При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна \(0{,}2\), а при каждом последующем — \(0{,}4\). Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее \(0{,}8\)?
Шаг 1. Считаем через противоположное событие
Требование «цель уничтожена с вероятностью не менее \(0{,}8\)» равносильно требованию «вероятность промахнуться всеми выстрелами не больше \(0{,}2\)».
Шаг 2. Записываем вероятность промаха
Первый выстрел не уничтожает цель с вероятностью \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\), каждый следующий — с вероятностью \(1 - 0{,}4 = 0{,}6\). Для \(n\) выстрелов
\[P(\text{цель цела}) = 0{,}8\cdot 0{,}6^{\,n-1}.\]
Шаг 3. Проверяем по шагам
\[n = 1:\ 0{,}8;\qquad n = 2:\ 0{,}8\cdot 0{,}6 = 0{,}48;\]
\[n = 3:\ 0{,}8\cdot 0{,}36 = 0{,}288;\qquad n = 4:\ 0{,}8\cdot 0{,}216 = 0{,}1728.\]
Впервые значение стало не больше \(0{,}2\) при \(n = 4\). Значит нужно \(4\) выстрела.