Объём куба равен \(80\). Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Шаг 1. Что получается в сечении
Пусть ребро куба равно \(a\), а \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\), выходящих из вершины \(A\). Плоскость проходит через \(MN\) параллельно третьему ребру \(AA_1\), поэтому отсекается призма с основанием \(AMN\) и боковым ребром, равным \(a\).
Шаг 2. Площадь основания
Треугольник \(AMN\) прямоугольный, его катеты — половинки рёбер:
\[S_{AMN} = \dfrac12\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^2}{8}.\]
Шаг 3. Объём
\[V = \dfrac{a^2}{8}\cdot a = \dfrac{a^3}{8} = \dfrac{80}{8} = 10.\]
Ребро куба искать не пришлось: \(a^3\) — это и есть объём куба.