Аналогия с делением чисел
Вспомним, как мы делим обычные числа уголком. Например, разделим \(595\) на \(17\).
1. Сначала берём столько первых цифр делимого, чтобы полученное число было не меньше делителя. Число \(5\) слишком мало, поэтому берём \(59\).
Сколько раз \(17\) помещается в \(59\)? Три раза. Записываем \(3\) в частное.
2. Умножаем: \(3\cdot17=51.\)
Вычитаем: \(59-51=8.\)
Сносим следующую цифру \(5\) и получаем \(85\).
Теперь \(85:17=5.\)
Записываем \(5\) в частное, умножаем: \(5\cdot17=85,\) и после вычитания получаем нуль.
Значит, \(595:17=35.\)
С многочленами идея практически та же: на каждом шаге мы выясняем, какой член нужно записать в частное, затем умножаем на него весь делитель и вычитаем результат.
Что значит разделить многочлены
Пусть многочлен \(P(x)\) делят на ненулевой многочлен \(D(x)\). В результате получают частное \(Q(x)\) и остаток \(R(x)\), для которых
\(P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x).\)
При этом возможны два случая:
• остаток равен нулю;
• остаток не равен нулю, но его степень меньше степени делителя.
Если \(R(x)=0,\) то говорят, что многочлен делится на делитель нацело.
Например, если \(x^2+8x+15=(x+5)(x+3),\) то при делении \(x^2+8x+15\) на \(x+5\) частное равно \(x+3\), а остаток равен нулю.
Подготовка к делению
Перед делением полезно выполнить две простые подготовки.
1. Записать многочлен по убыванию степеней
Например, \(6x^2+6+x^3+11x\) нужно сначала переписать так: \(x^3+6x^2+11x+6.\)
2. Дополнить пропущенные степени нулевыми коэффициентами
Например, \(x^3+3x^2+50\) для деления удобнее записать в виде \(x^3+3x^2+0x+50.\)
А многочлен \(x^4-3x^3+6x-4\) лучше записать так: \(x^4-3x^3+0x^2+6x-4.\)
Это помогает не сдвинуть слагаемые разных степеней относительно друг друга.
Алгоритм деления уголком
Пусть нужно разделить один многочлен на другой.
1. Сравниваем старший член текущего делимого со старшим членом делителя.
2. Делим старший член делимого на старший член делителя. Полученный результат записываем в частное.
3. Умножаем весь делитель на найденный член частного.
4. Записываем полученный многочлен под делимым так, чтобы одинаковые степени находились друг под другом.
5. Вычитаем.
6. Сносим следующие слагаемые делимого и повторяем те же действия.
7. Заканчиваем деление, когда степень полученного остатка становится меньше степени делителя.
В отличие от деления обычных чисел, здесь не нужно заранее решать, сколько "разрядов" брать. На каждом шаге мы просто сравниваем старшие члены многочленов.
Разобранные примеры
Пример 1. Деление \(x^2+8x+15\) на \(x+5\)
Разделим \(x^2+8x+15\) на \(x+5.\)
Степень делимого равна \(2\), степень делителя равна \(1\), поэтому деление можно начинать.
1. Сравниваем старшие члены: \(\dfrac{x^2}{x}=x.\)
Значит, \(x\) записываем в частное.
Умножаем: \(x(x+5)=x^2+5x.\)
Вычитаем: \((x^2+8x)-(x^2+5x)=3x.\)
Сносим \(15\), получаем \(3x+15.\)
2. Снова сравниваем старшие члены: \(\dfrac{3x}{x}=3.\)
Записываем \(+3\) в частное.
Умножаем: \(3(x+5)=3x+15.\)
Вычитаем и получаем нуль.
Следовательно, \(\dfrac{x^2+8x+15}{x+5}=x+3,\) или \(x^2+8x+15=(x+5)(x+3).\)
Проверить себя можно раскрытием скобок.
Ответ: \(x+3\).
Пример 2. Деление \(\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\)
Сравниваем старшие члены: \(\dfrac{x^2}{x}=x.\)
Значит, в частное записываем \(x\).
Умножаем: \(x(x-1)=x^2-x.\)
Вычитаем: \((x^2+x-2)-(x^2-x)=2x-2.\)
Здесь особенно важно не потерять знак: \(x-(-x)=2x.\)
Теперь \(\dfrac{2x}{x}=2.\)
Записываем \(2\) в частное, умножаем: \(2(x-1)=2x-2.\)
После вычитания получаем нуль.
Ответ: \(x+2\).
Пример 3. Деление \(\dfrac{x^3+2x^2-9x-18}{x+3}\)
Первый шаг: \(\dfrac{x^3}{x}=x^2.\)
Записываем \(x^2\) в частное: \(x^2(x+3)=x^3+3x^2.\)
Вычитаем: \((x^3+2x^2)-(x^3+3x^2)=-x^2.\)
Сносим \(-9x\): \(-x^2-9x.\)
Следующий шаг: \(\dfrac{-x^2}{x}=-x.\)
Умножаем: \(-x(x+3)=-x^2-3x.\)
Вычитаем:\((-x^2-9x)-(-x^2-3x)=-6x.\)
Сносим \(-18\): \(-6x-18.\)
Наконец, \(\dfrac{-6x}{x}=-6,\) и \(-6(x+3)=-6x-18.\)
После вычитания получаем нуль.
Ответ: \(x^2-x-6\).
Пример 4. Пропущенная степень
Разделим \(x^3+3x^2+50\) на \(x+5.\)
В делимом отсутствует член с \(x\), поэтому сначала записываем \(x^3+3x^2+0x+50.\)
Первый шаг: \(\dfrac{x^3}{x}=x^2.\)
После умножения и вычитания получаем \(-2x^2+0x.\)
Далее: \(\dfrac{-2x^2}{x}=-2x.\)
Умножаем: \(-2x(x+5)=-2x^2-10x.\)
После вычитания получаем \(10x,\) сносим \(50\): \(10x+50.\)
Последний член частного: \(\dfrac{10x}{x}=10.\)
После умножения и вычитания остаток равен нулю.
Ответ: \(x^2-2x+10\).
Пример 5. Деление с остатком
Найдём остаток от деления \(x^5-5x^4-3x^3+4x^2+2x-8\) на \(x+1.\)
Действуем по тому же алгоритму.
1. \(\dfrac{x^5}{x}=x^4.\)
Вычитаем \(x^4(x+1)=x^5+x^4\) и получаем \(-6x^4.\) Сносим \(-3x^3\).
2. \(\dfrac{-6x^4}{x}=-6x^3.\)
После вычитания получаем \(3x^3.\) Сносим \(4x^2\).
3. \(\dfrac{3x^3}{x}=3x^2.\) После вычитания получаем \(x^2.\) Сносим \(2x\).
4. \(\dfrac{x^2}{x}=x.\)
После вычитания получаем \(x.\) Сносим \(-8\).
5. \(\dfrac{x}{x}=1.\)
Вычитаем \(x+1\) из \(x-8\) и получаем \(-9.\)
Дальше деление продолжать нельзя: остаток является числом, а делитель имеет первую степень.
Следовательно, \(x^5-5x^4-3x^3+4x^2+2x-8=(x+1)(x^4-6x^3+3x^2+x+1)-9.\)
Ответ: остаток равен \(-9\).
Полезная проверка остатка при делении на \(x-a\)
Если многочлен делят на \(x-a,\) то остаток можно быстро проверить подстановкой \(x=a\) в исходный многочлен.
Например, в предыдущем примере делитель \(x+1=x-(-1).\) Подставим \(x=-1\):
\((-1)^5-5(-1)^4-3(-1)^3+4(-1)^2+2(-1)-8=-9.\)
Получили тот же остаток \(-9\).
Пример 6. Деление на многочлен второй степени
Разделим \(2x^4-10x^3+23x^2-22x-3\) на \(x^2-3x+5.\)
Первый шаг: \(\dfrac{2x^4}{x^2}=2x^2.\)
Умножаем: \(2x^2(x^2-3x+5)=2x^4-6x^3+10x^2.\)
Вычитаем: \((2x^4-10x^3+23x^2)-(2x^4-6x^3+10x^2)=-4x^3+13x^2.\)
Сносим \(-22x\): \(-4x^3+13x^2-22x.\)
Следующий шаг: \(\dfrac{-4x^3}{x^2}=-4x.\)
Умножаем: \(-4x(x^2-3x+5)=-4x^3+12x^2-20x.\)
Вычитаем: \(x^2-2x.\)
Сносим \(-3\): \(x^2-2x-3.\)
Последний шаг: \(\dfrac{x^2}{x^2}=1.\)
Вычитаем \(x^2-3x+5\) и получаем остаток \(x-8.\)
Степень остатка равна \(1\), а степень делителя равна \(2\), поэтому деление закончено.
Следовательно, \(2x^4-10x^3+23x^2-22x-3=(x^2-3x+5)(2x^2-4x+1)+(x-8).\)
Можно также записать: \(\dfrac{2x^4-10x^3+23x^2-22x-3}{x^2-3x+5}=2x^2-4x+1+\dfrac{x-8}{x^2-3x+5}.\)
Ответ: частное \(2x^2-4x+1\), остаток \(x-8\).
Метод рациональных корней
Если нужно решить уравнение степени выше второй и многочлен не удаётся сразу разложить на множители группировкой или по формулам, можно попробовать найти один корень подбором.
Алгоритм:
1. Записать многочлен в стандартном виде: степени должны идти по убыванию.
2. Подобрать один из возможных рациональных корней.
3. Если найден корень \(x_0\), разделить исходный многочлен на \(x-x_0.\)
4. Получить многочлен меньшей степени и продолжить разложение.
Какие числа имеет смысл проверять
Если все коэффициенты целые и коэффициент перед старшей степенью равен \(1\), то целый корень может быть только делителем свободного члена.
Например, если свободный член равен \(6\), проверяем:
\(\pm1,\) \(\pm2,\) \(\pm3,\) \(\pm6.\)
Если коэффициент перед старшей степенью не равен \(1\), возможны также дробные рациональные корни. Их числитель берут среди делителей свободного члена, а знаменатель --- среди делителей старшего коэффициента.
Это не означает, что все такие числа обязательно являются корнями: это только список кандидатов, которые нужно проверить подстановкой.
Пример 7. Решение кубического уравнения
Решим: \(6x^2+6+x^3+11x=0.\)
Сначала записываем многочлен по убыванию степеней: \(x^3+6x^2+11x+6=0.\)
Возможные целые корни: \(\pm1,\) \(\pm2,\) \(\pm3,\) \(\pm6.\)
Проверим \(x=-1\): \((-1)^3+6(-1)^2+11(-1)+6=-1+6-11+6=0.\)
Значит, \(x=-1\) --- корень, а многочлен делится на \(x+1.\)
Делим уголком и получаем: \(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6).\)
Если при таком делении получился ненулевой остаток, значит, либо выбранное число не является корнем, либо в делении допущена ошибка.
Оставшийся квадратный трёхчлен раскладываем: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3).\)
Итак, \(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3).\)
Отсюда \(x=-1,\) \(x=-2,\) \(x=-3.\)
Ответ: \(-1\), \(-2\), \(-3\).
Пример 8. Деление уголком при решении неравенства
Решим: \(x^4-3x^3+6x-4\geqslant0.\)
Сначала нужно разложить многочлен на множители.
Среди чисел \(\pm1,\) \(\pm2,\) \(\pm4\) проверяем \(x=1\):
\(1-3+6-4=0.\)
Значит, многочлен делится на \(x-1.\)
Не забываем дописать отсутствующий член: \(x^4-3x^3+0x^2+6x-4.\)
После деления уголком получаем: \(x^4-3x^3+6x-4=(x-1)(x^3-2x^2-2x+4).\)
Теперь раскладываем вторую скобку группировкой:
\(x^3-2x^2-2x+4=x^2(x-2)-2(x-2),\)
\(x^3-2x^2-2x+4=(x-2)(x^2-2),\)
\(x^3-2x^2-2x+4=(x-2)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2).\)
Исходное неравенство принимает вид:
\((x-1)(x-2)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\geqslant0.\)
Дальше применяем метод интервалов.
Критические точки: \(-\sqrt2,\) \(1,\) \(\sqrt2,\) \(2.\)
Получаем:
\(x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup[1;\sqrt2]\cup[2;+\infty).\)
Ответ: \((-\infty;-\sqrt2]\cup[1;\sqrt2]\cup[2;+\infty).\)
Как проверить деление
После деления полезно выполнить две проверки.
1. Убедиться, что \(\text{делимое}=\text{делитель}\cdot\text{частное}+\text{остаток}.\)
Для этого достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
2. Если остаток не равен нулю, его степень должна быть меньше степени делителя.
Типичные ошибки
• Многочлен не записан по убыванию степеней.
• Пропущенная степень не дополнена нулевым коэффициентом.
• После деления старших членов умножают найденный член не на весь делитель.
• При вычитании меняют знаки не у всех слагаемых.
• Слагаемые разных степеней записывают друг под другом.
• Теряют один из членов частного.
• Продолжают деление, хотя степень остатка уже меньше степени делителя.
• При проверке возможного корня забывают подставить его в исходный многочлен.
• После нахождения корня \(x_0\) делят не на \(x-x_0\), а на неверный двучлен.
• Не проверяют полученное разложение обратным умножением.
Короткая памятка
1. Записать многочлен по убыванию степеней.
2. Дописать пропущенные степени с нулевыми коэффициентами.
3. Сравнить старший член делимого со старшим членом делителя.
4. Разделить один на другой и записать результат в частное.
5. Умножить на найденный член весь делитель.
6. Вычесть.
7. Повторять шаги, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.
8. Проверить результат обратным умножением.
Задачи для самостоятельной работы
Выделите целую часть дроби и найдите остаток
1. \(\dfrac{8t^2+10t-3}{2t+3}.\)
2. \(\dfrac{x^3+5x^2-2x-6}{x+1}.\)
3. \(\dfrac{4x^2+7x-3}{x-2}.\)
4. \(\dfrac{x^3-2x^2+7x-3}{x^2+1}.\)
5. \(\dfrac{x^5+5x^3+6}{x^2+2x+3}.\)
Решите уравнения
1. \(x^4+4x^3-18x^2-12x+9=0.\)
2. \(x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0.\)
Ответы
К делению многочленов
1. Частное \(4t-1\), остаток \(0\).
2. Частное \(x^2+4x-6\), остаток \(0\).
3. Частное \(4x+15\), остаток \(27\).
4. Частное \(x-2\), остаток \(6x-1\).
5. Частное \(x^3-2x^2+6x-6\), остаток \(-6x+24\).
К уравнениям
1. \(x=-1,\) \(x=3,\) \(x=-3\pm2\sqrt3.\)
2. \(x=-5,\) \(x=2,\) \(x=3,\) \(x=4.\)