Для этой статьи достаточно одного определения:
если \(N=a^2,\) где \(a\) — целое неотрицательное число, то \(N\) является полным квадратом и \(\sqrt N=a.\)
Полезно знать квадраты хотя бы чисел от \(1\) до \(30\):
\(\begin{array}{c|cccccccccc}
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
n^2&1&4&9&16&25&36&49&64&81&100
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|cccccccccc}
n&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\
\hline
n^2&121&144&169&196&225&256&289&324&361&400
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|cccccccccc}
n&21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\
\hline
n^2&441&484&529&576&625&676&729&784&841&900
\end{array}\)
Необязательно каждый раз вспоминать таблицу целиком. Важно знать основные ориентиры:
\(10^2=100,\) \(20^2=400,\) \(30^2=900,\) \(40^2=1600,\)
\(50^2=2500,\) \(60^2=3600,\) \(70^2=4900,\) \(80^2=6400,\) \(90^2=8100,\)
\(100^2=10000,\) \(200^2=40000,\) \(300^2=90000,\) \(1000^2=1000000.\)
Именно от этих круглых квадратов удобно начинать оценку.
Предварительная оценка корня
Перед точными вычислениями нужно определить, между какими числами находится искомый корень.
Если \(a^2<N<b^2,\) то \(a<\sqrt N<b.\)
Пример
Оценим \(\sqrt{15129}\).
Замечаем:
\(120^2=14400,\)
\(130^2=16900.\)
Следовательно, \(120<\sqrt{15129}<130.\)
Значит, если число \(15129\) является полным квадратом, его корень нужно искать только среди чисел \(121,122,123,\ldots,129.\)
Мы сразу сократили поиск до девяти вариантов.
Сколько цифр будет в корне
Цифры числа удобно разбить на пары, начиная справа. Количество получившихся групп совпадает с количеством цифр в целой части квадратного корня.
Например: \(1\,|\,51\,|\,29.\)
Получилось три группы, значит, \(\sqrt{15129}\), если он целый, является трёхзначным числом.
А для числа \(1\,|\,52\,|\,39\,|\,90\,|\,25\) получается пять групп, поэтому его квадратный корень имеет пять цифр.
Это правило особенно полезно в письменном алгоритме, который будет рассмотрен ниже.
Последняя цифра полного квадрата
Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры самого числа.
\(\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Последняя цифра числа} & \text{Последняя цифра его квадрата} \\
\hline
0 & 0 \\
\hline
1\ \text{или}\ 9 & 1 \\
\hline
2\ \text{или}\ 8 & 4 \\
\hline
3\ \text{или}\ 7 & 9 \\
\hline
4\ \text{или}\ 6 & 6 \\
\hline
5 & 5 \\
\hline
\end{array}\)
Из таблицы следуют полезные выводы:
• полный квадрат не может оканчиваться цифрой \(2\), \(3\), \(7\) или \(8\);
• если квадрат оканчивается на \(9\), корень оканчивается на \(3\) или \(7\);
• если квадрат оканчивается на \(6\), корень оканчивается на \(4\) или \(6\);
• если квадрат оканчивается на \(5\), корень оканчивается на \(5\), а сам квадрат обязательно оканчивается на \(25\);
• если полный квадрат оканчивается нулями, количество нулей в конце должно быть чётным.
Эти признаки не всегда позволяют сразу найти ответ, но резко уменьшают число возможных вариантов.
Пример
Вернёмся к числу \(15129\).
Мы уже знаем, что \(120<\sqrt{15129}<130.\)
Число \(15129\) оканчивается цифрой \(9\), поэтому его целый корень долженоканчиваться цифрой \(3\) или \(7\).
Среди чисел от \(121\) до \(129\) остаются только два кандидата: \(123\) и \(127.\)
Проверим первый:
\(123^2=(120+3)^2=120^2+2\cdot120\cdot3+3^2=
14400+720+9=15129.\)
Следовательно, \(\boxed{\sqrt{15129}=123}.\)
Способ 1. Оценка и последняя цифра
Этот способ удобен, когда корень находится между двумя близкими круглыми числами, а последняя цифра подкоренного числа оставляет один или два варианта.
Алгоритм
1. Найдите два удобных соседних квадрата, между которыми находится число.
2. Определите возможную последнюю цифру корня.
3. Выпишите оставшиеся кандидаты.
4. Проверьте их возведением в квадрат.
Пример 1
Найдём \(\sqrt{23716}.\)
Сначала оцениваем:
\(150^2=22500,\)
\(160^2=25600.\)
Значит, \(150<\sqrt{23716}<160.\)
Число \(23716\) оканчивается цифрой \(6\). Следовательно, корень может оканчиваться цифрой \(4\) или \(6\). Остаются два кандидата: \(154\) и \(156.\)
Проверяем число \(154\):
\(154^2=(150+4)^2=22500+1200+16=23716.\)
Поэтому \(\boxed{\sqrt{23716}=154}.\)
Пример 2
Найдём \(\sqrt{99856}.\)
Имеем:
\(310^2=96100,\)
\(320^2=102400.\)
Поэтому \(310<\sqrt{99856}<320.\)
Последняя цифра подкоренного числа равна \(6\), значит, корень оканчивается на \(4\) или \(6\). Среди чисел от \(311\) до \(319\) остаются два кандидата: \(314\) и \(316.\)
Можно ещё немного уточнить оценку: \(315^2=(300+15)^2=99225<99856.\)
Значит, \(\sqrt{99856}>315,\) и из двух кандидатов остаётся только \(316\). Проверяем:
\(316^2=(300+16)^2=90000+9600+256=99856.\)
Следовательно, \(\boxed{\sqrt{99856}=316}.\)
Способ 2. Формулы сокращённого умножения
Если предполагаемый корень близок к круглому числу, удобно пользоваться
формулами
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)
Этот способ особенно полезен для чисел, близких к квадратам \(100\), \(1000\), \(10000\) и других круглых чисел.
Пример 1
Найдём \(\sqrt{998001}.\)
Число \(998001\) немного меньше миллиона, а \(1000^2=1000000.\)
Проверим квадрат числа \(999=1000-1\):
\(999^2=(1000-1)^2=1000000-2000+1=998001.\)
Поэтому \(\boxed{\sqrt{998001}=999}.\)
Пример 2
Найдём \(\sqrt{1002001}.\)
Число немного больше миллиона. Проверим квадрат числа \(1001=1000+1\):
\(1001^2=(1000+1)^2=1000000+2000+1=1002001.\)
Следовательно, \(\boxed{\sqrt{1002001}=1001}.\)
Пример 3
Найдём \(\sqrt{390625}.\)
Число оканчивается на \(25\), поэтому корень может оканчиваться на \(5\).
Кроме того, \(600^2=360000,\) \(700^2=490000,\) значит, корень находится между \(600\) и \(700\).
Проверим число \(625=600+25\):
\(625^2=(600+25)^2=360000+30000+625=390625.\)
Поэтому \(\boxed{\sqrt{390625}=625}.\)
Способ 3. Разложение на множители
Иногда подкоренное число удобно представить как произведение полных квадратов.
Тогда используется свойство
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\) \(a\geqslant0,\ b\geqslant0.\)
Особенно удобно раскладывать число так, чтобы каждый множитель был полным квадратом.
Пример 1
Найдём \(\sqrt{176400}.\)
Замечаем: \(176400=1764\cdot100.\)
При этом \(1764=42^2,\) \(100=10^2.\)
Поэтому \(\sqrt{176400}=\sqrt{1764}\cdot\sqrt{100}=42\cdot10=420.\)
Ответ. \(420\).
Пример 2
Найдём \(\sqrt{63504}.\)
Число можно разложить следующим образом: \(63504=16\cdot3969.\)
Причём \(16=4^2,\) \(3969=63^2.\)
Тогда \(\sqrt{63504}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3969}=4\cdot63=252.\)
Ответ. \(252\).
Разложение на простые множители
Если удобное разложение не видно сразу, число можно разложить на простые множители. У полного квадрата каждый простой множитель входит в разложение чётное число раз.
Например, \(63504=2^4\cdot3^4\cdot7^2.\)
Тогда \(\sqrt{63504}=2^2\cdot3^2\cdot7=4\cdot9\cdot7=252.\)
Этот способ надёжен, но для очень больших чисел разложение иногда оказывается длиннее письменного извлечения корня.
Способ 4. Письменное извлечение квадратного корня
Существует алгоритм, похожий на деление уголком. Он позволяет извлекать квадратный корень из любого числа без угадывания. Если число не является полным квадратом, алгоритм можно продолжить после запятой и получить нужное приближение.
Главная идея алгоритма
Разобьём цифры числа на пары справа налево. Для числа \(15129\) получаем \(1\,|\,51\,|\,29.\)
Далее цифры корня находятся по одной.
Если уже найдена часть корня \(r\), а после сноса очередной пары получено число \(C\), нужно подобрать следующую цифру \(d\) так, чтобы \((20r+d)d\leqslant C,\) причём цифра \(d\) должна быть наибольшей из подходящих.
Почему появляется именно выражение \((20r+d)d\)? Если к уже найденной части корня \(r\) приписать новую цифру \(d\), получится число \(10r+d.\)
Его квадрат отличается от \((10r)^2\) на \((10r+d)^2-(10r)^2
=
20rd+d^2
=
(20r+d)d.\)
Именно эту добавку мы и вычитаем на очередном шаге письменного алгоритма.
После этого:
• цифру \(d\) приписывают справа к найденной части корня;
• из \(C\) вычитают \((20r+d)d\);
• сносят следующую пару цифр;
• повторяют действия.
Сначала формула может выглядеть непривычно, поэтому разберём алгоритм очень подробно на конкретном примере.
Подробный пример: \(\sqrt{15129}\)
Разобьём число на пары: \(1\,|\,51\,|\,29.\)
Шаг 1. Работаем с первой группой
Первая группа — число \(1\). Находим наибольшую цифру, квадрат которойне превосходит \(1\). Это цифра \(1\), поскольку \(1^2=1.\)
Записываем первую цифру корня: \(\sqrt{15129}=1\ldots\) и вычитаем: \(1-1^2=0.\)
Шаг 2. Сносим следующую пару
Сносим пару \(51\). Получаем число \(51\).
Найденная часть корня пока равна \(1\). Удваиваем её: \(2\cdot1=2.\)
Теперь подбираем цифру \(d\), для которой \((20+d)d\leqslant51.\)
Проверяем \(d=2\): \((20+2)\cdot2=44.\)
Проверяем следующую цифру \(d=3\): \((20+3)\cdot3=69>51.\)
Следовательно, подходит цифра \(2\).
Приписываем её к корню: \(\sqrt{15129}=12\ldots\) и находим остаток: \(51-44=7.\)
Шаг 3. Сносим последнюю пару
Сносим пару \(29\), приписывая её к остатку \(7\): \(729.\)
Найденная часть корня равна \(12\). Удваиваем её: \(2\cdot12=24.\)
Подбираем цифру \(d\), для которой \((240+d)d\leqslant729.\)
Проверяем \(d=3\): \((240+3)\cdot3=243\cdot3=729.\)
Получили точное равенство. Значит, последняя цифра корня равна \(3\), а остаток равен нулю.
Итак, \(\boxed{\sqrt{15129}=123}.\)
Весь процесс можно кратко записать в таблице:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}\text{Снесённая}\\\text{группа}\end{array} &
\begin{array}{c}\text{Число для}\\\text{работы}\end{array} &
\begin{array}{c}\text{Найденная}\\\text{часть корня}\end{array} &
\text{Вычитаем} & \text{Остаток} \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1^2=1 & 0 \\
\hline
51 & 51 & 12 & (20+2)\cdot2=44 & 7 \\
\hline
29 & 729 & 123 & (240+3)\cdot3=729 & 0 \\
\hline
\end{array}\)
Ещё один пример: \(\sqrt{1522756}\)
Разобьём число на пары: \(1\,|\,52\,|\,27\,|\,56.\)
1. Из первой группы \(1\) получаем первую цифру корня \(1\). Остаток равен нулю.
2. Сносим \(52\). Удваиваем найденный корень \(1\): получаем \(2\).
Подбираем цифру \(2\): \((20+2)\cdot2=44.\)
Остаток: \(52-44=8.\)
Найденная часть корня равна \(12\).
3. Сносим \(27\): получаем \(827\). Удваиваем \(12\): получаем \(24\).
Подбираем цифру \(3\):\((240+3)\cdot3=729.\)
Остаток: \(827-729=98.\)
Найденная часть корня равна \(123\).
4. Сносим \(56\): получаем \(9856\). Удваиваем \(123\): получаем \(246\). Подбираем цифру \(4\): \((2460+4)\cdot4=2464\cdot4=9856.\)
Остаток равен нулю.
Следовательно, \(\boxed{\sqrt{1522756}=1234}.\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Группа} & \text{Число} & \text{Корень} & \text{Вычитаем} & \text{Остаток} \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
\hline
52 & 52 & 12 & 44 & 8 \\
\hline
27 & 827 & 123 & 729 & 98 \\
\hline
56 & 9856 & 1234 & 9856 & 0 \\
\hline
\end{array}\)
Приближённое извлечение корня
Если число не является полным квадратом, письменный алгоритм можно продолжить после запятой. Для этого к числу приписывают пары нулей:
\(2=2{,}000000\ldots=2\,|\,00\,|\,00\,|\,00\,|\ldots\)
Каждая новая снесённая пара даёт ещё одну цифру после запятой в значении корня.
Пример: найдём \(\sqrt2\) с точностью до тысячных
Разбиваем число на группы: \(2\,|\,00\,|\,00\,|\,00\,|\ldots\)
Первая цифра
Наибольшая цифра, квадрат которой не превосходит \(2\), равна \(1\): \(1^2=1.\)
Остаток: \(2-1=1.\)
Целая часть корня равна \(1\).
Первая цифра после запятой
Сносим пару \(00\): получаем \(100\). Удваиваем \(1\): получаем \(2\).
Подбираем цифру \(4\): \((20+4)\cdot4=96.\)
Цифра \(5\) уже не подходит, так как \((20+5)\cdot5=125>100.\)
Остаток: \(100-96=4.\)
Получили \(1{,}4\).
Вторая цифра после запятой
Сносим следующую пару \(00\): получаем \(400\). Найденные цифры корня без запятой образуют число \(14\).
Удваиваем его: \(2\cdot14=28.\)
Подбираем цифру \(1\): \((280+1)\cdot1=281.\)
Цифра \(2\) не подходит: \((280+2)\cdot2=564>400.\)
Остаток: \(400-281=119.\)
Получили \(1{,}41\).
Третья цифра после запятой
Сносим ещё одну пару \(00\): получаем \(11900\). Найденные цифры корня без запятой образуют число \(141\).
Удваиваем: \(2\cdot141=282.\)
Подбираем цифру \(4\): \((2820+4)\cdot4=2824\cdot4=11296.\)
Цифра \(5\) дала бы число, большее \(11900\). Поэтому третья цифра после запятой равна \(4\).
Получаем: \(\sqrt2\approx1{,}414.\)
Для правильного округления до тысячных желательно найти ещё одну цифру.
В данном случае следующая цифра равна \(2\), поэтому округление не меняется:
\(\boxed{\sqrt2\approx1{,}414}.\)
Как выбрать способ
\(\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Как выглядит число} & \text{Какой способ удобнее} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Корень близок к}\\\text{круглому числу}\end{array} &
\begin{array}{c}\text{Оценка, последняя цифра и формула}\\(a\pm b)^2\end{array} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Число легко раскладывается}\\\text{на полные квадраты}\end{array} &
\text{Разложение на множители} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Число большое и его}\\\text{структура не видна}\end{array} &
\text{Письменное извлечение корня} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Число не является}\\\text{полным квадратом}\end{array} &
\begin{array}{c}\text{Оценка или письменный алгоритм}\\\text{с продолжением после запятой}\end{array} \\
\hline
\end{array}\)
На практике полезно сначала потратить несколько секунд на анализ числа.
Письменный алгоритм работает всегда, но иногда ответ можно получить гораздо быстрее с помощью структуры числа.
Типичные ошибки
1. Записывают оба знака при извлечении корня.
Неверно: \(\sqrt{144}=\pm12.\)
Верно: \(\sqrt{144}=12.\)
Знаки \(\pm\) появляются при решении уравнения \(x^2=144\), а не при вычислении арифметического квадратного корня.
2. Забывают модуль в формуле \(\sqrt{a^2}\).
Верно: \(\sqrt{a^2}=|a|.\)
3. Пытаются извлечь корень из суммы по частям.
В общем случае \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b.\)
Например, \(\sqrt{9+16}=5,\) но \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7.\)
4. Неправильно разбивают число на пары.
Пары отделяются справа налево: \(1522756=1\,|\,52\,|\,27\,|\,56.\)
5. После сноса пары складывают числа вместо приписывания.
Если остаток равен \(7\), а следующая пара равна \(29\), получается число \(729\), а не \(7+29\).
6. В письменном алгоритме берут не наибольшую подходящую цифру.
На каждом шаге нужно выбирать максимальную цифру от \(0\) до \(9\), для которой произведение не превосходит текущего числа.
7. Останавливаются слишком рано при округлении.
Чтобы округлить результат до сотых, нужно знать хотя бы третью цифру послезапятой; чтобы округлить до тысячных — хотя бы четвёртую.
8. Не проверяют ответ.
Если получен целый корень, достаточно возвести его в квадрат. Такая проверка часто занимает меньше времени, чем поиск ошибки в решении.
Краткая памятка
1. Сначала оцените величину корня между двумя известными квадратами.
2. Посмотрите на последнюю цифру подкоренного числа.
3. Проверьте, не является ли число квадратом числа, близкого к круглому.
4. Попробуйте разложить число на произведение полных квадратов.
5. Если удобная структура не находится, применяйте письменный алгоритм.
6. В письменном алгоритме разбивайте цифры на пары справа налево.
7. После нахождения части корня \(r\) подбирайте следующую цифру \(d\) по условию \((20r+d)d\leqslant C.\)
8. Для приближённого значения сносите после запятой пары нулей.
9. Всегда проверяйте целый ответ возведением в квадрат.
Задачи для самостоятельной работы
Задачи расположены с постепенным повышением сложности. В первых заданиях удобно применять оценку и последнюю цифру, затем — разложение на множители и формулы, а в последних заданиях рекомендуется использовать письменный алгоритм.
Уровень 1. Базовые квадраты и оценка
Найдите:
1. \(\sqrt{1225}\).
2. \(\sqrt{3481}\).
3. \(\sqrt{7056}\).
4. \(\sqrt{9409}\).
5. \(\sqrt{15129}\).
6. \(\sqrt{23716}\).
7. \(\sqrt{44521}\).
8. \(\sqrt{99856}\).
Уровень 2. Структура числа
Найдите:
9. \(\sqrt{998001}\).
10. \(\sqrt{1002001}\).
11. \(\sqrt{390625}\).
12. \(\sqrt{63504}\).
13. \(\sqrt{176400}\).
14. \(\sqrt{1048576}\).
Уровень 3. Письменное извлечение корня
Найдите письменным способом:
15. \(\sqrt{1522756}\).
16. \(\sqrt{1234321}\).
17. \(\sqrt{152399025}\).
18. \(\sqrt{111556}\).
19. \(\sqrt{21473956}\).
Уровень 4. Проверка и приближение
20. Докажите, не вычисляя корень, что число \(12345\) не является полным квадратом.
21. Между какими соседними целыми числами находится \(\sqrt{5000}\)?
22. Найдите \(\sqrt3\) с точностью до сотых.
23. Найдите \(\sqrt{10}\) с точностью до тысячных.
24. Найдите \(\sqrt{50}\) с точностью до десятых.
Ответы
1. \(35\).
2. \(59\).
3. \(84\).
4. \(97\).
5. \(123\).
6. \(154\).
7. \(211\).
8. \(316\).
9. \(999\).
10. \(1001\).
11. \(625\).
12. \(252\).
13. \(420\).
14. \(1024\).
15. \(1234\).
16. \(1111\).
17. \(12345\).
18. \(334\).
19. \(4634\).
20. Число \(12345\) не является полным квадратом.
21. Между \(70\) и \(71\).
22. \(\sqrt3\approx1{,}73\).
23. \(\sqrt{10}\approx3{,}162\).
24. \(\sqrt{50}\approx7{,}1\).