В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна \(0{,}2\). Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна \(0{,}16\). Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.
Шаг 1. Обозначаем события
\(A\) — кофе закончится в первом автомате, \(B\) — во втором:
\[P(A) = P(B) = 0{,}2,\qquad P(A\cap B) = 0{,}16.\]
Шаг 2. Находим вероятность объединения
\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}2 + 0{,}2 - 0{,}16 = 0{,}24.\]
Пересечение вычитается, потому что при сложении \(P(A)\) и \(P(B)\) случай «закончился в обоих» учтён дважды.
Шаг 3. Переходим к противоположному событию
«Кофе останется в обоих» — значит не случилось ни \(A\), ни \(B\):
\[P = 1 - 0{,}24 = 0{,}76.\]
Заметьте, что автоматы здесь не независимы: будь они независимы, вероятность \(A\cap B\) равнялась бы \(0{,}2\cdot 0{,}2 = 0{,}04\), а не \(0{,}16\).