Краткая памятка перед решением
Основные свойства логарифмов подробно разобраны отдельно. Для решения уравнений и неравенств особенно нужны следующие факты.
Логарифм существует при условиях \(a>0,\) \(a\neq1,\) \(b>0.\)
По определению: \(\log_a b=c \iff a^c=b.\)
Для допустимых выражений:
\(\log_a u+\log_a v=\log_a(uv),\)
\(\log_a u-\log_a v=\log_a\dfrac uv,\)
\(\log_a u=\log_a v
\iff
u=v.\)
При необходимости логарифмы можно привести к одному основанию:
\(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}.\)
Логарифмические уравнения
ОДЗ
Для каждого логарифма необходимо требовать:
\(\text{аргумент}>0,\)
а если основание зависит от переменной или параметра, дополнительно:
\(\text{основание}>0,\) \(\text{основание}\neq1.\)
Эти условия являются частью решения и должны учитываться до окончательного отбора корней.
Простейшие уравнения
Из определения:
\(\log_a f(x)=c
\iff
f(x)=a^c,\)
при выполнении ОДЗ.
Пример 1
\(\log_2(x-1)=3.\)
ОДЗ: \(x>1.\)
Получаем: \(x-1=8,\)
\(\boxed{x=9}.\)
Равенство логарифмов с одинаковым основанием
При допустимых аргументах:
\(\boxed{
\log_a f(x)=\log_a g(x)
\iff
f(x)=g(x)
}.\)
Пример 2
\(\log_3(x+1)=\log_3(7-x).\)
ОДЗ: \(x+1>0,\) \(7-x>0,\) то есть \(-1<x<7.\)
Приравниваем аргументы: \(x+1=7-x,\)
\(\boxed{x=3}.\)
Сумма и разность логарифмов
После проверки ОДЗ можно использовать:
\(\log_a f(x)+\log_a g(x)=\log_a(f(x)g(x)),\)
\(\log_a f(x)-\log_a g(x)=\log_a\dfrac{f(x)}{g(x)}.\)
Пример 3
\(\log_2x+\log_2(x-2)=3.\)
ОДЗ: \(x>2.\)
Объединяем логарифмы:
\(\log_2(x(x-2))=3,\)
\(x(x-2)=8.\)
Получаем: \(x=4\) или \(x=-2.\)
По ОДЗ остаётся:
\(\boxed{x=4}.\)
Замена переменной
Если уравнение является квадратным относительно логарифма, удобно сделать замену:
\(t=\log_a x.\)
Пример 4
\((\log_2x)^2-5\log_2x+6=0.\)
Пусть \(t=\log_2x.\)
Тогда \(t^2-5t+6=0,\)
\(t=2\) или \(t=3.\)
Следовательно, \(x=4\) или \(x=8.\)
Переменное основание
Для выражения \(\log_{f(x)}g(x)\) необходимо одновременно требовать:
\(f(x)>0,\) \(f(x)\neq1,\) \(g(x)>0.\)
Пример 5
\(\log_x16=4.\)
ОДЗ: \(x>0,\) \(x\neq1.\)
По определению: \(x^4=16.\)
Из положительных значений подходит только
\(\boxed{x=2}.\)
Логарифмические неравенства
Главное отличие от уравнений связано с монотонностью логарифма.
Если \(a>1,\) то функция \(y=\log_a x\) возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:
\(\boxed{
\log_a f(x)>\log_a g(x)
\iff
f(x)>g(x)
}.\)
Если \(0<a<1,\) то логарифм убывает, поэтому знак меняется:
\(\boxed{
\log_a f(x)>\log_a g(x)
\iff
f(x)<g(x)
}.\)
Во всех случаях сначала учитывается ОДЗ:
\(f(x)>0,\) \(g(x)>0.\)
Пример 6
\(\log_{1/2}(x+1)>\log_{1/2}(3-x).\)
ОДЗ: \(-1<x<3.\)
Так как \(0<\dfrac12<1,\) знак меняется: \(x+1<3-x.\)
Отсюда \(x<1.\)
С учётом ОДЗ:
\(\boxed{-1<x<1}.\)
Общий алгоритм решения
1. Выписать ОДЗ всех логарифмов.
2. По возможности привести логарифмы к одному основанию.
3. Использовать свойства логарифмов.
4. Для уравнения выполнить потенцирование, приравнять аргументы или сделать замену.
5. Для неравенства учесть, возрастает или убывает логарифм.
6. Решить полученное алгебраическое уравнение или неравенство.
7. Проверить найденные значения по исходному ОДЗ.
Типичные ошибки
• Не требуют положительности аргумента логарифма.
• При переменном основании забывают условия \(a>0,\) \(a\neq1.\)
• В неравенствах не меняют знак при основании от \(0\) до \(1\).
• Пишут неверное равенство \(\log_a(b+c)=\log_a b+\log_a c.\) Такого свойства нет.
• Объединяют логарифмы в произведение или частное, не проверив ОДЗ.
• После преобразований не проверяют полученные кандидаты по исходным
условиям.
Задачи для самостоятельной работы
Решите:
1. \(\log_2x=5\).
2. \(\log_3(x-2)=2\).
3. \(\log_5(x+1)=\log_5(9-x)\).
4. \(\log_{1/3}(x-1)\leqslant0\).
5. \(\log_2x+\log_2(x-1)=1\).
6. \(\log_3(x+2)-\log_3x=1\).
7. \((\log_2x)^2-3\log_2x+2=0\).
8. \(\log_x9=2\).
9. \(\log_2(x^2-1)=3\).
10. \(\log_2(x-1)>2\).
11. \(\log_{1/2}(x+2)\geqslant-1\).
12. \(\log_2x+\log_4x=3\).
13. При каких действительных \(a\) уравнение \(\log_2x=a\) имеет решение?
14. При каких действительных \(a\) уравнение \((\log_2x)^2-(a+1)\log_2x+a=0\) имеет ровно один положительный корень?
15. При каких \(a\) уравнение \(\log_a4=2\) имеет решение по основанию \(a\)?
16. Найдите число решений уравнения \(\log_2x+x=a\) в зависимости от действительного \(a\).
Ответы
1. \(x=32\).
2. \(x=11\).
3. \(x=4\).
4. \(x\geqslant2\).
5. \(x=2\).
6. \(x=1\).
7. \(x=2\) или \(x=4\).
8. \(x=3\).
9. \(x=-3\) или \(x=3\).
10. \(x>5\).
11. \(-2<x\leqslant0\).
12. \(x=4\).
13. При всех действительных \(a\).
14. \(a=1\).
15. \(a=2\).
16. При любом действительном \(a\) уравнение имеет ровно один корень.