Стереометрический рисунок является схематическим: на нём не обязательно сохраняются реальные длины и величины углов. Главная задача — сделать фигуру понятной и не допустить наложения важных рёбер и дополнительных построений.
Призма
Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы.
В школьных задачах чаще всего встречаются треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и шестиугольные призмы.
Призма может быть прямой и наклонной. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны её основаниям. У наклонной призмы боковые рёбра наклонены к плоскостям оснований; при этом они параллельны друг другу и равны.
Прямая призма называется правильной, если у неё в основаниях лежат правильные многоугольники (равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и так далее). Получается, что у правильной призмы основания — правильные многоугольники, а боковые грани — прямоугольники.
Треугольная призма
Если в основании треугольник, то лучше всего рисовать тупоугольный неравнобедренный треугольник независимо от того, каким треугольник является по условию. Именно так обычно лучше всего видны все элементы призмы.
Шаг 1. Строим один из таких треугольников.
Шаг 2. Из всех вершин основания проводим вертикальные отрезки равной длины — боковые рёбра
Шаг 3. Соединяем концы вертикальных отрезков и получаем верхнее основание, равное нижнему.
Шаг 4. Рёбра, которые мы не видим, нужно изобразить пунктиром на чертеже. Лучше всего сразу представлять себе будущую фигуру и по возможности чертить невидимые рёбра пунктиром изначально.
Если призма не прямая, а наклонная, то после построения нижнего основания (шаг 1) надо строить не вертикальные отрезки, а наклонённые в одном направлении. При этом все боковые рёбра должны быть параллельны друг другу и иметь равную длину.
Проводим отрезки, образующие верхнее основание (шаг 3), а невидимые линии изображаем пунктиром (шаг 4).
Получаем прямую и наклонную треугольные призмы.
Аналогично строится призма с другим вариантом треугольника в основании.
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
По тому же алгоритму строится наклонная призма.
Четырёхугольная призма
Если в основании призмы лежит параллелограмм, прямоугольник или квадрат, то на рисунке чертим параллелограмм.
Дело в том, что если начертить прямоугольник или квадрат буквально, то боковые рёбра могут накладываться друг на друга, и чертёж получится менее наглядным. А чтобы диагональ призмы не наложилась на сторону основания, удобно делать острый угол параллелограмма примерно \(30^\circ\).
Шаг 1.
Шаг 2. После построения нижнего основания проводим равные вертикальные отрезки, которые являются боковыми рёбрами.
Шаг 3. Соединяем концы этих отрезков и получаем верхнее основание.
Шаг 4. Невидимые линии изображаем пунктиром. Получаем прямую четырёхугольную призму, которую также называют параллелепипедом.
Для наклонной призмы вместо вертикальных боковых рёбер чертим равные параллельные наклонные отрезки.
Построения всех призм очень похожи: строим нижнее основание (шаг 1), проводим боковые рёбра (шаг 2) и, соединив их концы, получаем верхнее основание (шаг 3). Затем невидимые рёбра изображаем пунктиром (шаг 4).
Если в основании призмы находится квадрат, на рисунке его снова изображаем параллелограммом.
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Получаем прямой параллелепипед с квадратом в основании. Наклонный вариант строится аналогично.
Стоит ещё рассмотреть случай, когда в основании находится другой четырёхугольник, например трапеция. Здесь самое главное — не делать рисунок слишком симметричным, даже если по условию трапеция равнобедренная.
Постарайтесь сделать одну боковую сторону визуально длиннее другой, а острый угол — поострее: так дополнительные построения будут виднее.
Шаг 1.
Дальнейший алгоритм совпадает с предыдущими построениями.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
И её наклонный вариант выглядит так.
Куб
Куб — это прямоугольный параллелепипед, каждая грань которого является квадратом.
Шаг 1. Строим параллелограмм в основании.
Шаг 2. Проводим боковые рёбра. Для рисунка по клеткам удобно делать боковое ребро равным длинной видимой стороне параллелограмма. В исходном примере это 6 клеток, поэтому поднимаем боковые рёбра вверх на 6 клеток.
Важно: это правило относится именно к удобству рисунка по клеткам. Стереометрический чертёж не обязан сохранять истинный масштаб пространственной фигуры.
Строим верхнее основание и изображаем невидимые линии пунктиром.
Шаг 3.
Шаг 4.
Куб построен.
Куб не бывает наклонным, потому что все его грани должны быть квадратами.
Пятиугольная призма
Если в основании призмы лежит пятиугольник (правильный или нет), то строим такой пятиугольник, чтобы будущие боковые рёбра не накладывались друг на друга.
Шаг 1.
Проводим равные вертикальные отрезки, являющиеся боковыми рёбрами. Затем строим верхнее основание и пунктиром изображаем те рёбра, которые не видны.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
И данную призму можно построить наклонной. Она будет выглядеть так.
Шестиугольная призма
Здесь, как и в предыдущем построении, в основании нужно начертить удобный шестиугольник. Делать это лучше всего по одному и тому же образцу. Если вы рисуете по клеткам, имеет смысл придерживаться показанных на образце размеров: так итоговая фигура получится аккуратной, а дополнительные построения — видимыми и ясными.
Не забываем следить, чтобы стороны, которые должны быть параллельны по условию, оставались параллельными и на схеме.
Шаг 1.
Дальнейшее построение выполняется по тому же алгоритму.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Наклонная призма строится аналогично.
Для всех рассмотренных призм используется один и тот же алгоритм. Главное — удачно построить фигуру в основании. Для наглядности она не обязана выглядеть правильной даже тогда, когда по условию является правильной: важнее, чтобы все нужные рёбра и дополнительные линии были различимы.
Пирамида
Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной, которую называют вершиной пирамиды.
Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат или любой другой правильный \(n\)-угольник), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.
Вид пирамиды определяется многоугольником, лежащим в основании.
Треугольная пирамида
Шаг 1. В основании треугольной пирамиды лежит треугольник. Независимо от его типа, как и при построении призмы, для наглядности удобно чертить неравнобедренный тупоугольный треугольник.
Если мы строим правильную треугольную пирамиду, отмечаем центр основания. Для равностороннего треугольника это точка пересечения медиан, поэтому достаточно провести две медианы.
Если пирамида не является правильной, проекция вершины на основание определяется условием задачи и не обязана совпадать с точкой пересечения медиан.
Шаг 2. Из выбранной точки проекции проводим вертикальную линию и ставим на неё точку — вершину пирамиды.
Шаг 3. Соединяем вершину пирамиды со всеми вершинами основания.
Шаг 4. Невидимые рёбра изображаем пунктиром. Получаем треугольную пирамиду.
Рассмотрим построение треугольной пирамиды с другим треугольником в основании.
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Вспомним: если треугольная пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проектируется в его центр. Если же все её рёбра равны, то такая фигура называется правильным тетраэдром и состоит из четырёх равносторонних треугольников.
Четырёхугольная пирамида
Если строим правильную четырёхугольную пирамиду, основание-квадрат на рисунке изображаем параллелограммом.
Чтобы найти центр квадрата, проводим обе диагонали: их точка пересечения является проекцией вершины правильной пирамиды на основание.
Для произвольной четырёхугольной пирамиды проекция вершины определяется условием задачи и не обязана лежать на пересечении диагоналей основания.
Шаг 2. Из выбранной точки проекции проводим вертикальный отрезок, который оканчивается в вершине пирамиды.
Шаг 3. Из вершины пирамиды проводим четыре отрезка к вершинам нижнего основания.
Шаг 4. Невидимые линии изображаем пунктиром. Пирамида готова.
Если в основании находится трапеция, у произвольной трапеции нет единственного “центра”, который автоматически являлся бы проекцией вершины пирамиды. Если положение высоты не задано условием, на схематическом рисунке выбираем удобную точку внутри основания так, чтобы дальнейшие рёбра не накладывались друг на друга.
Шаг 1.
Проводим отрезок до вершины пирамиды (шаг 2), затем все боковые рёбра (шаг 3). Невидимые рёбра отмечаем пунктиром (шаг 4).
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Пятиугольная и шестиугольная пирамиды
Фигуры в основании строим по тем же образцам, что и для соответствующих призм, чтобы избежать наложения линий. Дальнейшие построения выполняются по тому же алгоритму.
Пятиугольная пирамида
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Шестиугольная пирамида
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Все основные виды пирамид строятся по одному принципу: основание, вершина, боковые рёбра, невидимые линии.
Тела вращения
Тело вращения — это объёмная фигура, полученная при вращении плоской геометрической фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости. В школьной геометрии к телам вращения относят цилиндр, конус и шар.
Цилиндр
Цилиндр — это тело, которое описывает прямоугольник при вращении вокруг одной из его сторон. Верхний и нижний круги — основания цилиндра. Прямая, проходящая через центры кругов, — ось цилиндра. Отрезок, параллельный оси цилиндра, концы которого лежат на двух основаниях, — образующая цилиндра.
Цилиндр похож на призму: у него также есть два равных параллельных основания.
Шаг 1. Чтобы построить цилиндр, вначале начертим его нижнее основание. Несмотря на то, что оно является кругом, на стереометрическом рисунке мы чертим эллипс.
Шаг 2. Для построения прямого цилиндра проводим два вертикальных отрезка из крайних точек изображённого эллипса. Это видимые образующие цилиндра.
Шаг 3. В верхнем основании строим такой же эллипс. Получаем прямой цилиндр.
Цилиндр, как и призма, может быть наклонным. Для этого образующие будем проводить не вертикально, а под наклоном. Образующие должны быть параллельны и равны. Основания цилиндра также будут равны и параллельны.
Конус
Конус — это тело, которое описывает прямоугольный треугольник при вращении вокруг одного из его катетов. Данный катет является осью конуса, другой — радиусом основания, а гипотенуза — образующей конуса.
Шаг 1. По построению конус будет схож с пирамидой. Вначале начертим его основание — эллипс.
Шаг 2. Из центра основания (то есть из центра эллипса) проводим вертикальный отрезок. Он заканчивается в вершине конуса.
Шаг 3. Следом проводим образующие — отрезки, соединяющие вершину конуса с крайними видимыми точками основания. Здесь удобно, как и у цилиндра, провести две линии к концам большого диаметра изображённого эллипса.
Шар
Шар — это тело, которое описывает полукруг при вращении вокруг своего диаметра.
Шаг 1. Его построение достаточно простое. Сначала чертим эллипс — он будет изображать большой круг нашего шара. Большой круг — это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр.
Шаг 2. Через две диаметрально противоположные точки получившегося эллипса проводим окружность, центр которой совпадает с центром эллипса. Получаем шар.
Дополнение. В этой конструкции эллипс нужен именно для того, чтобы показать большой круг внутри объёмного тела, а окружность задаёт внешний контур шара.