Для чего нужен метод интервалов
Метод интервалов позволяет решать неравенства, в которых после равносильных преобразований получается произведение или частное множителей:
\(C(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots(x-a_k)^{m_k}\gtreqless0\)
или
\(C\dfrac{(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_k)^{m_k}}
{(x-b_1)^{n_1}\cdots(x-b_s)^{n_s}}\gtreqless0,\)
где \(C\neq0\), а показатели степеней --- натуральные числа.
Основная идея метода проста: знак выражения может измениться только в точках, где один из множителей обращается в нуль или где исходное выражение теряет смысл. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, и на каждом таком промежутке знак выражения постоянен.
Метод интервалов используется при решении:
• квадратных и многочленных неравенств;
• рациональных неравенств;
• неравенств после замены переменной;
• показательных, логарифмических, иррациональных и других неравенств после сведения к произведению или дроби;
• задач с параметром, если положение критических точек зависит от параметра.
Главное условие: сравнение с нулём
Метод интервалов применяется к неравенствам вида
\(F(x)>0,\) \(F(x)<0,\) \(F(x)\geqslant0,\) \(F(x)\leqslant0.\)
Поэтому перед применением метода нужно перенести всё в одну сторону.
Например, неравенство \(\dfrac{x-2}{x-4}>1\) нельзя решать методом интервалов непосредственно. Сначала преобразуем его:
\(\dfrac{x-2}{x-4}-1>0,\)
\(\dfrac{x-2-(x-4)}{x-4}>0,\)
\(\dfrac{2}{x-4}>0.\)
Теперь выражение сравнивается с нулём, и можно исследовать его знак.
Критические точки
После разложения выражения на множители на числовой прямой отмечают все точки, в которых может измениться знак или нарушается область определения.
Нули числителя
Если множитель числителя обращается в нуль, всё выражение может стать равным нулю.
Такие точки:
• включаются в ответ при знаках \(\geqslant\) и \(\leqslant\);
• не включаются при знаках \(>\) и \(<\).
Нули знаменателя
Если знаменатель обращается в нуль, выражение не определено. Поэтому нули знаменателя никогда не включаются в ответ, независимо от строгости неравенства.
Например, для выражения \(\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+5)}\) точки \(x=1,\) \(x=-2\) являются нулями числителя, а \(x=3,\) \(x=-5\) --- запрещёнными значениями.
Нужно ли отдельно писать ОДЗ
Для обычного рационального неравенства ограничения можно учитывать непосредственно на числовой прямой: все нули знаменателя сразу отмечаются как выколотые точки.
Однако явно выписывать ограничения особенно полезно, если:
• дробь сокращается;
• в исходном выражении есть корни или логарифмы;
• выполняется замена переменной;
• после преобразований часть исходных ограничений перестаёт быть видна.
Главное не форма записи, а то, чтобы ни одно запрещённое значение не попало в ответ.
Знак линейного множителя
Для множителя \(x-a\) имеем:
\(x-a<0\) \(\text{при }x<a,\)
\(x-a=0\) \(\text{при }x=a,\)
\(x-a>0\) \(\text{при }x>a.\)
Поэтому при переходе через точку \(a\) знак множителя \(x-a\) меняется.
Для множителя \(a-x=-(x-a)\) знаки противоположны. Обычно удобнее вынести минус: \(a-x=-(x-a),\) и учитывать \(-1\) как отдельный постоянный множитель.
Кратность корня и смена знака
Рассмотрим множитель \((x-a)^m.\)
Если \(m\) нечётно, при переходе через \(x=a\) знак множителя меняется. \((x-a)^1,\ (x-a)^3,\ldots\) — знак меняется.
Если \(m\) чётно, знак не меняется. \((x-a)^2,\ (x-a)^4,\ldots\) — знак сохраняется.
На черновике точку чётной кратности часто помечают "петелькой", флажком или другим знаком, чтобы не забыть: при переходе через неё знак сохраняется.
Это правило одинаково работает для множителей числителя и знаменателя. Но если точка появилась из знаменателя, она всё равно остаётся выколотой.
Изолированная точка в ответе
Точка чётной кратности может попасть в ответ отдельно от подходящих промежутков.
Например, в неравенстве \((x-2)^2(x-3)\geqslant0\) при \(x<3\) выражение отрицательно, но при \(x=2\) равно нулю.
Поэтому ответ содержит отдельную точку: \(\{2\}\cup[3;+\infty).\)
При записи ответа важно учитывать не только промежутки нужного знака, но и допустимые нули числителя.
Как определить знак на промежутках
После нанесения критических точек достаточно определить знак хотя бы на одном промежутке.
Подстановка пробной точки
Выбираем любое удобное значение из промежутка и определяем знак каждого множителя.
Это наиболее надёжный способ и именно его стоит использовать, если схема знаков вызывает сомнение.
Знак на крайнем правом промежутке
Пусть выражение записано в виде
\(C\dfrac{(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\ldots(x-a_k)^{m_k}}
{(x-b_1)^{n_1}(x-b_2)^{n_2}\ldots(x-b_s)^{n_s}}.\)
При достаточно большом положительном \(x\) все множители вида \(x-a_i\) и \(x-b_j\) положительны. Поэтому знак на крайнем правом промежутке совпадает со знаком постоянного коэффициента \(C\).
Например, \((3-x)(x+5)=-(x-3)(x+5).\)
Здесь после вынесения минуса постоянный коэффициент равен \(-1\), поэтому крайний правый промежуток имеет отрицательный знак.
После определения первого знака двигаемся через критические точки:
• через точку нечётной кратности меняем знак;
• через точку чётной кратности знак сохраняем.
Если все критические точки имеют нечётную кратность, знаки действительно чередуются. Механически чередовать знаки при наличии чётных кратностей нельзя.
Множители постоянного знака
Некоторые множители не меняют знак при действительных \(x\).
Например, \(x^2+1>0\) при всех \(x\in\mathbb R\).
Для квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\) при \(D<0\) знак при всех действительных \(x\) совпадает со знаком \(a\).
Например, \(x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0.\)
Строго положительный множитель можно не учитывать при расстановке знаков.
Но выражение, которое только неотрицательно и может обращаться в нуль, нельзя просто выбросить при строгом неравенстве.
Например, \((x-1)^2(x+3)>0.\)
Квадрат не меняет знак, но при \(x=1\) всё произведение равно нулю, поэтому эта точка должна быть исключена из ответа.
Знаменатель в чётной степени
Если знаменатель содержит \(G(x)^{2n},\) то при \(G(x)\neq0\) этот множитель строго положителен и не влияет на знак дроби.
Например, \(\dfrac{x-3}{(x+2)^4}\geqslant0.\)
При \(x\neq-2\) знаменатель положителен, поэтому знак дроби определяется числителем: \(x-3\geqslant0.\)
Ответ: \(x\in[3;+\infty).\)
Точку \(x=-2\) всё равно необходимо помнить как запрещённую, даже если она не влияет на схему знаков.
Разложение выражения на множители
Метод интервалов становится удобным, когда знак каждого множителя понятен.
Квадратный трёхчлен
Если \(ax^2+bx+c\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то
\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\)
Например, \(x^2+3x-4=(x-1)(x+4).\)
Разность квадратов
Используем формулу
\(A^2-B^2=(A-B)(A+B).\)
Например, \(x^2-9=(x-3)(x+3).\)
Многочлен относительно \(x^2\)
Иногда удобно сделать мысленную замену \(t=x^2\).
Например, \(x^4-5x^2+4\) можно представить как \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4),\) поэтому
\(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).\)
Минус перед выражением
Если мешает отрицательный старший коэффициент, минус можно вынести:
\(9-2x^2=-(2x^2-9).\)
При умножении всего неравенства на \(-1\) знак неравенства обязательно меняется на противоположный.
Чётная степень и изменение знаков внутри скобки
При чётной степени:
\((3-x)^2=(x-3)^2,\)
\((a-b)^2=(b-a)^2.\)
Вообще,
\((-F(x))^{2n}=F(x)^{2n}.\)
Поэтому минус внутри множителя в чётной степени можно убрать.
Сокращение дробей и потерянные ограничения
Рассмотрим выражение
\(\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x-3)}.\)
Исходная дробь не определена при \(x=1,\) \(x=3.\)
После сокращения получаем \(\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-3},\) но точка \(x=1\) не становится допустимой.
Поэтому безопасный порядок действий такой:
1. выписать запрещённые значения исходного выражения;
2. сократить общие множители;
3. решить упрощённое неравенство;
4. удалить из ответа все запрещённые значения исходной дроби.
Кратность после сокращения
Если один и тот же множитель встречается в числителе и знаменателе, его степени можно вычесть для определения поведения знака.
Например, \(\dfrac{(x-5)^6}{(x-5)^3}\) при \(x\neq5\) имеет тот же знак, что \((x-5)^3.\)
Поэтому при переходе через \(x=5\) знак менялся бы как при нечётной степени, но сама точка \(x=5\) остаётся запрещённой.
Если степени полностью сократились, например \(\dfrac{x-1}{x-1},\) то после сокращения никакого нуля множителя уже нет. Однако \(x=1\) остаётся выколотой точкой исходного выражения, и знак при переходе через неё не меняется.
Почему нельзя бездумно умножать неравенство на выражение с переменной.
В уравнении можно умножить обе части на ненулевое выражение, сохранив равенство. В неравенстве ситуация сложнее: если множитель отрицателен, знак неравенства нужно поменять.
Поэтому в неравенстве \(\dfrac1x>1\) нельзя сразу умножать обе части на \(x\), поскольку неизвестно, положителен \(x\) или отрицателен.
Правильно:
\(\dfrac1x-1>0,\)
\(\dfrac{1-x}{x}>0,\)
после чего применить метод интервалов.
Общий алгоритм метода интервалов
1. Перенесите все слагаемые в одну сторону, чтобы справа стоял нуль.
2. Приведите выражение к одной дроби, если это необходимо.
3. Зафиксируйте запрещённые значения и другие ограничения исходного выражения.
4. Разложите числитель и знаменатель на множители.
5. Вынесите постоянные отрицательные коэффициенты и упростите множители постоянного знака.
6. Найдите нули всех множителей и определите их кратности.
7. Отметьте критические точки на числовой прямой: нули знаменателя обязательно выколите.
8. Определите знак на одном промежутке подстановкой или по знаку на крайнем правом промежутке.
9. Расставьте знаки на остальных промежутках: при нечётной кратности знак меняется, при чётной --- сохраняется.
10. Выберите промежутки нужного знака.
11. При нестрогом неравенстве добавьте допустимые нули числителя.
12. Исключите все запрещённые значения исходного выражения.
Разобранные примеры
Пример 1. Простое произведение
Решим \((x-2)(x-3)<0.\)
Критические точки: \(x=2,\) \(x=3.\)
На крайнем правом промежутке оба множителя положительны, поэтому знак произведения положительный. Обе точки имеют нечётную кратность, поэтому знаки чередуются: \(+\) \(|\) \(-\) \(|\) \(+.\)
Нужен отрицательный знак.
Ответ: \(x\in(2;3).\)
Пример 2. Минус перед \(x\) в одном из множителей
Решим \((3-x)(x+5)>0.\)
Перепишем первый множитель: \(3-x=-(x-3).\)
Получаем \(-(x-3)(x+5)>0.\)
Можно оставить минус как постоянный множитель и понимать, что правый промежуток отрицателен. Либо умножить всё неравенство на \(-1\), поменяв знак: \((x-3)(x+5)<0.\)
Критические точки: \(x=-5,\) \(x=3.\)
Произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями.
Ответ: \(x\in(-5;3).\)
Пример 3. Сначала приводим к нулю
Решим \((2x+5)(x-2)>5.\)
Переносим всё в левую часть: \((2x+5)(x-2)-5>0.\)
Раскрываем скобки: \(2x^2+x-15>0.\)
Найдём корни:
\(2x^2+x-15=0,\)
\(x=-3\) или \(x=\dfrac52.\)
Следовательно, \(2x^2+x-15 = 2(x+3)\left(x-\dfrac52\right).\)
Положительный коэффициент \(2\) на знак не влияет. Получаем \((x+3)\left(x-\dfrac52\right)>0.\)
Ответ: \(x\in(-\infty;-3)\cup\left(\dfrac52;+\infty\right).\)
Пример 4. Нуль знаменателя всегда выколот
Решим \(\dfrac{x-2}{x-3}\leqslant0.\)
Критические точки: \(x=2,\) \(x=3.\)
Точка \(x=2\) --- нуль числителя, поэтому при нестрогом знаке она может войти в ответ.
Точка \(x=3\) --- нуль знаменателя, поэтому она всегда выколота.
На крайнем правом промежутке дробь положительна, поэтому схема знаков: \(+\) \(|\) \(-\) \(|\) \(+.\)
Ответ: \(x\in[2;3).\)
Пример 5. Корень чётной кратности и отдельная точка
Решим \((x-2)^2(x-3)\geqslant0.\)
При переходе через \(x=2\) знак не меняется, поскольку кратность равна \(2\).
При переходе через \(x=3\) знак меняется.
На правом промежутке выражение положительно. Поэтому слева от \(3\) оно отрицательно, но в точке \(x=2\) равно нулю.
Ответ: \(x\in\{2\}\cup[3;+\infty).\)
Пример 6. Чётная и нечётная кратности
Решим \((x-2)^4(x-3)^5\leqslant0.\)
Точка \(x=2\) имеет чётную кратность, поэтому знак через неё не меняется.
Точка \(x=3\) имеет нечётную кратность, поэтому знак меняется.
При \(x>3\) выражение положительно. Значит, при \(x<3\) оно отрицательно, кроме точки \(x=2\), где равно нулю. Поскольку неравенство нестрогое, все эти значения подходят.
Ответ: \(x\in(-\infty;3].\)
Пример 7. Дробь, кратности и отрицательный множитель
Решим \(\dfrac{(2x-4)^5(x-3)^2}{1-x}\geqslant0.\)
Преобразуем: \(2x-4=2(x-2),\) \(1-x=-(x-1).\)
Положительный множитель \(2^5\) можно не учитывать, поэтому для знака рассматриваем \(-\dfrac{(x-2)^5(x-3)^2}{x-1}.\)
Критические точки: \(x=1,\) \(x=2,\) \(x=3.\)
Точка \(x=1\) выколота. В точке \(x=2\) кратность нечётная, а в точке \(x=3\) --- чётная.
На крайнем правом промежутке из-за общего минуса знак отрицательный. При переходе через \(3\) он сохраняется, через \(2\) меняется, через \(1\) снова меняется.
Подходят положительный промежуток и допустимые нули числителя.
Ответ: \(x\in(1;2]\cup\{3\}.\)
Пример 8. Сокращение и потерянная точка
Решим \(\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x-3)}\leqslant0.\)
Сначала фиксируем ограничения: \(x\neq1,\) \(x\neq3.\)
Сокращаем один множитель: \(\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-3}\leqslant0.\)
Если забыть исходное ограничение, точку \(x=1\) можно ошибочно включить в ответ как нуль числителя.
Решая получившееся рациональное неравенство и затем возвращаясь к ограничениям исходной дроби, получаем:
Ответ: \(x\in(-\infty;-2]\cup(1;3).\)
Пример 9. Все переменные множители имеют чётную степень
Решим \(\dfrac{(x-2)^2(x-3)^6}{(-x^2+6x+7)^4}\geqslant0.\)
Так как степень знаменателя чётная, \((-x^2+6x+7)^4=(x^2-6x-7)^4.\)
Разложим: \(x^2-6x-7=(x-7)(x+1).\)
Получаем \(\dfrac{(x-2)^2(x-3)^6}{(x-7)^4(x+1)^4}\geqslant0.\)
На области определения числитель и знаменатель неотрицательны, а знаменатель строго положителен. Поэтому дробь неотрицательна при всех допустимых \(x\).
Запрещены только нули знаменателя: \(x=-1,\) \(x=7.\)
Ответ: \(x\in\mathbb R\setminus\{-1;7\}.\)
Пример 10. Разность квадратов
Решим \((x^2-9)(x+1)\geqslant0.\)
Разложим: \(x^2-9=(x-3)(x+3).\)
Получаем \((x-3)(x+3)(x+1)\geqslant0.\)
Критические точки: \(-3,\) \(-1,\) \(3.\)
Все кратности нечётные, поэтому знаки чередуются.
Ответ: \(x\in[-3;-1]\cup[3;+\infty).\)
Пример 11. Множители постоянного знака
Решим \(\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{(x+3)^2}\leqslant0.\)
При всех действительных \(x\): \(x^2+1>0.\)
Кроме того, \((x+3)^2>0\) при \(x\neq-3.\)
Поэтому знак дроби определяется только множителем \(x-2.\)
Требуется \(x-2\leqslant0,\) \(x\neq-3.\)
Ответ: \(x\in(-\infty;-3)\cup(-3;2].\)
Пример 12. Многочлен относительно \(x^2\)
Решим \(\dfrac{x^4-5x^2+4}{x^2-9}\geqslant0.\)
Разложим числитель: \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4).\)
Тогда
\(\dfrac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}
{(x-3)(x+3)}
\geqslant0.\)
Критические точки: \(-3,\) \(-2,\) \(-1,\) \(1,\) \(2,\) \(3.\)
Все критические множители имеют нечётную степень, поэтому знаки чередуются. Нули числителя включаем, нули знаменателя исключаем.
Ответ: \(x\in(-\infty;-3)\cup[-2;-1]\cup[1;2]\cup(3;+\infty).\)
Пример 13. Справа стоит не ноль
Решим \(\dfrac{x-2}{x-4}>1.\)
Переносим единицу влево:
\(\dfrac{x-2}{x-4}-1>0,\)
\(\dfrac{2}{x-4}>0.\)
Поскольку числитель \(2\) положителен, дробь положительна тогда и только тогда, когда \(x-4>0.\)
Ответ: \(x\in(4;+\infty).\)
Пример 14. Отрицательный старший коэффициент и чётный знаменатель
Решим \(\dfrac{(9-2x^2)x}{(x-5)^4}\leqslant0.\)
Знаменатель положителен при всех \(x\neq5,\) поэтому знак дроби определяется числителем.
Вынесем минус: \(9-2x^2=-(2x^2-9).\)
Можно умножить неравенство на \(-1\), поменяв знак: \(\dfrac{(2x^2-9)x}{(x-5)^4}\geqslant0.\)
Разложим:
\(2x^2-9
=
2\left(x-\dfrac{3}{\sqrt2}\right)
\left(x+\dfrac{3}{\sqrt2}\right).\)
Положительный коэффициент \(2\) можно не учитывать. Критические точки: \(-\dfrac{3}{\sqrt2},\) \(0,\) \(\dfrac{3}{\sqrt2},\) \(5.\)
Точка \(5\) выколота и имеет чётную кратность в знаменателе, поэтому знак через неё не меняется.
Ответ: \(x\in
\left[-\dfrac{3}{\sqrt2};0\right]
\cup
\left[\dfrac{3}{\sqrt2};5\right)
\cup
(5;+\infty).\)
Где чаще всего ошибаются
Ошибка 1. Не привели неравенство к нулю
Метод интервалов исследует знак выражения относительно нуля. Если справа стоит число или другое выражение, сначала всё нужно перенести в одну сторону.
Ошибка 2. Деление или умножение на выражение неизвестного знака
Нельзя умножать неравенство на выражение с переменной, пока неизвестен его знак. Иначе можно забыть изменить знак неравенства.
Ошибка 3. Деление на отрицательное число без смены знака
Например, \(-2x<3\) равносильно \(x>-\dfrac32,\) а не \(x<-\dfrac32\).
Ошибка 4. "Извлечение корня" из квадратного неравенства
Из \(x^2>9\) нельзя писать \(x>\pm3\).
Правильно:
\(x^2-9>0,\)
\((x-3)(x+3)>0,\) поэтому
\(x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty).\)
Ошибка 5. Механическое чередование знаков
В выражении \((x-1)^2(x+2)\) знак через \(x=1\) не меняется, поскольку кратность корня чётная.
Ошибка 6. Потеря нуля при строгом неравенстве
Из \(x^2>0\) не следует, что подходят все действительные числа. Точка \(x=0\) не подходит: \(x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).\)
Ошибка 7. Включение нуля знаменателя
Даже при знаках \(\geqslant\) и \(\leqslant\) точка, в которой знаменатель равен нулю, никогда не входит в ответ.
Ошибка 8. Забытое ограничение после сокращения
Сокращение общего множителя не делает исходную запрещённую точку допустимой.
Ошибка 9. Отбрасывание неотрицательного множителя
Чётная степень не меняет знак, но может обращаться в нуль. При строгом неравенстве такой нуль необходимо исключить.
Ошибка 10. Нераспознанный множитель постоянного знака
Если \(x^2+1>0\) при всех действительных \(x\), нет смысла искать его корни или включать его в таблицу знаков.
Короткая памятка
• Сначала приведите неравенство к виду \(F(x)\gtreqless0\).
• Разложите числитель и знаменатель на множители.
• Нули числителя при нестрогом знаке могут входить в ответ.
• Нули знаменателя не входят в ответ никогда.
• Через корень нечётной кратности знак меняется.
• Через корень чётной кратности знак сохраняется.
• На правом промежутке у выражения, записанного через множители \(x-a\), знак определяется общим постоянным коэффициентом.
• Строго положительные множители на знак не влияют.
• После сокращения не забывайте запрещённые точки исходной дроби.
• При сомнении проверяйте знак подстановкой любой точки из промежутка.
Задачи для самостоятельной работы
Во всех заданиях решите неравенство методом интервалов. Подробные решения приведены в разобранных примерах статьи, поэтому ниже после блока задач даны только ответы.
1. \((x-2)(x-3)<0.\)
2. \((x+4)(x-1)\geqslant0.\)
3. \((x-2)^2(x-3)>0.\)
4. \((x-2)^4(x-3)^5\geqslant0.\)
5. \(x(x+2)(x-5)\leqslant0.\)
6. \(4-3x-x^2\geqslant0.\)
7. \(\dfrac{(x-2)(x-3)}{x}<0.\)
8. \(\dfrac{(x-2)^5(x-3)^2}{x-1}\geqslant0.\)
9. \(\dfrac{(9-x^2)x}{(x-5)^4}\leqslant0.\)
10. \(\dfrac{x-2}{x-4}>1.\)
11. \(\dfrac{(x-2)^2(x-3)^6}{(x-3)^4}\geqslant0.\)
12. \(\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x-3)}\leqslant0.\)
13. \(\dfrac{(x-1)^2(x+3)^3}{(x-4)^2(x+2)}>0.\)
14. \(\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{(x+3)^2}\leqslant0.\)
15. \(\dfrac{(x^2-4x+5)(x+1)^2}{x-3}<0.\)
16. \(\dfrac{x^4-5x^2+4}{x^2-9}\geqslant0.\)
17. \(\dfrac{x^3-4x^2-x+4}{x^2-1}\leqslant0.\)
18. \(\dfrac{(x-1)^2(x+2)^3}{(x-4)(x+5)^2}\leqslant0.\)
19. \(\dfrac{(x^2-1)^2(x-3)}{(x+2)^3(x-4)^2}>0.\)
20. \(\dfrac{(x-2)^2}{x^2-4x+3}>1.\)
21. \(\dfrac{x+1}{x-2}\leqslant\dfrac{2x-1}{x+3}.\)
22. \(\dfrac{x^2-3x-4}{x^2+2x-3}\geqslant0.\)
23. \(\dfrac{(x-2)^2(x^2-9)}{(x^2-1)^2(x-5)}\geqslant0.\)
24. \(\dfrac{x^4-10x^2+9}{x^3-4x}<0.\)
25. \(\dfrac{(x^2+4x+5)(x^2-5x+6)}{(x^2+1)(x-4)}\leqslant0.\)
26. \(\dfrac{(x-1)^3(x+2)^2}{(x-1)^2(x+2)(x-4)}\geqslant0.\)
27. \((2x-5)(x+3)\leqslant0.\)
28. \(\dfrac{x-2}{3-x}\leqslant0.\)
29. \(\dfrac{-14}{x^2+2x-15}\leqslant0.\)
30. \(\dfrac{(x+2)(x+1)(x-3)}{(x-4)(x-5)}<0.\)
31. \(\dfrac{x^2-6x+8}{x-1}
-
\dfrac{x-4}{x^2-3x+2}
\leqslant0.\)
32. \(\dfrac{(x-1)^2(x-2)}{x-3}<0.\)
33. \(\dfrac{(x-5)^4(x-8)^3}{(x+2)(x-7)^7}\leqslant0.\)
34. \(\dfrac{(x+3)(x+7)^2}{(x+5)(x-2)x^4}\leqslant0.\)
Ответы
1. \(x\in(2;3)\).
2. \(x\in(-\infty;-4]\cup[1;+\infty)\).
3. \(x\in(3;+\infty)\).
4. \(x\in\{2\}\cup[3;+\infty)\).
5. \(x\in(-\infty;-2]\cup[0;5]\).
6. \(x\in[-4;1]\).
7. \(x\in(-\infty;0)\cup(2;3)\).
8. \(x\in(-\infty;1)\cup[2;+\infty)\).
9. \(x\in[-3;0]\cup[3;5)\cup(5;+\infty)\).
10. \(x\in(4;+\infty)\).
11. \(x\in\mathbb R\setminus\{3\}\).
12. \(x\in(-\infty;-2]\cup(1;3)\).
13. \(x\in(-\infty;-3)\cup(-2;1)\cup(1;4)\cup(4;+\infty)\).
14. \(x\in(-\infty;-3)\cup(-3;2]\).
15. \(x\in(-\infty;-1)\cup(-1;3)\).
16. \(x\in(-\infty;-3)\cup[-2;-1]\cup[1;2]\cup(3;+\infty)\).
17. \(x\in(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;4]\).
18. \(x\in[-2;4)\).
19. \(x\in(-\infty;-2)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)\).
20. \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\).
21. \(x\in(-\infty;-3)
\cup
\left[\dfrac{9-\sqrt{85}}{2};2\right)
\cup
\left[\dfrac{9+\sqrt{85}}{2};+\infty\right).\)
22. \(x\in(-\infty;-3)\cup[-1;1)\cup[4;+\infty)\).
23. \(x\in[-3;-1)\cup(-1;1)\cup(1;3]\cup(5;+\infty)\).
24. \(x\in(-\infty;-3)\cup(-2;-1)\cup(0;1)\cup(2;3)\).
25. \(x\in(-\infty;2]\cup[3;4)\).
26. \(x\in(-2;1)\cup(4;+\infty)\).
27. \(x\in\left[-3;\dfrac52\right]\).
28. \(x\in(-\infty;2]\cup(3;+\infty)\).
29. \(x\in(-\infty;-5)\cup(3;+\infty)\).
30. \(x\in(-\infty;-2)\cup(-1;3)\cup(4;5)\).
31. \(x\in(-\infty;1)\cup(1;2)\cup[3;4]\).
32. \(x\in(2;3)\).
33. \(x\in(-\infty;-2)\cup\{5\}\cup(7;8]\).
34. \(x\in(-\infty;-5)\cup[-3;0)\cup(0;2)\).