Рассмотрим квадратное уравнение
\(ax^2+bx+c=0\),
где \(a\neq0\)
Обычный дискриминант вычисляется по формуле
\(D=b^2-4ac\),
а действительные корни при \(D\geq0\) находятся по формуле
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)
Если коэффициенты уравнения целые и коэффициент \(b\) чётный, вычисления часто можно заметно упростить. В этом случае удобно использовать величину
\(\boxed{\dfrac{D}{4}=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac}\)
В учебной практике её часто называют «дискриминантом на 4». Это не другой дискриминант: данная величина действительно равна одной четверти обычного дискриминанта.
Удобно обозначить
\(k=\dfrac{b}{2}\)
Тогда формулы принимают особенно простой вид:
\(\boxed{\dfrac{D}{4}=k^2-ac}\)
\(\boxed{x=\dfrac{-k\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}}\)
Важно
Тождество
\(\dfrac{D}{4}=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac\)
верно при любом \(b\). Однако при нечётном целом \(b\) число \(\dfrac{b}{2}\) будет дробным, поэтому вычислительное преимущество метода обычно исчезает. На практике метод \(\dfrac{D}{4}\) особенно удобен именно при чётном \(b\).
Алгоритм решения
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\):
1. Если уравнение записано не в стандартном виде, сначала перенесите все слагаемые в одну часть.
2. Найдите \(k=\dfrac{b}{2}\)
3. Вычислите \(\dfrac{D}{4}=k^2-ac\)
4. Определите число действительных корней:
если \(\dfrac{D}{4}<0\), действительных корней нет;
если \(\dfrac{D}{4}=0\), есть один корень \(x=-\dfrac{k}{a}\);
если \(\dfrac{D}{4}>0\), есть два корня \(x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}\).
Разобранные примеры
Пример 1. Сравнение с обычным дискриминантом
Решим уравнение
\(5x^2+16x+3=0\)
Сначала обычным способом:
\(D=16^2-4\cdot5\cdot3=256-60=196=14^2\),
\(x=\dfrac{-16\pm14}{10}\)
Получаем:
\(x_1=-3\)
\(x_2=-\dfrac15\)
Теперь используем метод \(\dfrac{D}{4}\). Здесь
\(k=\dfrac{16}{2}=8\)
Поэтому
\(\dfrac{D}{4}=8^2-5\cdot3=64-15=49=7^2\)
\(x=\dfrac{-8\pm7}{5}\)
Получаем те же корни:
\(x_1=-3\)
\(x_2=-\dfrac15\)
Вычисления с методом \(\dfrac{D}{4}\) короче: вместо \(16^2\) достаточно вычислить \(8^2\).
Ответ: \(-3;-\dfrac15\).
Пример 2. \(\dfrac{D}{4}<0\)
Решим уравнение
\(x^2-20x+136=0\)
Здесь \(k=-10\)
Тогда
\(\dfrac{D}{4}=(-10)^2-136=100-136=-36<0\)
Следовательно, действительных корней нет.
Ответ: действительных корней нет.
Пример 3. Корни с радикалом
Решим уравнение
\(2x^2+8x+5=0\)
Имеем \(k=4\),
\(\dfrac{D}{4}=4^2-2\cdot5=16-10=6\).
Так как \(\dfrac{D}{4}>0\),
\(x=\dfrac{-4\pm\sqrt6}{2}\).
Ответ: \(x=\dfrac{-4\pm\sqrt6}{2}\).
Пример 4. Большой коэффициент \(b\)
Решим уравнение
\(x^2-26x-56=0\)
Здесь \(k=-13\),
Тогда
\(\dfrac{D}{4}=(-13)^2-1\cdot(-56)=169+56=225=15^2\)
Следовательно,
\(x=\dfrac{13\pm15}{1}\)
Получаем:
\(x_1=28\)
\(x_2=-2\).
Метод особенно удобен в этом примере: не приходится вычислять \(26^2\).
Ответ: \(-2;28\).
Пример 5. \(\dfrac{D}{4}=0\)
Решим уравнение
\(3x^2+12x+12=0\)
Имеем \(k=6\),
\(\dfrac{D}{4}=6^2-3\cdot12=36-36=0\)
Значит, уравнение имеет один действительный корень:
\(x=-\dfrac{6}{3}=-2\).
Ответ: \(-2\).
Почему формула работает
Пусть коэффициент \(b\) чётный и \(b=2k\).
Тогда обычный дискриминант равен
\(D=b^2-4ac=(2k)^2-4ac=4k^2-4ac=4(k^2-ac)\)
Делим обе части на \(4\):
\(\boxed{\dfrac{D}{4}=k^2-ac}\)
Теперь возьмём обычную формулу корней:
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
Подставим \(b=2k\) и \(D=4(k^2-ac)\):
\(x=\dfrac{-2k\pm\sqrt{4(k^2-ac)}}{2a}\)
При неотрицательном \(k^2-ac\):
\(x=\dfrac{-2k\pm2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}\)
Так как
\(k^2-ac=\dfrac{D}{4}\),
получаем
\(\boxed{x=\dfrac{-k\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}}\)
Кроме того, \(D\) и \(\dfrac{D}{4}\) имеют одинаковый знак, поэтому по знаку \(\dfrac{D}{4}\) можно определять число действительных корней точно так же, как по обычному дискриминанту.
Как выбирать между \(D\) и \(\dfrac{D}{4}\)?
• Если коэффициент \(b\) чётный, метод \(\dfrac{D}{4}\) обычно делает вычисления короче.
• Если \(b\) нечётный, обычный дискриминант чаще оказывается удобнее, потому что \(\dfrac{b}{2}\) становится дробным.
• Оба способа математически эквивалентны и приводят к одним и тем же корням.
• Если уравнение сначала нужно привести к виду \(ax^2+bx+c=0\), коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) определяют только после этого преобразования.
Типичные ошибки
1. В формуле используется квадрат половины коэффициента \(\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\), а не \(\dfrac{b^2}{2}\).
2. Не теряйте знак коэффициента \(b\). Например, если \(b=-26\), то \(k=-13\), а в формуле корней появляется \(-k=13\).
3. В формуле метода \(\dfrac{D}{4}\) знаменатель равен \(a\), а не \(2a\):
\(x=\dfrac{-k\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}\)
4. В произведении \(ac\) учитывайте знак \(c\). Например, при \(c=-56\):
\(-ac=-1\cdot(-56)=56\)
5. Если уравнение дано, например, в виде \(2x+3=-2x^2\), сначала приведите его к стандартному виду: \(2x^2+2x+3=0\).
Короткая памятка
Если \(ax^2+bx+c=0\) и удобно использовать метод \(\dfrac{D}{4}\), вычислите \(k=\dfrac{b}{2}\).
Тогда:
\(\boxed{\dfrac{D}{4}=k^2-ac}\)
Если \(\dfrac{D}{4}<0\), действительных корней нет.
Если \(\dfrac{D}{4}=0\), \(\boxed{x=-\dfrac{k}{a}}\).
Если \(\dfrac{D}{4}>0\), \(\boxed{x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{\dfrac{D}{4}}}{a}}\).
Задачи для самопроверки
Решите уравнения методом \(\dfrac{D}{4}\), если этот способ удобен.
1. \(5x^2+8x-4=0\).
2. \(x^2-4x-7=0\).
3. \(x^2-8x+2=0\).
4. \(2x+3=-2x^2\).
5. \(7x^2-20x-1067=0\).
6. \(3x^2+12x+12=0\).
7. \(4x^2-28x+45=0\).
8. \(6x^2+30x+36=0\).
Ответы
1. \(-2;\dfrac25\)
2. \(2-\sqrt{11};2+\sqrt{11}\)
3. \(4-\sqrt{14};4+\sqrt{14}\)
4. Действительных корней нет
5. \(-11;\dfrac{97}{7}\)
6. \(-2\)
7. \(\dfrac52;\dfrac92\)
8. \(-3;-2\)