Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна \(42\). Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Шаг 1. Что отсекается
Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Плоскость проходит через \(MN\) параллельно боковому ребру, поэтому отсечённая фигура — призма с основанием \(AMN\) и той же высотой.
Шаг 2. Периметр нового основания
Треугольник \(AMN\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \dfrac12\), поэтому каждая его сторона вдвое меньше:
\[P_{AMN} = \dfrac12 P_{ABC}.\]
Шаг 3. Сравниваем боковые поверхности
У прямой призмы боковая поверхность равна произведению периметра основания на боковое ребро. Боковое ребро у обеих призм одно и то же, значит боковые поверхности относятся как периметры:
\[S_{\text{отс}} = \dfrac12\cdot 42 = 21.\]
Здесь важно не перепутать: площади оснований уменьшились бы в \(4\) раза, а боковая поверхность — только в \(2\), потому что она пропорциональна периметру, а не площади.