С понятием числовой последовательности удобно познакомиться заранее на примере арифметической прогрессии. Теперь рассмотрим другой важный тип последовательностей.
Определение
Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же ненулевое число \(q\).
Число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии.
Например, \(2;\ 6;\ 18;\ 54;\ldots\) — геометрическая прогрессия с \(b_1=2,\) \(q=3.\)
Для соседних членов:
\(\boxed{b_{n+1}=b_nq}.\)
Отсюда:
\(\boxed{q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}}.\)
При вычислении знаменателя важно делить следующий член на предыдущий, а не наоборот.
Как знаменатель влияет на прогрессию
Знак \(q\) определяет знаки членов прогрессии:
• если \(q>0\), все члены имеют тот же знак, что и \(b_1\);
• если \(q<0\), знаки членов чередуются.
Модуль \(q\) определяет изменение модулей членов:
Условие — Что происходит
\(|q|>1\) — модули членов увеличиваются;
\(0<|q|<1\) — модули членов уменьшаются и стремятся к нулю;
\(q=1\) — получается постоянная прогрессия;
\(q=-1\) — знаки чередуются, а модули всех членов одинаковы.
Например, при \(b_1=2\): \(q=2:\) \(2;\ 4;\ 8;\ 16;\ldots\)
\(q=-2:\) \(2;\ -4;\ 8;\ -16;\ldots\)
\(q=\dfrac12:\) \(2;\ 1;\ \dfrac12;\ \dfrac14;\ldots\)
\(q=-\dfrac12:\) \(2;\ -1;\ \dfrac12;\ -\dfrac14;\ldots\)
Важно
Последовательности с \(q=1\) и \(q=-1\) также являются геометрическими прогрессиями. В используемом здесь определении исключается только \(q=0\), поскольку члены геометрической прогрессии считаются ненулевыми.
Формула \(n\)-го члена
Пусть известны первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\). Тогда: \(b_2=b_1q,\) \(b_3=b_1q^2,\) \(b_4=b_1q^3.\)
Поэтому: \(\boxed{b_n=b_1q^{n-1}}.\)
То есть для перехода от первого члена к \(n\)-му нужно умножить на \(q\) ровно \(n-1\) раз.
Необязательно выражать каждый член через \(b_1\). Для любых допустимых индексов \(m\) и \(n\):
\(\boxed{b_m=b_nq^{m-n}}\)
Например: \(b_{15}=b_{10}q^5.\)
Основные свойства
Равенство отношений
Так как знаменатель \(q\) постоянен,
\(\boxed{ \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{b_n}{b_{n-1}} =q }\)
Это свойство позволяет распознавать геометрическую прогрессию по нескольким соседним членам.
Симметричные по индексам члены
Из формулы \(n\)-го члена следует:
\(\boxed{b_n^2=b_{n-k}b_{n+k}}.\)
В частности:
\(\boxed{b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}}.\)
Если рассматриваются положительные члены прогрессии, то можно записать:
\(\boxed{ b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} }.\)
То есть положительный внутренний член является средним геометрическим двух соседних.
Для прогрессий с отрицательными членами безопаснее пользоваться формулой \(b_n^2=b_{n-1}b_{n+1},\) потому что квадратный корень по определению неотрицателен.
Сумма первых \(n\) членов
Обозначим: \(S_n=b_1+b_2+\ldots+b_n.\)
Если \(q\ne1\), то:
\(\boxed{ S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1} }.\)
Эту же формулу можно записать в эквивалентном виде:
\(\boxed{ S_n=b_1\dfrac{1-q^n}{1-q} }.\)
Обычно выбирают ту форму, в которой вычисления удобнее.
При \(q=1\) все члены равны \(b_1\), поэтому отдельно:
\(\boxed{S_n=nb_1}.\)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
В школьной терминологии бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, для которой \(|q|<1.\)
В этом случае:
\(q^n\longrightarrow0\) \(\text{при }n\longrightarrow\infty.\)
Например, при \(q=\dfrac12\) получаем: \(\dfrac12,\) \(\dfrac14,\) \(\dfrac18,\) \(\dfrac1{16},\ldots\)
Поэтому из формулы конечной суммы \(S_n=b_1\dfrac{1-q^n}{1-q}\) получаем сумму бесконечного числа членов:
\(\boxed{ S=\dfrac{b_1}{1-q} },\) \(|q|<1.\)
Например: \(\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\ldots=1.\)
Действительно: \(S= \dfrac{\dfrac12}{1-\dfrac12} =1.\)
Периодические десятичные дроби
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия позволяет переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные.
Например: \(0,(7)=0{,}777\ldots\)
Разложим число в сумму: \(0{,}777\ldots = 0{,}7+0{,}07+0{,}007+\ldots\)
Это геометрическая прогрессия с \(b_1=0{,}7,\) \(q=0{,}1.\)
Следовательно: \(0,(7) = \dfrac{0{,}7}{1-0{,}1} = \dfrac79.\)
Короткая памятка
Для геометрической прогрессии чаще всего нужны формулы:
\(q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n},\)
\(\boxed{b_n=b_1q^{n-1}},\)
\(\boxed{b_m=b_nq^{m-n}},\)
\(\boxed{b_n^2=b_{n-k}b_{n+k}},\)
\(\boxed{S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1}},\) \(q\ne1,\)
\(\boxed{S=\dfrac{b_1}{1-q}},\) \(|q|<1.\)
Как выбирать формулу в задаче
1. Если нужно найти конкретный член и известны \(b_1\), \(q\) и номер, используйте \(b_n=b_1q^{n-1}.\)
2. Если известны два члена с разными индексами, удобно использовать \(b_m=b_nq^{m-n}\) и сначала найти \(q\).
3. Если нужно найти сумму конечного числа членов, используйте формулу \(S_n\) и отдельно проверьте случай \(q=1\).
4. Если в условии встречаются симметричные по индексам члены, полезно свойство \(b_n^2=b_{n-k}b_{n+k}.\)
5. Если прогрессия бесконечная, сначала обязательно проверьте условие \(|q|<1.\) Только после этого применяйте \(S=\dfrac{b_1}{1-q}.\)
6. Если дана периодическая десятичная дробь, попробуйте представить её как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Разобранные примеры
Задача 1. Формула \(n\)-го члена
Дана геометрическая прогрессия \(b_1,b_2,\ldots\). Известно, что \(b_1=\dfrac23,\) \(q=-3.\) Найдите \(b_6\).
Решение. Используем формулу: \(b_n=b_1q^{n-1}.\)
Тогда: \(b_6 = \dfrac23(-3)^5 = \dfrac23\cdot(-243) =-162.\)
Ответ: \(-162\).
Задача 2. Сумма бесконечно убывающей прогрессии
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \(12;\ 4;\ \dfrac43;\ldots\)
Решение. Сначала найдём знаменатель: \(q=\dfrac4{12}=\dfrac13.\)
Так как \(|q|=\dfrac13<1,\) формула бесконечной суммы применима: \(S = \dfrac{12}{1-\dfrac13} = \dfrac{12}{\dfrac23} =18.\)
Ответ: \(18\).
Задача 3. Сумма первых \(12\) членов
Дана геометрическая прогрессия: \(2;\ 6;\ 18;\ldots\) Найдите сумму первых двенадцати членов.
Решение. \(b_1=2,\) \(q=3.\)
\(S_{12} = 2\dfrac{3^{12}-1}{3-1} = 3^{12}-1 =531440.\)
Ответ: \(531440\).
Задача 4. Периодическая дробь
Запишите число \(0,(7)\) в виде обыкновенной дроби.
Решение. \(0,(7) = 0{,}7+0{,}07+0{,}007+\ldots\)
Здесь: \(b_1=0{,}7,\) \(q=0{,}1.\)
Следовательно: \(0,(7) = \dfrac{0{,}7}{1-0{,}1} = \dfrac79.\)
Ответ: \(\dfrac79\).
Задача 5. Вставить числа между двумя членами
Между числами \(16\) и \(81\) вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
Решение. Всего будет пять членов: \(b_1=16,\) \(b_5=81.\)
По формуле \(n\)-го члена: \(81=16q^4.\)
\(q^4=\dfrac{81}{16}.\)
Поэтому: \(q=\pm\dfrac32.\)
При \(q=\dfrac32\): \(16;\ 24;\ 36;\ 54;\ 81.\)
При \(q=-\dfrac32\): \(16;\ -24;\ 36;\ -54;\ 81.\)
Ответ: \(16;24;36;54;81\) или \(16;-24;36;-54;81\).
Задача 6. Связь арифметической и геометрической прогрессий
Три числа, из которых третье равно \(12\), образуют геометрическую прогрессию. Если вместо \(12\) взять \(9\), то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.
Решение. Запишем три члена геометрической прогрессии как \(b,\) \(bq,\) \(bq^2.\)
Так как третий член равен \(12\): \(bq^2=12.\)
После замены третьего числа на \(9\) числа \(b,\) \(bq,\) \(9\) образуют арифметическую прогрессию. Поэтому: \(bq-b=9-bq.\)
Получаем систему: \(\begin{cases} bq^2=12,\\ 2bq-b=9. \end{cases}\)
Её решения: \((b,q)=\left(27,\dfrac23\right)\) или \((b,q)=(3,2).\)
Поэтому получаются две прогрессии: \(27;\ 18;\ 12\) и \(3;\ 6;\ 12.\)
Ответ: \(27;18;12\) и \(3;6;12\).
Задача 7. Использование разности сумм
Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на \(\dfrac32\) больше, чем сумма первых трёх, а пятый член равен учетверённому третьему. Найдите четвёртый член прогрессии, если знаменатель положителен.
Решение. Пусть первые пять членов имеют вид: \(b,\) \(bq,\) \(bq^2,\) \(bq^3,\) \(bq^4.\)
По условию: \(bq^4=4bq^2.\)
Так как члены прогрессии ненулевые: \(q^2=4.\)
Знаменатель положителен, поэтому: \(q=2.\)
Кроме того: \(S_5-S_3=bq^3+bq^4=\dfrac32.\)
Подставляем \(q=2\):
\(8b+16b=\dfrac32.\)
\(24b=\dfrac32,\) \(b=\dfrac1{16}.\)
Четвёртый член: \(b_4=bq^3 = \dfrac1{16}\cdot8 = \dfrac12.\)
Ответ: \(\dfrac12\).
Задачи для самопроверки
1. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \(9;\ -3;\ 1;\ldots\)
2. Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены — целые числа. Обязательно ли второй член этой прогрессии рационален?
3. Между числами \(27\) и \(8\) вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
4. Представьте в виде обыкновенной дроби: \(\text{а) }0,(24);\) \(\text{б) }1,2(3).\)
5. Дана геометрическая прогрессия из трёх членов с натуральным первым членом и натуральным знаменателем, большим единицы. Приведите пример такой прогрессии, произведение всех трёх членов которой равно \(9261\).
6. Найдите третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна \(1{,}6\), а второй член равен \(-0{,}5\).
7. Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, если сумма крайних членов равна \(-49\), а сумма средних равна \(14\).
8. Произведение первого, третьего и одиннадцатого членов геометрической прогрессии равно \(8\). Найдите произведение второго и восьмого её членов.
9. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен \(\dfrac13\), четвёртый член равен \(\dfrac1{54}\), а сумма всех её членов равна \(\dfrac{121}{162}\). Найдите число членов прогрессии.
10. Произведение первых трёх членов геометрической прогрессии равно \(1728\), а их сумма равна \(63\). Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Ответы
1. \(\dfrac{27}{4}=6{,}75\).
2. Нет. Например, \(1;\ \sqrt2;\ 2;\ 2\sqrt2;\ldots\) — геометрическая прогрессия.
3. \(27;\ 18;\ 12;\ 8.\)
4. \(\text{а) }\dfrac8{33};\) \(\text{б) }\dfrac{37}{30}.\)
5. Например, \(3;\ 21;\ 147.\)
6. \(\dfrac18\).
7. \(7;\ -14;\ 28;\ -56\) или \(-56;\ 28;\ -14;\ 7.\)
8. \(4\).
9. \(5\).
10. \(b_1=3,\ q=4\) или \(b_1=48,\ q=\dfrac14.\)