В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны \(30\). Найдите тангенс угла между прямыми \(C_1F\) и \(AA_1\).
Шаг 1. Переносим прямую
Все боковые рёбра призмы параллельны, поэтому \(AA_1 \parallel FF_1\). Прямая \(FF_1\) пересекает прямую \(C_1F\) в точке \(F\), значит искомый угол — это угол \(C_1FF_1\).
Шаг 2. Треугольник C₁F₁F прямоугольный
Ребро \(FF_1\) перпендикулярно плоскости верхнего основания, а отрезок \(F_1C_1\) лежит в этой плоскости. Поэтому угол при вершине \(F_1\) прямой.
Шаг 3. Находим катеты
\[FF_1 = 30.\]
Отрезок \(F_1C_1\) соединяет противоположные вершины правильного шестиугольника — это его большая диагональ, равная удвоенной стороне:
\[F_1C_1 = 2\cdot 30 = 60.\]
Шаг 4. Тангенс
\[\mathrm{tg}\,\angle C_1FF_1 = \dfrac{F_1C_1}{FF_1} = \dfrac{60}{30} = 2.\]