxed{a\sqrt b=\sqrt{a^2b}}.\)
Например: \(3\sqrt2=\sqrt{18}.\)
Отрицательный множитель нельзя просто внести под квадратный корень:
\(-3\sqrt2=-\sqrt{18},\) но \(-3\sqrt2\neq\sqrt{18}.\)
Переход от корней к степеням
При корнях разных степеней часто удобнее перейти к дробным показателям.
Пример 3
\(\dfrac{\sqrt[9]7\cdot\sqrt[18]7}{\sqrt[6]7}
=
7^{1/9+1/18-1/6}
=
7^0
=
1.\)
Пример 4
\(\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]3}}\cdot\sqrt[3]3.\)
Последовательно преобразуем корни в степени:
\(\sqrt[3]3=3^{1/3},\)
\(\sqrt[4]{3\sqrt[3]3}
=
\sqrt[4]{3^{4/3}}
=
3^{1/3},\)
\(\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]3}}
=
\sqrt{3^{4/3}}
=
3^{2/3}.\)
Поэтому: \(3^{2/3}\cdot3^{1/3}=3.\)
Рационализация знаменателя
Если в знаменателе стоит один корень:
\(\dfrac a{\sqrt b}
=
\dfrac{a\sqrt b}{b},\) \(b>0.\)
Например: \(\dfrac2{\sqrt{27}}
=
\dfrac2{3\sqrt3}
=
\dfrac{2\sqrt3}{9}.\)
Сопряжённые выражения
Если в знаменателе стоит сумма или разность с корнем, используют сопряжённое выражение.
Например: \(\dfrac{12}{\sqrt3+\sqrt6}.\)
Домножаем на \(\sqrt6-\sqrt3\):
\(\dfrac{12(\sqrt6-\sqrt3)}
{(\sqrt3+\sqrt6)(\sqrt6-\sqrt3)}
=
\dfrac{12(\sqrt6-\sqrt3)}{3}
=
4(\sqrt6-\sqrt3).\)
Пример 5
\(\dfrac{5+3\sqrt3}{\sqrt3+2}.\)
Домножаем на \(2-\sqrt3\):
\(\dfrac{(5+3\sqrt3)(2-\sqrt3)}
{(\sqrt3+2)(2-\sqrt3)}
=
1+\sqrt3.\)
Упрощение суммы корней
При одинаковых радикалах сначала выносим полный квадрат из-под корня.
Пример 6
\(\dfrac{21\sqrt7}{\sqrt{147}+\sqrt{63}-7\sqrt3}.\)
Имеем: \(\sqrt{147}=7\sqrt3,\) \(\sqrt{63}=3\sqrt7.\)
Знаменатель: \(7\sqrt3+3\sqrt7-7\sqrt3=3\sqrt7.\)
Следовательно: \(\dfrac{21\sqrt7}{3\sqrt7}=7.\)
Полный квадрат под корнем
Если под корнем стоит выражение вида \(a\pm b\sqrt c,\) полезно проверить, не является ли оно полным квадратом.
Пример 7
\(\sqrt{11-4\sqrt7}+\sqrt{11+4\sqrt7}.\)
Сначала попробуем представить подкоренные выражения как квадраты двучленов. Для выражения \(11-4\sqrt7\) нужно подобрать два числа, квадраты которых в сумме дают \(11\), а удвоенное произведение равно \(4\sqrt7\).
Подходят \(2\) и \(\sqrt7\), потому что \(2^2+(\sqrt7)^2=4+7=11\) и \(2\cdot2\cdot\sqrt7=4\sqrt7.\)
Значит, \(11-4\sqrt7 = 2^2-2\cdot2\cdot\sqrt7+(\sqrt7)^2 =
(2-\sqrt7)^2.\)
Поэтому: \(\sqrt{11-4\sqrt7} = |2-\sqrt7|.\)
Так как \(\sqrt7>2\), имеем \(2-\sqrt7<0\), следовательно: \(|2-\sqrt7|=\sqrt7-2.\)
Для второго выражения используются те же два слагаемых, но знак между ними положительный: \(11+4\sqrt7 = 2^2+2\cdot2\cdot\sqrt7+(\sqrt7)^2 = (2+\sqrt7)^2.\)
Так как \(2+\sqrt7>0\):
\(\sqrt{11+4\sqrt7}
=
|2+\sqrt7|
=
2+\sqrt7.\)
Итак: \(\boxed{2\sqrt7}.\)
Пример 8
\(\sqrt{19-8\sqrt3}.\)
Ищем представление в виде \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)
Здесь удобно взять \(a=4\) и \(b=\sqrt3\), потому что: \(4^2+(\sqrt3)^2=16+3=19\) и \(2\cdot4\cdot\sqrt3=8\sqrt3.\)
Поэтому: \(19-8\sqrt3 = 4^2-2\cdot4\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2 = (4-\sqrt3)^2.\)
Следовательно: \(\sqrt{19-8\sqrt3} = |4-\sqrt3|.\)
Так как \(4-\sqrt3>0\): \(\boxed{\sqrt{19-8\sqrt3}=4-\sqrt3}.\)
Модуль после извлечения корня
Пример 9
Вычислим: \((x-3)\sqrt{\dfrac1{x^2-6x+9}},\) \(x<3.\)
Так как: \(x^2-6x+9=(x-3)^2,\) то: \(\sqrt{\dfrac1{(x-3)^2}} = \dfrac1{|x-3|}.\)
При \(x<3\): \(|x-3|=3-x=-(x-3).\)
Следовательно: \(\boxed{-1}.\)
Сравнение выражений
Пример 10
Сравним: \(\sqrt{140}\) и \(\dfrac1{7+4\sqrt3}+\dfrac1{7-4\sqrt3}.\)
Сначала упростим второе выражение. Приводим дроби к общему знаменателю: \(\dfrac{1}{7+4\sqrt3}+\dfrac{1}{7-4\sqrt3}
=
\dfrac{7-4\sqrt3+7+4\sqrt3}
{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)}.\)
В числителе корни сокращаются: \(7-4\sqrt3+7+4\sqrt3=14.\)
В знаменателе используем разность квадратов:
\((7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)
=
7^2-(4\sqrt3)^2
=
49-16\cdot3
=
1.\)
Поэтому второе выражение равно: \(14.\)
Теперь сравниваем \(\sqrt{140}\) и \(14\). Оба числа неотрицательны, поэтому можно сравнить их квадраты: \(140<14^2=196.\)
Следовательно: \(\sqrt{140}<14,\) то есть первое выражение меньше второго.
Типичные ошибки
• выносить \(x\) из \(\sqrt{x^2}\) без модуля;
• объединять квадратные корни, не проверив, что отдельные корни определены;
• вносить отрицательный множитель под квадратный корень без знака минус;
• при рационализации умножать только знаменатель, а не всю дробь;
• ошибаться со знаком в сопряжённом выражении;
• после выделения полного квадрата забывать формулу \(\sqrt{A^2}=|A|\).
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите или упростите:
1. \(\dfrac{\sqrt{2{,}8}\cdot\sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}\).
2. \(\dfrac{(2\sqrt7)^2}{14}\).
3. \(\dfrac{\sqrt[9]7\cdot\sqrt[18]7}{\sqrt[6]7}\).
4. \((\sqrt{48}-\sqrt3)\sqrt{12}\).
5. \(\sqrt{\sqrt{39}\cdot\sqrt{117}\cdot\sqrt{507}}\).
6. \(\dfrac{\sqrt m}{\sqrt[42]m\cdot\sqrt[7]m}\), если \(m=27\).
7. \(\dfrac{\sqrt{25\sqrt[5]b}}{\sqrt[10]b}\), если \(b>0\).
8. \(\dfrac{3\sqrt{x^2y}-x\sqrt{25y}}{\sqrt{64x^4y^3}}\), если \(x<0\) и выражение определено.
9. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac2{\sqrt{27}}\).
10. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac6{1+\sqrt3}\).
11. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac{33}{7-3\sqrt3}\).
12. Упростите \(\sqrt{19-8\sqrt3}\).
13. Вычислите \(\sqrt{(\sqrt3-1)^2}+\sqrt{(\sqrt3-2)^2}\).
14. Вычислите \(\sqrt{(2-\sqrt5)^2}+\sqrt{(3-\sqrt5)^2}\).
15. Вычислите \((\sqrt3-2)\sqrt{7+4\sqrt3}\).
16. Вычислите \(\sqrt{(2-x)^2}+\sqrt{(6-x)^2}\), если \(3\leqslant x\leqslant5\).
17. Избавьтесь от иррациональности: \(\dfrac3{\sqrt5-1}\).
18. Вынесите множитель из-под корня: \(\sqrt{18x^3}\).
Ответы
1. \(7\).
2. \(2\).
3. \(1\).
4. \(18\).
5. \(39\).
6. \(3\).
7. \(5\).
8. \(-\dfrac1{xy}\).
9. \(\dfrac{2\sqrt3}{9}\).
10. \(3(\sqrt3-1)\).
11. \(\dfrac{3(7+3\sqrt3)}2\).
12. \(4-\sqrt3\).
13. \(1\).
14. \(1\).
15. \(-1\).
16. \(4\).
17. \(\dfrac{3(\sqrt5+1)}4\).
18. \(3x\sqrt{2x}\), при \(x\geqslant0\).