Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(A\), \(D\), \(A_1\), \(B\), \(C\), \(B_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(AB = 3\), \(AD = 4\), \(AA_1 = 5\).
Шаг 1. Узнаём фигуру
Точки \(A\), \(D\), \(A_1\) лежат в грани \(ADD_1A_1\) и образуют треугольник. Точки \(B\), \(C\), \(B_1\) получаются из них сдвигом на ребро \(AB\): \(B\) из \(A\), \(C\) из \(D\), \(B_1\) из \(A_1\). Значит это треугольная призма с основанием \(ADA_1\) и боковым ребром \(AB\).
Шаг 2. Площадь основания
Угол \(DAA_1\) прямой, катеты — рёбра \(AD\) и \(AA_1\):
\[S_{ADA_1} = \dfrac12\cdot AD\cdot AA_1 = \dfrac12\cdot 4\cdot 5 = 10.\]
Шаг 3. Объём
Ребро \(AB\) перпендикулярно грани \(ADD_1A_1\), поэтому оно и есть высота призмы:
\[V = S_{ADA_1}\cdot AB = 10\cdot 3 = 30.\]