1. Что такое модуль
Модуль числа — одна из тех тем, которые сначала выглядят как новое обозначение, а затем начинают встречаться почти во всех разделах алгебры: в уравнениях, неравенствах, функциях, геометрических задачах на числовой прямой и задачах с параметрами.
Главная идея очень простая: модуль показывает величину числа без учёта его знака.
Например, \(\left|5\right|=5,\; \left|-5\right|=5,\; \left|0\right|=0.\)
Числа \(5\) и \(-5\) имеют разные знаки, но одинаково удалены от нуля. Поэтому их модули равны.
Важно: модуль числа всегда неотрицателен. Нельзя писать \(\left|-5\right|=-5.\)
Верно: \(\left|-5\right|=5.\)
1.1. Алгебраическое определение
Для любого действительного числа \(x\) модуль определяется так:
\(\left|x\right|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}\)
Это определение нужно понимать буквально.
Если число внутри модуля неотрицательно, модуль ничего не меняет. Если число отрицательно, перед ним появляется минус, и результат становится положительным.
Пример 1.
Вычислим \(\left|7\right|=7,\) потому что \(7>0\).
Пример 2.
Вычислим \(\left|-7\right|=-(-7)=7,\) потому что \(-7<0\).
Пример 3.
Если известно, что \(x<3\), упростим \(\left|x-3\right|.\)
При \(x<3\) имеем \(x-3<0\), поэтому \(\left|x-3\right|=-(x-3)=3-x.\)
Если бы было известно, что \(x\ge 3\), то \(\left|x-3\right|=x-3.\)
2. Геометрический смысл модуля
Алгебраическое определение удобно для преобразований, а геометрический смысл часто позволяет понять задачу почти без вычислений.
2.1. Расстояние от числа до нуля
На числовой прямой \(\left|x\right|\) — это расстояние от точки \(x\) до точки \(0\).
Например, \(\left|-4\right|=4,\) потому что расстояние от \(-4\) до \(0\) равно \(4\).
Именно поэтому \(\left|x\right|\ge 0\) для любого \(x\): расстояние не может быть отрицательным.
2.2. Расстояние между двумя точками
Расстояние между числами \(x\) и \(a\) на числовой прямой равно \(\left|x-a\right|.\)
Например, расстояние между \(-2\) и \(5\) равно \(\left|-2-5\right|=\left|-7\right|=7.\)
Это даёт очень полезную интерпретацию: \(\left|x-a\right|=b\) означает, что точка \(x\) находится на расстоянии \(b\) от точки \(a\).
Пример 4.
Решим уравнение \(\left|x-3\right|=5.\)
Нужно найти точки, находящиеся на расстоянии \(5\) от числа \(3\). Таких точек две: \(x=3-5=-2,\; x=3+5=8.\)
Ответ: \(-2\), \(8\).
Пример 5.
Решим неравенство \(\left|x+2\right|<4.\)
Это означает, что расстояние от \(x\) до \(-2\) меньше \(4\). Поэтому \(x\) должен лежать внутри интервала с центром \(-2\) и радиусом \(4\): \(-6<x<2.\)
Ответ: \(x\in(-6;2).\)
3. Основные свойства модуля
Для действительных \(x\) и \(y\) верны свойства:
\(\left|x\right|\ge 0,\)
\(\left|x\right|=0 \Longleftrightarrow x=0,\)
\(\left|-x\right|=\left|x\right|,\)
\(\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|,\)
\(\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{\left|x\right|}{\left|y\right|},\; y\ne0,\)
\(\left|x\right|^2=x^2,\)
\(\sqrt{x^2}=\left|x\right|.\)
Последняя формула особенно важна. В общем случае нельзя писать \(\sqrt{x^2}=x,\) потому что при отрицательном \(x\) правая часть отрицательна, а арифметический квадратный корень неотрицателен.
Например, \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=\left|-5\right|.\)
Ещё одно важное свойство — неравенство треугольника: \(\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|.\)
Геометрически оно говорит: прямой путь между двумя точками не длиннее пути с промежуточной остановкой.
4. Как раскрывать модуль
Чтобы раскрыть модуль выражения, нужно понять, где выражение внутри него положительно, равно нулю или отрицательно.
Рассмотрим \(\left|2x-6\right|.\)
Выражение \(2x-6\) обращается в нуль при \(2x-6=0 \Longrightarrow x=3.\)
Поэтому: \(\left|2x-6\right|=\begin{cases} -(2x-6)=6-2x, & x<3,\\ 2x-6, & x\ge3. \end{cases}\)
Точка \(x=3\) называется критической точкой для этого модуля: при переходе через неё знак выражения внутри модуля меняется.
Если модулей несколько, нужно найти нули всех выражений под модулями и разбить числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке знаки всех выражений фиксированы, поэтому модули можно раскрыть.
5. График функции \(y=\left|x\right|\)
График функции \(y=\left|x\right|\) состоит из двух лучей:
\(y=x\; \text{при }x\ge0,\)
\(y=-x\; \text{при }x<0.\)
Он имеет вершину в начале координат и симметричен относительно оси \(Oy\).
Полезно понимать и более общий принцип. Чтобы построить график \(y=\left|f(x)\right|,\) часть графика \(y=f(x)\), лежащая выше оси \(Ox\), оставляют на месте, а часть ниже оси \(Ox\) отражают вверх относительно этой оси.
Именно поэтому уравнение \(\left|f(x)\right|=a,\; a>0,\) обычно распадается на два уравнения: \(f(x)=a\) и \(f(x)=-a\).
6. Простейшие уравнения с модулем
6.1. Уравнение \(\left|x\right|=a\)
Здесь возможны три случая.
- Если \(a<0\), решений нет, потому что модуль не бывает отрицательным.
- Если \(a=0\), то \(\left|x\right|=0 \Longleftrightarrow x=0.\)
- Если \(a>0\), то \(\left|x\right|=a \Longleftrightarrow \begin{cases} x=a,\\ x=-a. \end{cases}\)
Пример 6.
\(\left|x\right|=7\) даёт \(x=7\;\text{или}\; x=-7.\)
6.2. Уравнение \(\left|f(x)\right|=a\)
При \(a>0\): \(\left|f(x)\right|=a \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=a,\\ f(x)=-a. \end{array} \right.\)
Пример 7.
Решим \(\left|2x-3\right|=5.\)
Получаем совокупность: \(\left[ \begin{array}{l} 2x-3=5,\\ 2x-3=-5. \end{array} \right.\)
Отсюда \(x=4\;\text{или}\; x=-1.\)
Ответ: \(-1\), \(4\).
Пример 8.
Решим \(\left|x^2-5x+6\right|=0.\)
Модуль равен нулю только тогда, когда выражение внутри него равно нулю: \(x^2-5x+6=0.\)
Разложим на множители: \((x-2)(x-3)=0.\)
Ответ: \(2\), \(3\).
7. Равенство двух модулей
Так как два числа имеют одинаковые модули тогда и только тогда, когда они равны или противоположны,
\(\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|\)
равносильно совокупности
\(\left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x). \end{array} \right.\)
Пример 9.
Решим \(\left|2x-1\right|=\left|x+3\right|.\)
Получаем: \(\left[ \begin{array}{l} 2x-1=x+3,\\ 2x-1=-(x+3). \end{array} \right.\)
Из первого уравнения \(x=4\). Из второго: \(3x=-2,\) поэтому \(x=-\dfrac23.\)
Ответ: \(4\), \(-\dfrac23\).
8. Уравнение \(\left|f(x)\right|=g(x)\)
Здесь правая часть уже зависит от \(x\), поэтому нельзя просто написать \(f(x)=\pm g(x)\) и забыть о знаке правой части.
Так как модуль неотрицателен, обязательно должно выполняться \(g(x)\ge0.\)
Поэтому \(\left|f(x)\right|=g(x)\) равносильно системе с совокупностью:
\(\begin{cases} g(x)\ge0,\\ \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x). \end{array} \right. \end{cases}\)
Пример 10.
Решим \(\left|x+1\right|=2x-1.\)
Сначала правая часть должна быть неотрицательной: \(2x-1\ge0 \Longrightarrow x\ge\dfrac12.\)
Теперь рассматриваем две ветви:
\(x+1=2x-1 \Longrightarrow x=2,\)
\(x+1=-(2x-1) \Longrightarrow 3x=0 \Longrightarrow x=0.\)
Значение \(x=0\) не удовлетворяет условию \(x\ge\dfrac12\) и не подходит.
Ответ: \(2\).
Пример 11.
Решим \(\left|x^2-1\right|=x+1.\)
Необходимо \(x+1\ge0 \Longrightarrow x\ge-1.\)
Далее: \(\left[ \begin{array}{l} x^2-1=x+1,\\ x^2-1=-(x+1). \end{array} \right.\)
Первое уравнение: \(x^2-x-2=0,\) откуда \(x=-1\) или \(x=2\).
Второе: \(x^2+x=0,\) откуда \(x=-1\) или \(x=0\).
Все три значения удовлетворяют \(x\ge-1\).
Ответ: \(-1\), \(0\), \(2\).
9. Уравнения с несколькими модулями
Если в уравнении несколько модулей, универсальный способ — раскрывать их по промежуткам.
9.1. Алгоритм
Для уравнения с несколькими модулями:
1. Найдите все значения \(x\), при которых выражения под модулями обращаются в нуль.
2. Отметьте эти точки на числовой прямой.
3. Разбейте прямую на промежутки.
4. На каждом промежутке определите знаки выражений под модулями.
5. Раскройте модули и решите полученное обычное уравнение.
6. Обязательно проверьте, принадлежит ли найденный корень рассматриваемому промежутку.
Пример 12.
Решим \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=5.\)
Критические точки: \(x=1,\; x=-2.\)
Рассматриваем три промежутка.
1. \(x<-2\).
Оба выражения отрицательны: \(\left|x-1\right|=1-x,\; \left|x+2\right|=-x-2.\)
Тогда
\(1-x-x-2=5,\)
\(-2x-1=5,\)
\(x=-3.\)
Значение подходит к промежутку \(x<-2\).
2. \(-2\le x<1\).
Имеем \(\left|x-1\right|=1-x,\; \left|x+2\right|=x+2.\)
Тогда левая часть равна \(1-x+x+2=3.\)
Уравнение \(3=5\) решений не имеет.
3. \(x\ge1\).
Оба выражения неотрицательны:
\(x-1+x+2=5,\)
\(2x+1=5,\)
\(x=2.\)
Ответ: \(-3\), \(2\).
9.2. Геометрический взгляд на сумму расстояний
Выражение \(\left|x-a\right|+\left|x-b\right|\) — сумма расстояний от точки \(x\) до точек \(a\) и \(b\).
Если \(x\) лежит между \(a\) и \(b\), эта сумма равна расстоянию между самими точками:
\(\left|x-a\right|+\left|x-b\right|=\left|a-b\right|.\)
Например, \(\left|x-1\right|+\left|x-4\right|=3\) выполняется для каждого \(x\in[1;4],\) потому что расстояние между точками \(1\) и \(4\) равно \(3\).
Этот факт часто позволяет увидеть ответ без полного раскрытия модулей.
10. Вложенные модули
Вложенный модуль раскрывают снаружи внутрь.
Пример 13.
Решим \(\left|\left|x\right|-3\right|=1.\)
Сначала рассматриваем внешний модуль:
\(\left[ \begin{array}{l} \left|x\right|-3=1,\\ \left|x\right|-3=-1. \end{array} \right.\)
Получаем \(\left[ \begin{array}{l} \left|x\right|=4,\\ \left|x\right|=2. \end{array} \right.\)
Следовательно, \(x=\pm4\;\text{или}\; x=\pm2.\)
Ответ: \(-4\), \(-2\), \(2\), \(4\).
11. Простейшие неравенства с модулем
Геометрический смысл здесь особенно полезен.
11.1. Неравенства \(\left|x\right|<a\) и \(\left|x\right|\le a\)
При \(a>0\):
\(\left|x\right|<a \Longleftrightarrow -a<x<a,\)
\(\left|x\right|\le a \Longleftrightarrow -a\le x\le a.\)
Это означает: расстояние от \(x\) до нуля меньше (или не больше) \(a\).
Если \(a=0\), то неравенство \(\left|x\right|<0\) решений не имеет, а \(\left|x\right|\le0\) имеет единственное решение \(x=0\).
Если \(a<0\), оба неравенства \(\left|x\right|<a\) и \(\left|x\right|\le a\) решений не имеют.
11.2. Неравенства \(\left|x\right|>a\) и \(\left|x\right|\ge a\)
При \(a\ge0\):
\(\left|x\right|>a \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x<-a,\\ x>a, \end{array} \right.\)
\(\left|x\right|\ge a \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\le-a,\\ x\ge a. \end{array} \right.\)
Если \(a<0\), то оба неравенства выполняются для всех действительных \(x\), потому что \(\left|x\right|\ge0>a\).
Пример 14.
Решим \(\left|2x-1\right|\le5.\)
Получаем систему: \(-5\le2x-1\le5.\)
Прибавим \(1\): \(-4\le2x\le6.\)
Разделим на \(2\): \(-2\le x\le3.\)
Ответ: \(x\in[-2;3].\)
Пример 15.
Решим \(\left|3x+2\right|>4.\)
Получаем совокупность:
\(\left[ \begin{array}{l} 3x+2>4,\\ 3x+2<-4. \end{array} \right.\)
Отсюда \(x>\dfrac23\;\text{или}\; x<-2.\)
Ответ: \(x\in(-\infty;-2)\cup\left(\dfrac23;+\infty\right).\)
12. Неравенства \(\left|f(x)\right|\le g(x)\)
Если правая часть зависит от \(x\), необходимо учитывать её знак.
Неравенство \(\left|f(x)\right|\le g(x)\) может выполняться только при \(g(x)\ge0\). При этом
\(\left|f(x)\right|\le g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} g(x)\ge0,\\ -g(x)\le f(x)\le g(x). \end{cases}\)
Пример 16.
Решим \(\left|x-1\right|\le x+2.\)
Правая часть должна быть неотрицательной: \(x+2\ge0.\)
Кроме того, \(-(x+2)\le x-1\le x+2.\)
Левое неравенство:
\(-x-2\le x-1,\)
\(-1\le2x,\)
\(x\ge-\dfrac12.\)
Правое неравенство \(x-1\le x+2\) верно всегда. Условие \(x\ge-\dfrac12\) уже сильнее, чем \(x\ge-2\).
Ответ: \(x\in\left[-\dfrac12;+\infty\right).\)
13. Неравенства \(\left|f(x)\right|\ge g(x)\)
Здесь есть важное отличие.
Если \(g(x)\le0,\) то неравенство выполняется автоматически, потому что \(\left|f(x)\right|\ge0\ge g(x).\)
Если \(g(x)>0,\) то \(\left|f(x)\right|\ge g(x)\) равносильно совокупности
\(\left[ \begin{array}{l} f(x)\ge g(x),\\ f(x)\le-g(x). \end{array} \right.\)
Поэтому при переменной правой части удобно сначала разделить решение на случаи \(g(x)\le0\) и \(g(x)>0\).
Пример 17.
Решим \(\left|x-2\right|\ge x.\)
Если \(x\le0\), правая часть неположительна, поэтому неравенство выполняется автоматически.
Пусть теперь \(x>0\). Тогда: \(\left[ \begin{array}{l} x-2\ge x,\\ x-2\le -x. \end{array} \right.\)
Первое неравенство невозможно. Второе даёт \(2x\le2,\) \(x\le1.\)
С учётом \(x>0\) получаем \((0;1]\). Объединяя с \(x\le0\), получаем \(x\le1.\)
Ответ: \((-\infty;1].\)
14. Сравнение двух модулей
Поскольку оба модуля неотрицательны, их можно сравнивать по квадратам:
\(\left|f(x)\right|\le\left|g(x)\right| \Longleftrightarrow f(x)^2\le g(x)^2.\)
Аналогично для знаков \(<\), \(>\), \(\ge\).
После разности квадратов часто получается обычное рациональное или многочленное неравенство:
\(f(x)^2-g(x)^2=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x)).\)
Пример 18.
Решим \(\left|x-3\right|\le\left|x+1\right|.\)
Возводим обе части в квадрат: \((x-3)^2\le(x+1)^2.\)
Переносим всё в одну сторону: \((x-3)^2-(x+1)^2\le0.\)
Разность квадратов: \(((x-3)-(x+1))((x-3)+(x+1))\le0,\) \((-4)(2x-2)\le0.\)
Делим на \(-8\) и меняем знак: \(x-1\ge0.\)
Ответ: \(x\ge1.\)
Геометрически это означает: точка \(x\) находится не дальше от \(3\), чем от \(-1\). Граница — середина отрезка между \(-1\) и \(3\), то есть число \(1\).
15. Неравенства с несколькими модулями
Здесь снова работает метод критических точек: нули выражений под модулями разбивают прямую на промежутки.
Пример 19.
Решим \(\left|x-1\right|+\left|x-4\right|\le5.\)
Критические точки: \(1\) и \(4\).
При \(x<1\):
\(1-x+4-x\le5,\)
\(5-2x\le5,\)
\(x\ge0.\)
С учётом \(x<1\) получаем \([0;1)\).
При \(1\le x<4\):
\(x-1+4-x=3\le5,\)
поэтому подходит весь промежуток \([1;4)\).
При \(x\ge4\):
\(x-1+x-4\le5,\)
\(2x-5\le5,\)
\(x\le5.\)
Получаем \([4;5]\).
Объединяем: \(x\in[0;5].\)
16. Модуль и параметры
Даже простейшая формула с модулем позволяет быстро разбирать число решений в зависимости от параметра.
Рассмотрим \(\left|x-a\right|=b.\)
Это означает: точка \(x\) находится на расстоянии \(b\) от точки \(a\).
Поэтому:
• если \(b<0\), решений нет;
• если \(b=0\), имеется одно решение \(x=a\);
• если \(b>0\), имеются два решения \(x=a-b\) и \(x=a+b\).
Пример 20.
При каком \(a\) уравнение \(\left|x-2\right|=a\) имеет ровно одно решение?
Ровно одно решение получается только при нулевом расстоянии: \(a=0.\)
Пример 21.
При каком \(a\) уравнение \(\left|\left|x\right|-1\right|=a\) имеет ровно три различных решения?
Если \(a=1\), получаем \(\left|x\right|=2\;\text{или}\; \left|x\right|=0.\)
Отсюда \(x=-2,\; x=0,\; x=2,\) то есть три решения.
При \(0<a<1\) получаются четыре решения, при \(a>1\) — два, при \(a=0\) — два, при \(a<0\) решений нет.
Ответ: \(a=1\).
17. Типичные ошибки
1. Считать, что \(\left|x\right|=x\) всегда. Это верно только при \(x\ge0\).
2. Писать \(\left|x\right|=\pm x\). Модуль — одно конкретное неотрицательное число. Знак \(\pm\) появляется при решении уравнения \(\left|x\right|=a\), а не в определении модуля.
3. Забывать условие на правую часть в уравнении \(\left|f(x)\right|=g(x)\). Необходимо \(g(x)\ge0\).
4. Путать систему и совокупность. В уравнении \(\left|f(x)\right|=a\), \(a>0\), получаем две альтернативные ветви, то есть совокупность.
5. Неправильно раскрывать модуль на промежутке. Перед раскрытием нужно определить знак всего выражения внутри модуля.
6. Не проверять принадлежность корня промежутку. При решении по промежуткам корень, найденный из преобразованного уравнения, может не принадлежать тому промежутку, на котором это преобразование было сделано.
7. Забывать особые случаи \(a=0\) и \(a<0\). Формулы \(-a<x<a\) и \(x<-a\) или \(x>a\) обычно записывают при \(a>0\); для нулевого и отрицательного \(a\) нужно рассуждать отдельно.
8. Писать \(\sqrt{x^2}=x\). Верно \(\sqrt{x^2}=\left|x\right|\).
9. При сравнении двух модулей возводить в квадрат, не замечая, что это безопасно именно потому, что обе части неотрицательны.
18. Короткая памятка
• \(\left|x\right|\) — расстояние от \(x\) до нуля.
• \(\left|x-a\right|\) — расстояние от \(x\) до \(a\).
• \(\left|x\right|=a\), \(a>0\) \(\Longleftrightarrow\) \(x=\pm a\).
• \(\left|f\right|=a\), \(a>0\) \(\Longleftrightarrow\) \(f=a\) или \(f=-a\).
• \(\left|f\right|=\left|g\right|\) \(\Longleftrightarrow\) \(f=g\) или \(f=-g\).
• \(\left|f\right|=g\) требует \(g\ge0\).
• \(\left|f\right|\le a\), \(a\ge0\) \(\Longleftrightarrow\) \(-a\le f\le a\).
• \(\left|f\right|\ge a\), \(a\ge0\) \(\Longleftrightarrow\) \(f\le-a\) или \(f\ge a\).
• При нескольких модулях найдите нули выражений внутри них и разбейте прямую на промежутки.
• \(\sqrt{x^2}=\left|x\right|\).
• \(\left|f\right|\le\left|g\right|\) можно сравнивать по квадратам: \(f^2\le g^2\).
19. Задачи для самостоятельной работы
Задачи расположены с постепенным повышением сложности. Первые проверяют понимание определения и геометрического смысла, затем идут уравнения, неравенства, несколько модулей и простые задачи с параметром.
19.1. Уровень 1. Определение и геометрический смысл
1. Вычислите: \(\left|-17\right|\).
2. Вычислите: \(\left|-3{,}5\right|+\left|2\right|\).
3. Упростите \(\left|x-4\right|\), если \(x<4\).
4. Найдите расстояние между точками \(-5\) и \(7\) на числовой прямой.
5. Решите уравнение \(\left|x\right|=9\).
6. Решите уравнение \(\left|x\right|=-2\).
19.2. Уровень 2. Уравнения
7. Решите: \(\left|2x-3\right|=5\).
8. Решите: \(\left|x+1\right|=2x-1\).
9. Решите: \(\left|2x-1\right|=\left|x+3\right|\).
10. Решите: \(\left|\left|x\right|-3\right|=1\).
11. Решите: \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=5\).
12. Решите: \(\left|x-2\right|-\left|x+1\right|=1\).
19.3. Уровень 3. Неравенства
13. Решите: \(\left|x\right|<4\).
14. Решите: \(\left|2x-1\right|\le5\).
15. Решите: \(\left|3x+2\right|>4\).
16. Решите: \(\left|x-1\right|\le x+2\).
17. Решите: \(\left|x-3\right|>\left|x+1\right|\).
18. Решите: \(\left|\left|x\right|-2\right|\le1\).
19.4. Уровень 4. Несколько модулей и расстояния
19. Решите: \(\left|x-1\right|+\left|x-4\right|\le5\).
20. Решите: \(\left|x+2\right|+\left|x-2\right|>6\).
21. Решите: \(\left|x-2\right|+\left|x+2\right|=4\).
22. Решите: \(\left|x-1\right|+\left|x-4\right|=7\).
19.5. Уровень 5. Параметры
23. При каком действительном \(a\) уравнение \(\left|x-2\right|=a\) имеет ровно одно решение?
24. При каком действительном \(a\) уравнение \(\left|\left|x\right|-1\right|=a\) имеет ровно три различных решения?
20. Ответы
1. \(17\).
2. \(5{,}5\).
3. \(4-x\).
4. \(12\).
5. \(-9\), \(9\).
6. Решений нет.
7. \(-1\), \(4\).
8. \(2\).
9. \(-\dfrac23\), \(4\).
10. \(-4\), \(-2\), \(2\), \(4\).
11. \(-3\), \(2\).
12. \(0\).
13. \(x\in(-4;4)\).
14. \(x\in[-2;3]\).
15. \(x\in(-\infty;-2)\cup\left(\dfrac23;+\infty\right)\).
16. \(x\in\left[-\dfrac12;+\infty\right)\).
17. \(x\in(-\infty;1)\).
18. \(x\in[-3;-1]\cup[1;3]\).
19. \(x\in[0;5]\).
20. \(x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\).
21. \(x\in[-2;2]\).
22. \(x=-1\) или \(x=6\).
23. \(a=0\).
24. \(a=1\).