ID 53147
2027
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(D\), \(A_1\), \(B_1\), \(D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(AB = 2\), \(AD = 9\), \(AA_1 = 5\).
Ответ: 15
Решение:
Шаг 1. Выбираем удобное основание
Три из четырёх точек — \(A_1\), \(B_1\), \(D_1\) — лежат в верхней грани. Возьмём треугольник \(A_1B_1D_1\) за основание, а точку \(D\) за вершину.
Шаг 2. Площадь основания
Угол при вершине \(A_1\) прямой, катеты — рёбра верхней грани:
\[A_1B_1 = AB = 2,\qquad A_1D_1 = AD = 9,\qquad
S_{A_1B_1D_1} = \dfrac12\cdot 2\cdot 9 = 9.\]
Шаг 3. Высота
Ребро \(DD_1\) перпендикулярно верхней грани, поэтому оно и есть высота:
\[DD_1 = AA_1 = 5.\]
Шаг 4. Объём
\[V = \dfrac13\cdot 9\cdot 5 = 15.\]