Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью \(0{,}5\) при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее \(0{,}8\)?
Шаг 1. Считаем через противоположное событие
Пусть патронов \(n\). Событие «поразит цель» противоположно событию «все \(n\) выстрелов — промах». Вероятность промаха при одном выстреле равна \(1 - 0{,}5 = 0{,}5\), выстрелы независимы, поэтому
\[P(\text{поразит}) = 1 - 0{,}5^n.\]
Шаг 2. Записываем требование
\[1 - 0{,}5^n \geqslant 0{,}8,\qquad 0{,}5^n \leqslant 0{,}2.\]
Шаг 3. Перебираем n
\[n = 1:\ 0{,}5 > 0{,}2\ -\ \text{мало};\]
\[n = 2:\ 0{,}25 > 0{,}2\ -\ \text{всё ещё мало};\]
\[n = 3:\ 0{,}125 \leqslant 0{,}2\ -\ \text{подходит}.\]
Вероятность поражения при трёх патронах равна \(1 - 0{,}125 = 0{,}875\), и это уже не меньше \(0{,}8\). Значит наименьшее число патронов — \(3\).