Числовая последовательность
Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому номеру соответствует определённый член последовательности.
Число с номером \(n\) называют \(n\)-м членом последовательности и обычно обозначают \(a_n\).
Например, рассмотрим последовательность \(4;\ 13;\ -7;\ 0{,}15;\ -8{,}2;\ldots\). Здесь: \(a_1=4\), \(a_3=-7.\)
Последовательность может быть конечной или бесконечной. Буква для обозначения может быть любой, однако в школьных задачах для арифметической прогрессии часто используют \(a_n\), а для геометрической — \(b_n\).
Иногда последовательность задаётся формулой. Например, \(a_n=3n-5\) задаёт последовательность \(-2;\ 1;\ 4;\ 7;\ldots\)
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(d\).
Число \(d\) называется разностью арифметической прогрессии.
Например, \(2;\ 5;\ 8;\ 11;\ldots\) — арифметическая прогрессия с \(a_1=2\), \(d=3.\)
Для соседних членов: \(a_{n+1}=a_n+d,\) а значит, \(\boxed{d=a_{n+1}-a_n}.\)
Отсюда сразу видно характер прогрессии: \(\begin{array}{c|c} d>0 & \text{прогрессия возрастает}\\ d<0 & \text{прогрессия убывает}\\ d=0 & \text{прогрессия постоянна} \end{array}\)
Важно: постоянная последовательность также является арифметической прогрессией: просто её разность равна нулю.
Формула \(n\)-го члена
Пусть известны первый член \(a_1\) и разность \(d\). Тогда: \(a_2=a_1+d,\) \(a_3=a_1+2d,\) \(a_4=a_1+3d\)
Поэтому для любого \(n\):
\(\boxed{a_n=a_1+(n-1)d}\)
То есть к первому члену нужно прибавить разность \(n-1\) раз.
Необязательно каждый раз выражать член через \(a_1\). Для любых номеров \(m\) и \(n\):
\(\boxed{a_m=a_n+(m-n)d}\)
Эта формула особенно удобна, если в условии уже дан, например, \(a_5\) или \(a_{10}\).
Основные свойства
Свойство среднего арифметического
Любой внутренний член арифметической прогрессии является средним арифметическим двух соседних:
\(\boxed{ a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} }\)
Действительно: \(a_{n-1}=a_n-d\), \(a_{n+1}=a_n+d\)
Поэтому: \(a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n.\)
Более общий вариант:
\(\boxed{ a_n=\dfrac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2} }\)
для тех индексов, для которых оба члена существуют.
Иначе:
\(\boxed{ a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n }\)
Равенство разностей
Так как разность \(d\) постоянна,
\(\boxed{ a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1} }\)
Это свойство удобно и как признак: если разности соседних членов одинаковы, последовательность арифметическая.
Сумма первых \(n\) членов
Обозначим:
\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)
Основная формула:
\(\boxed{ S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\,n }\)
Её удобно понимать через попарное сложение равноудалённых членов:
\(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\ldots\)
Например, для чисел от \(1\) до \(100\): \(1+100=2+99=3+98=\ldots=101\)
Если последний член неизвестен, используем:
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
Тогда:
\(\boxed{ S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n }\)
Короткая памятка
Для арифметической прогрессии чаще всего нужны четыре формулы:
\(d=a_{n+1}-a_n,\) \(a_n=a_1+(n-1)d,\)
\(a_m=a_n+(m-n)d,\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\,n = \dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n.\)
Если даны симметричные по индексам члены, ищите свойство
\(a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n.\)
Как выбирать формулу в задаче
1. Если нужно найти конкретный член и известны \(a_1\) и \(d\), используйте \(a_n=a_1+(n-1)d.\)
2. Если известны два члена с разными индексами, удобно вычесть их записи и найти \(d\).
3. Если нужно найти сумму, сначала проверьте, что известно: \(a_1,\ a_n,\ n\) или \(a_1,\ d,\ n.\)
4. Если встречаются члены, равноудалённые от одного индекса, используйте свойство среднего арифметического.
5. Если требуется количество положительных или отрицательных членов, запишите \(a_n\) и решите неравенство с учётом того, что \(n\in\mathbb N.\)
Разбор задач
Задача 1. Формула \(n\)-го члена
В арифметической прогрессии \(2;\ 5;\ 8;\ 11;\ldots\) найдите формулу \(n\)-го члена и вычислите сотый член.
Решение. Из условия: \(a_1=2\), \(d=3.\)
По формуле: \(a_n=a_1+(n-1)d = 2+3(n-1) = 3n-1.\)
Следовательно: \(a_{100}=3\cdot100-1=299.\)
Ответ: \(a_n=3n-1\), \(a_{100}=299\).
Задача 2. Текстовая задача на сумму
Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий. За первый и последний дни улитка проползла в общей сложности \(10\) метров. Сколько дней занял путь, если расстояние между деревьями равно \(150\) метров?
Решение. Здесь: \(S_n=150\), \(a_1+a_n=10\)
По формуле суммы: \(150=\dfrac{10}{2}\,n\)
\(150=5n\), \(n=30\)
Ответ: \(30\) дней.
Задача 3. По сумме найти последний член
Васе нужно решить \(434\) задачи. Каждый день он решает на одно и то же количество задач больше, чем в предыдущий. В первый день Вася решил \(5\) задач. Сколько задач он решил в последний день, если справился со всеми задачами за \(14\) дней?
Решение. \(a_1=5\), \(n=14\), \(S_{14}=434\)
\(434=\dfrac{5+a_{14}}{2}\cdot14\)
\(62=5+a_{14},\) поэтому: \(a_{14}=57\)
Ответ: \(57\) задач.
Задача 4. Вставить числа между двумя членами
Между числами \(1\) и \(7\) вставьте четыре числа так, чтобы вместе с ними получилась арифметическая прогрессия.
Решение. Всего в прогрессии будет \(6\) чисел: \(a_1=1\), \(a_6=7\)
\(a_6=a_1+5d.\)
\(7=1+5d\), \(5d=6\), \(d=1{,}2.\)
Получаем: \(1;\ 2{,}2;\ 3{,}4;\ 4{,}6;\ 5{,}8;\ 7.\)
Ответ: \(1;\ 2{,}2;\ 3{,}4;\ 4{,}6;\ 5{,}8;\ 7\).
Задача 5. Сумма по первому члену и разности
Дана арифметическая прогрессия: \(-4;\ -2;\ 0;\ldots\) Найдите сумму первых десяти её членов.
Решение. \(a_1=-4\), \(d=2\), \(n=10\)
Удобно использовать: \(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)
\(S_{10} = \dfrac{-8+2\cdot9}{2}\cdot10 = 50\)
Ответ: \(50\).
Задача 6. Два известных члена
Пятый и десятый члены арифметической прогрессии равны \(38\) и \(23\) соответственно. Найдите пятнадцатый член.
Решение. \(a_5=a_1+4d=38,\) \(a_{10}=a_1+9d=23\)
Вычтем первое равенство из второго: \(5d=-15\), \(d=-3\)
Теперь необязательно находить \(a_1\): \(a_{15}=a_{10}+5d = 23-15 = 8\)
Ответ: \(8\).
Задача 7. Симметричные члены
Найдите сумму первых \(19\) членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен \(1000\).
Решение. Так как \(a_{10}\) является средним членом среди первых \(19\), имеем: \(a_1+a_{19}=2a_{10}=2000\)
Тогда: \(S_{19} = \dfrac{a_1+a_{19}}{2}\cdot19 = \dfrac{2000}{2}\cdot19 = 19000\)
Ответ: \(19000\).
Задача 8. Сколько положительных членов
Сколько положительных чисел содержится в прогрессии \(23{,}1;\ 22{,}7;\ldots?\)
Решение. \(a_1=23{,}1\), \(d=-0{,}4\)
\(a_n = 23{,}1-0{,}4(n-1) = 23{,}5-0{,}4n\)
Нужны положительные члены: \(23{,}5-0{,}4n>0\)
\(n<58{,}75\)
Так как \(n\) — натуральное число, наибольшее допустимое значение: \(n=58.\)
Значит, положительными являются первые \(58\) членов.
Ответ: \(58\).
Задача 9. Арифметическая прогрессия в геометрии
Внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший из которых равен \(120^\circ\), образуют арифметическую прогрессию с разностью \(5^\circ\). Найдите число сторон многоугольника.
Решение. Сумма углов как членов прогрессии: \(S_n = \dfrac{2\cdot120+5(n-1)}{2}\,n.\)
С другой стороны, сумма внутренних углов \(n\)-угольника: \(S_n=(n-2)\cdot180^\circ.\)
Приравниваем: \(\dfrac{240+5(n-1)}{2}\,n = 180(n-2).\)
После упрощения: \(n^2-25n+144=0.\)
\((n-9)(n-16)=0.\)
Получаем: \(n=9\) или \(n=16.\)
При \(n=16\) последний угол равен: \(120^\circ+15\cdot5^\circ=195^\circ,\) что невозможно для выпуклого многоугольника.
Поэтому: \(n=9.\)
Ответ: \(9\).
Редакторское уточнение к задаче 9
В исходной версии статьи слово «выпуклого» отсутствовало, хотя решение отбрасывало вариант \(n=16\) именно потому, что один из углов превышает \(180^\circ\). Для однозначности условие здесь уточнено.
Задачи для самопроверки
1. Турист идёт из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий, на одно и то же расстояние. В первый день он прошёл \(10\) км. Сколько километров турист прошёл в третий день, если весь путь занял \(6\) дней, а расстояние между городами равно \(120\) км?
2. Рабочие прокладывают тоннель длиной \(99\) м, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. В первый день они проложили \(7\) м. Сколько метров проложили в последний день, если работа заняла \(9\) дней?
3. Вика решила делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала \(30\) приседаний, а каждый следующий день — на одно и то же количество больше. За \(15\) дней она сделала \(975\) приседаний. Сколько приседаний Вика сделала в пятый день?
4. Между числами \(1\) и \(4\) вставьте \(8\) чисел так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.
5. Найдите количество членов арифметической прогрессии \(9;\ 12;\ 15;\ldots,\) если их сумма равна \(306\).
6. Конечная непостоянная арифметическая прогрессия состоит из восьми натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего из них равна \(11\). Найдите сумму всех членов этой прогрессии.
7. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна \(8\). Найдите сумму первых \(11\) членов этой прогрессии.
8. Известно, что \(a_1;\ldots;a_{15}\) — арифметическая прогрессия и \(a_1+a_5+a_{15}=3.\) Найдите: \(a_5+a_9.\)
9. В арифметической прогрессии известно: \(a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224.\) Найдите сумму первых \(19\) членов.
10. Найдите трёхзначное число, цифры которого в порядке записи образуют возрастающую арифметическую прогрессию и которое делится на \(45\).
11. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна \(\dfrac53,\) а произведение третьего и четвёртого членов равно \(\dfrac{65}{72}.\) Найдите сумму первых \(17\) членов прогрессии.
Ответы
1. \(18\).
2. \(15\).
3. \(50\).
4. \(1;\ 1\dfrac13;\ 1\dfrac23;\ 2;\ 2\dfrac13;\ 2\dfrac23;\ 3;\ 3\dfrac13;\ 3\dfrac23;\ 4.\)
5. \(12\).
6. \(44\).
7. \(44\).
8. \(2\).
9. \(1064\).
10. \(135\).
11. \(\dfrac{119}{3}\).