В основании пирамиды \(SABC\) лежит треугольник \(ABC\). Точки \(K\), \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) соответственно. Найдите объём пирамиды \(SKMP\), если объём пирамиды \(SABC\) равен \(24\).
Шаг 1. У пирамид общая высота
Точки \(K\), \(M\), \(P\) лежат в плоскости \(ABC\), значит основание \(KMP\) лежит в той же плоскости, что и основание \(ABC\). Вершина у обеих пирамид одна и та же — точка \(S\). Поэтому высоты равны, и объёмы относятся как площади оснований.
Шаг 2. Площадь серединного треугольника
Стороны треугольника \(KMP\) — средние линии треугольника \(ABC\), каждая вдвое меньше соответствующей стороны. Значит треугольники подобны с коэффициентом \(k = \dfrac12\), и
\[S_{KMP} = \dfrac14 S_{ABC}.\]
Шаг 3. Объём
\[V_{SKMP} = \dfrac14 V_{SABC} = \dfrac{24}{4} = 6.\]