В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(AB = 5\), \(BC = 4\), \(AA_1 = 3\). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(A_1\), \(B_1\).
Шаг 1. Узнаём фигуру
Внизу взяты все четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), а наверху только две — \(A_1\) и \(B_1\). Получается клин: треугольники \(ADA_1\) и \(BCB_1\) — его основания, а ребро \(AB\) соединяет их. Это треугольная призма, лежащая на боку.
Шаг 2. Площадь основания
Угол \(DAA_1\) прямой:
\[S_{ADA_1} = \dfrac12\cdot AD\cdot AA_1 = \dfrac12\cdot BC\cdot AA_1 = \dfrac12\cdot 4\cdot 3 = 6.\]
Шаг 3. Объём
Ребро \(AB\) перпендикулярно плоскости \(ADD_1A_1\), значит это высота призмы:
\[V = 6\cdot 5 = 30.\]
Проверка: объём всего параллелепипеда \(5\cdot 4\cdot 3 = 60\), и клин занимает ровно половину.